最新高等数学下册期末考试试题含答案ZE.docx

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最新高等数学下册期末考试试题含答案ZE

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）

一、解答题

1．证明：

曲面xyz=a3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。

证明：

设F（x,y,z）=xyz-a3.

因为Fx=yz,Fy=xz,Fz=xy,

所以曲面在任一点M0（x0,y0,z0）处的切平面方程为

y0z0（x-x0）+x0z0（y-y0）+x0y0（z-z0）=0.

切平面在x轴，y轴，z轴上的截距分别为3x0,3y0,3z0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为

它为一定值。

2．当Σ为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？

解：

因为Σ：

z=0，在xOy面上的投影区域就是Σ

故

当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号．

3．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：

（1）星形线x=acos3t，y=asin3t2ex2；

（2）双纽线r2=a22cos2θ；

（3）圆x2+y2=2ax．

解：

（1）

（2）利用极坐标与直角坐标的关系x=rcosθ，y=rsinθ得

，

从而xdy-ydx=a2cos2θdθ．

于是面积为：

（3）圆x2+y2=2ax的参数方程为

故

4．求面密度为的均匀半球壳x2+y2+z2=a2（z≥0）对于z轴的转动惯量。

解：

5．证明：

场是有势场，并求其势函数.

解：

略。

6．证明:

本章关于散度的基本性质

（1）~（3）.

解：

略。

7．从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：

解：

当时，y=5.故C=-25

故所求曲线为：

解：

当x=0时，y=0故有.

又当x=0时，.故有.

故所求曲线为：

.

8．设Γ为曲线x=t，y=t2，z=t3上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分．

解：

由x=t，y=t2，z=t3得

dx=dt，dy=2tdt=2xdt，dz=3t2dt=3ydt，．

故

因而

9．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为：

（1）在xOy面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）；

（2）沿抛物线y=x2从点（0,0）到点（1,1）；

（3）沿上半圆周x2+y2=2x从点（0,0）到点（1,1）．

解：

（1）L的方向余弦，

故

（2）曲线y=x2上点（x,y）处的切向量T={1,2x}．其方向余弦为，

故

（3）上半圆周上任一点处的切向量为其方向余弦为，

故

10．求底面半径相等的两个直交圆柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围立体的表面积。

解：

由对称性知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面x2+y2=R2内的部分面积的16倍，如图10-30所示。

图10-30

这部分曲面的方程为，于是所求面积为.

11．选择坐标变换计算下列各题：

（1）

（2）

解：

（1）令则积分区域Ω变为Ω：

且

故

（2）坐标变换同

（1）。

12．利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积：

（1）z=6-x2-y2及；

（2）x2+y2+z2=2az（a>0）及x2+y2=z2（含有z轴的部分）；

（3）及z=x2+y2;

（4）z=及x2+y2=4z.

解：

（1）曲面围成的立体Ω如图10-55所示。

在柱面坐标系下，Ω可表示为：

图10-55

用柱面坐标可求得Ω的体积

（2）曲面围成的立体Ω如图10-56所示。

在球面坐标系下Ω可表示为：

图10-56

利用球面坐标可求得Ω的体积：

（3）曲面围成的立体Ω如图10-57所示。

在柱面坐标系下，Ω可表示为：

图10-57

利用柱面坐标可求得Ω的体积：

（4）曲面围成的立体Ω如图10-58所示。

在柱面坐标系下，Ω可表示为：

图10-58

利用柱面坐标可求得Ω的体积：

13．计算下列二次积分：

解：

（1）因为求不出来，故应改变积分次序。

积分区域D：

0≤y≤1,y≤x≤，如图10-14所示。

图10-14

D也可表示为：

0≤x≤1,x2≤y≤x.

所以

（2）因为求不出来，故应改变积分次序。

积分区域D分为两部分，其中

如图10-15所示：

图10-15

积分区域D亦可表示为：

于是：

14．求在点的梯度，并求梯度为零的点.

解：

15．在第I卦限内作椭球面

的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。

解：

令

∵

∴椭球面上任一点的切平面方程为

即

切平面在三个坐标轴上的截距分别为，因此切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为

即求在约束条件下的最小值，也即求xyz的最大值问题。

设,

解方程组

得.

故切点为，此时最小体积为

16．xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？

yOz面上的呢？

zOx面上的呢？

答:

在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0;

在zOx面上的点，y=0.

17．证明：

螺旋线x=acost,y=asint,z=bt的切线与z轴形成定角。

证明：

螺旋线的切向量为

.

与z轴同向的单位向量为

两向量的夹角余弦为

为一定值。

故螺旋线的切线与z轴形成定角。

18．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：

（1）求：

（2）求：

（3）其中f,g具有连续偏导数函数，求

（4）求

解：

（1）原方程组变为

方程两边对x求导，得

当

（2）设

故

（3）设

则

故

（4）是已知函数的反函数，方程组两边对x求导，得

整理得

解得

方程组两边对y求导得

整理得

解得

19．设f具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数：

（1）

（2）

（3）

解：

（1）

（2）

（3）

20．设f（x,y）=x+（y-1）arcsin，求fx（x,1）.

解：

则.

21．设有一圆，它的中心在z轴上，半径为3，且位于距离xOy平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.

解：

设（x，y，z）为圆上任一点，依题意有

即为所求圆的方程.

22．建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.

解：

球的半径为

设（x,y,z）为球面上任一点，则（x-1）2+（y-3）2+（z+2）2=14

即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.

23．求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3,x+3y+2z+1=0的交线的平面方程.

解：

设过两平面的交线的平面束方程为

其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）

故

解得λ=-4.

故所求平面方程为

2x+15y+7z+7=0

24．求过点（1，-2，1），且垂直于直线

的平面方程.

解：

直线的方向向量为,

取平面法向量为{1，2，3}，

故所求平面方程为

即x+2y+3z=0.

25．求下列直线与平面的交点：

（1）,2x+3y+z-1=0;

（2）,x+2y-2z+6=0.

解：

（1）直线参数方程为

代入平面方程得t=1

故交点为（2，-3，6）.

（2）直线参数方程为

代入平面方程解得t=0.

故交点为（-2，1，3）.

26．已知向量a和b互相垂直，且.计算：

（1）|（a＋b）×（a－b）|；

（2）|（3a＋b）×（a－2b）|.

（1）

（2）

27．已知a=（4,-2,4）,b=（6,-3,2）,计算：

（1）a·b;

（2）（2a-3b）·（a+b）；（3）

解：

（1）

（2）

（3）

28．设向量的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.

解：

设M的投影为，则

29．把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以，表示向量,,和.

解：

30．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

（1）

（2）

解：

（1）在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以

（2）在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故

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一、解答题

1．无

2．无

3．无

4．无

5．无

6．无

7．无

8．无

9．无

10．无

11．无

12．无

13．无

14．无

15．无

16．无

17．无

18．无

19．无

20．无

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无

29．无

30．无