整除和同余教学内容Word文档格式.docx
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2、典型例题
例1、一个两位数的个位数字与十位数字交换位置后，所得的数比原来大9.在这样的两位数中，质数有多少个？
要点：
①这种两位数的特点是个位数字比十位数字大1；
②快速判定100以内质数的能力.
结论：
共有3个，分别是23、67和89.
例2、若p为质数，且p6＋3也是质数，则p11－52的值是多少？
根据已知条件能够确定p的奇偶性.
p11－52＝1996.
3、专题练习
习题1
若a、b、c、d为整数，且（a2＋b2）（c2＋d2）＝2001，则a2＋b2＋c2＋d2＝.
习题2
在1~n这n个自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则（q－m）＋（p－k）＝.
习题3
在下列关于质数与合数的说法中，正确的是.
①两个质数的和必为合数；
②两个合数的和必为合数；
③一个质数与一个合数的和必为合数；
④一个质数与一个合数的和不可能是合数.
习题4
若质数m、n满足5m＋7n＝129，则m＋n的值是多少？
习题5
一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后，仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，试求所有无暇质数的和.
习题6
已知3个质数m、n、p的乘积等于这3个数之和的5倍，求m2＋n2＋p2的值.
二、整除
整除关系：
对于整数a和不为0的整数b，若存在整数m使得bm＝a，则称a能被b整除（或b整除a），b是a的因数（或a是b的倍数），记为b|a.
整除的重要基本性质：
①若b和c都能被a整除，则b与c的和或差也能被整除.
②若b能被a整除，c能被b整除，则c能被a整除.
③若bc能被a整除，且c与a互质，则b能被a整除.
④若a同时能被b和c整除，且b,c互质，则a能被bc整除.
例1、判断一个自然数能否被5整除的方法是“看个位数是否为0或5”，解释其原理.
要点分析：
任一自然数可以写成10a＋b的形式，其中b表示它的个位数；
而10a＝5×
2a能被5整除，于是将“10a＋b能否被5整除”的问题转化为“个位数b能否被5整除”的问题.
类似地，请你解释“判断一个自然数能否被2、4、8整除”的方法.
例2、已知7位数
是72的倍数，求出所有符合条件的7位数.
①由于72＝8×
9，而8和9互质，因此“是72的倍数”就转化为“既能被8整除，又能被9整除”；
②“能被8整除”的判据是看后三位，“能被9整除”的判据是各位数字之和能被9整除；
③别忘记，x、y只能在0~9这十个数字中选取；
④实际上，可以先考虑“能被4整除”，因为这样很容易将y限定为奇数.
共有3个数符合要求，1287216，1287936，1287576.
例3、将1,2,3,……,2010这2010个数字随意排成一行，得到数N，证明：
N一定是合数.
①证明的关键在于为N找到一个因数a，考虑到“随意排成一行”的条件，可知a|N的判据应该形如“各位数字之和……”，因为这样才不会受到排列顺序的影响.②由于“各位数字之和与数本身的整除性是一样的”，我们不需要具体考虑每个数的各位数字之和是多少，只要直接将1~2010累加起来即可.
因为1~2010的累加和必是3的倍数（为什么？
），所以N一定能被3整除，是合数.
*证明的书写：
只要将每一步推导的理由说明即可.所谓的“理由”，就是前面提到的整除性质，或者是“能被某数（如2、3、5、7、9、11等）整除”的判据.
证明：
若数N由1,2,3,……,2010这2010个数字随意排列而成，则3|N.
设x＝N的各位数字之和，y＝1＋2＋…＋2010；
∵根据被3整除的判据，任意正整数被3整除性质与它的各位数字之和被3整除性质一致
∴x被3整除性质与y被3整除性质一致
而
能被3整除
∴x能被3整除.
∴N能被3整除.∴N是合数.
例4、证明：
（1）形如
的六位数一定能被7、11、13整除；
（2）若4b＋2c＋d＝32，则8|
.
证：
（1）∵
，而1001＝7×
11×
13，
∴7|
，11|
，13|
（2）∵
而
能被8整除，
∴8|
（参见前面的整除性质①）
说明：
在学习初期，尽可能在每次论证时把具体理由（不是条目）给自己叙述一遍，确保对于这些性质依赖于熟悉.
若
是能被3整除的五位数，则的可能取值有，这样的五位数中能被9整除的是.
用分别写有数字2、3、4、5的四张卡片可以排出不同的四位数，其中能被22整除的四位数有多少个？
假设a,b,c,d是四个整数，证明：
差b－a,c－a,d－a,d－c,d－b,c－b的乘积能被12整除.
判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（即这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍之和能否被7整除.如果这个和能被7整除，则原数能被7整除.例如126，去掉6后得到12，而12＋5×
6＝42，42能被7整除，所以126能被7整除.
（1）与此方法类似地，也可看去掉一节尾后与该结尾的n倍之差来判断，则n＝.（n是整数，且1≤n＜7）
（2）这种检验方法也可以转化成这样一条命题：
依题意所构造出来的这个和数与原整数在被7整除的性质上是一致的；
或者说，二者除以7的余数相同.请你证明这个命题.
三、同余
同余：
从字面上讲，“整数a,b对m同余”是指“a和b除以m的余数相同”；
常用定义则是“a－b能被m整除”，显然两种说法含义是一样的；
整除与同余的关系：
“a和b都能被m整除”实际上就是“a和b除以m的余数都是0”；
同余的符号表示与过程书写：
例如，将“a除以5的余数是3”表示为“a＝5k＋3，k为整数”；
利用这种表示，我们就将同余分析转化为多项式的运算；
例1、若记a1除以m的余数为r1，a2除以m的余数为r2，则a1＋a2与r1＋r2同余，a1a2与r1r2同余.
根据同余定义，“两个量对m同余”相当于“二者之差能被m整除”.
设a1＝mk1＋r1，a2＝mk2＋r2，k1和k2为整数；
则
a1＋a2＝mk1＋r1＋mk2＋r2＝m（k1＋k2）＋（r1＋r2），（a1＋a2）－（r1＋r2）＝m（k1＋k2）能被m整除；
a1a2＝（mk1＋r1）（mk2＋r2）＝m2k1k2＋mk1r2＋mk2r1＋r1r2，a1a2－r1r2＝m（mk1k2＋k1r2＋k2r1）能被m整除.
这是同余的重要性质：
要研究两数运算结果的余数，只要将它们各自的余数进行运算即可.例如，要得到多个数相乘的个位数，只需将它们的个位数相乘即可.利用这个性质，我们可以理解“能被9整除”的判定方法.
例2、有一种判断“一个位数很多的数能否被7整除”的方法，以1289376为例，将最后三位数字和前若干位数字分别视为两个整数，它们的差与原数对7的整除性质是相同的，即1289－376＝913＝7×
130＋3不能被7整除，所以1289376不能7整除.请你解释其中道理.
“一个位数很多的数”可以写作a＝1000p＋
，接着将上述方法过程用多项式运算表示出来.
设a＝1000p＋
，则a－
＝1000（p－
），该方法所得到的数是p－
；
∵
能被7整除（记得1001＝7×
13）
∴a与1000（p－
）对7同余，则二者对于7的整除性质相同；
而1000与7互质
∴a与p－
对于7的整除性质相同.
类似地，我们可以理解“能被11整除”的判定方法.
例3、已知正整数n除以3、5、7的余数分别是2、3、4，求满足条件的最小n值.
解：
设n＝3k＋2＝5l＋3＝7m＋4，k,l,m为整数，则2n＝6k＋4＝10l＋6＝14m＋8，不难看出2n除以3、5、7的余数都是1，于是2n－1能够同时被3、5、7整除.由于3、5、7互质，所以2n－1最小是3×
5×
7＝105，此时n＝53.
由2012个1和任意多个0组成的数不可能是完全平方数.
乍看起来这个问题似乎无从下手，因为0的个数不限，不同数字符号的顺序不限，那么可以写出无数个数，怎么可能确定它们都不是完全平方数呢？
实际上，我们只需确定“任意完全平方数必须具有某种同余性质而题中之数并不具有这种性质”，就成功了.
任一自然数除以3的余数只有0、1、2三种可能，分别设它们为3k、3k＋1和3k＋1并计算其平分，可知任一平方数或者自身是3的倍数，或者除以3余2.而由2012个1与任意多个0组成的数字除以3余2，所以不可能是完全平方数.
习题1、20112011的个位数是多少？
最后两位数是多少？
习题2、14＋24＋34＋…＋20104＋20114的个位数字是多少？
习题3、已知a＝
，则a除以13的余数是多少？
任给一个正整数，例如248，我们总可以用1984的四个数码经过适当交换得到一个四位数，如8194，恰使得7|（248＋8194）.请你证明：
对于任给的一个自然数N，总存在一个适当交换1984的数码所得到的四位数
，使得7|（N＋
）.
习题5、
若正整数a,b,c满足a2＋b2＝c2，且它们的最大公约数是1，则c一定是奇数，而a和b中一个是奇数另一个是偶数.
习题6、证明：
当指数n不能被4整除时，1n＋2n＋3n＋4n能被5整除，其中n为正整数.
习题7、
1与0交替，组成下面形式的一串数：
101,10101,1010101,101010101,…请你回答，在这串数中有多少个是质数？
并请证明你的论断.
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