线性代数北京理工大学出版社习题集解答Word格式.docx
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2,3,列标取2,4,所以剩下因子的行标只能取1,4,列标只能取1,3,因此未写出的因
子为勺厲3和d/y又因为r(1243)=l,“3241)=4,所以四阶行列式中含有因子a22a54的
项为(i)W匕內20,43和(-1)^3241)«
13«
22^34^41'
即一坷1如他4。
43和"
„34知-
3.已知/(X)=:
3x2
用行列式的定义求亡的系数.
解/(x)的展开式中含疋的项只有一项:
(-1)«
”J・1・X・X=-宀故疋的系数为—1・
4-利用行列式的定义计算下列行列式:
”)72x3x4=24;
解析由〃阶行列式的定义可知:
行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代数和.因为第1行只有一个非零元素1,先取a口=1,则第1行和第4列的元素不能再取了,再考虑第2行的元素,第2行只能取。
22=2,则第2行和第2列的元素也不能再取了,对第3行的元素而言,此时只能取«
31=3,则第3行和第1列的元素不能再取了,最后第4行的元素只能取a43=4,那么行列式的结果为(-1)r(42131a14a22a3!
a43=1x2x3x4=24;
补充练习
1.由行列式的定义写出0=
2x
的展开式中包含X’和X4的项.
解D的展开式中含x4的项只有一项(-l)w”5x・x・x・2x=ioh,而含疋的项有
两项(一1严叫・g・2x和(-1严旳3・x・x・i从而展开式中含兀'
的项为:
(_1)心刈1.*・*・2x+(_l)w旳3・x・x・x=-2x-3x3=-5x3.
1-4行列式的性质
1.利用行列式的性质计算下列行列式:
ab
-bd
~bf
-ac
cd
~cf
=abcdef
—ae
—de
~ef
dab爾
=-4abcdef;
⑷I
-9
20
=-10.
2.证明下列等式:
CT
@+厅
(4+2)2
(a+3尸
b2
(b+l)‘
(b+2),
(b+3)‘
C"
(c+l)‘
(c+2尸
(c+3),
d1
(d+厅
(cl
(d+3),
=0;
(2)
(3)
1+栩
1+丕儿
1+耳儿
1+和2
1+5
1+§
儿
1+兀儿
1+无儿
1+“儿
=0;
・
第2个行列式第1列提取儿,
证明
⑵把行列式中的扌舌号展开,第1列乘以-1加到其它列,化简行列式.
J
AT
(«
+1)2
(d+2)2
(Q+3)2
Q-
2a+l
4a+4
6a+9
(T
(b+纤
b-
2b+l
4b+4
6/7+9
c"
(c+2)21
(c+3尸
L
2c+l
4c+4
6c+9
dz
(d+1)2
(d+2)‘
S+3),
d2
2d+l
4d+4
6d+9
(3)由性质4,将D的第1列拆开,得
11+利21+兀儿
人月1+兀儿1+兀儿
D=
1i+x2y21+耳儿
+
x2ytl+x2y21+无儿,
11+兀儿1+厶儿
心儿1+D儿1+心儿
1兀儿兀儿
兀1+兀儿1+兀儿
1心儿乙儿
x2i+x2y2l+x2y3,
1“儿心儿
“1+兀儿1+心儿
将第1个行列式的第1列乘以T加到第2、3列,
将第1个行列式第2、3列提取儿,儿,将第2个行列式的第2列、第3列分别拆开,最后
可得如下行列式,
1X]X]
(
不11
西1西为
罚和21
D=儿儿
1x2x2
11
勺1吃儿
x2y21
X,<
2>
2兀儿
1x3x3
x311
心1召儿
勺也儿1
V3勺比召儿|丿
=0+0=0;
3.计算下列”阶行列式.
2-
X
1-
X・
;
(2)
3•
・X
:
•
・n
解⑴把第2,3,…/列分别乘以1加到第1列,得到第1列的公因子x+(77-l),提取
公因子之后,再给第1行乘以(-1)加到第2,3,…/行,化成上三角形行列式,得到行列式
的值.
=[x+(«
-!
)]
x-1
=[x+s—i)](m
X1•…1
X+(/7—1)1…1
11・・・1
1X・・・1
X+(/7-l)X…1
•••
••♦
=
=[x+(n-l)]
11・・・X
X+(/7-l)1…X
1+X
1+2
=0的根.
…2
0•…
0…
2…
2---
■
1…
—
1---
•…n
n-2
把第2行乘以(-1)分别加至其余各行,
再把第1行乘以2加至第2行,得
=—2・(〃_2)!
解第1行乘以(-1)加到第234行,得如下行列式:
1+x
再将上述行列式的第2,3,4列乘以1加到第1列,化成上三角形行列式.
4+2
=久?
(兄+4),
即可求出根:
2=0n!
U=-4.
5%
2%«
21
-3%
^21-«
31
2.己知行列式
a2la22
=2
求行列式
2。
归a22
-3al2
久22_^32
^31°
32
2务3。
23
-3即冬3一。
33
2a
iia
21-3©
]
air
~a5L
5Q
21_3nil
a2l-a31
解
2d
12a:
»
2~3坷2
^22
~ai2
ai2(l
22-%
a22_a32
13a
13-%
a25■
-偽3
耳3(1
23-%
冬3_厲3
_。
an
-3厲]
冬】—5
a22a22
~Cl52
+2
-3铅
a22-—
a234
_°
勺3
一3铅
a23~a33
«
11«
勺2a22
a2!
Cl22
%
a22
_6/32
=—2
如
a12
®
冬3
仙①3
g
a3i
角3
1.5行列式按行(列)展开
-204
1•求行列式502中元素5与2的代数余子式.
3-11
04
解元素5的代数余子式为A21=(-l)2+1=-4,
—11
-20
元素2的代数余子式为A3=(-l)2+33]=-2.
2.已知四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2,它们的余子式依次为2、1、4,求行列式的值.
解由行列式按行(列)展开定理,得
D=偽A+乐&
2++丛3+碼A
=4x(-1)3+1x2+3x(-l)3+zx1+0x(-1严x(_1)+(-2)x(-1)3+4x4
=8-3+0+8=13.
3.求下列行列式的值
R1
-6
-7
=1x(—1严
5+(—l)q
C3+(-l)q
=-24;
(3)所求行列式为四阶范德蒙行列式,
由范德蒙行列式的展开公式,
4
8
-8
y
X"
=(2—1)(-2-1)(-2-2)(x-1)(—2)[x-(-2)]
=12(x-l)(x-2)(x+2).
k-\
k-\20
=lx(-l)1+1
0k3
03k
k
=伙一1)伙一3)伙+3),
所以,当kJ且且k^-3时,
5.计算"
阶行列式
(3)按第1列展开,得
…0
...0
♦•
…1
2=2(-1)*St+(-1尸
上式右端的行列式再按第一行展开,得
6=2氏7-入,
移项,得
递推,得Dn-入=入―=D“—
从而得
以=以7+1,D”_l=Dn_2+1,…,2=£
)]+1,
把上面个等式相加,得
Dn=D{+n-\=2+n-l=n+\.
7.设四阶行列式
a
c
b
d
试求九+绻+码+芻的值,其中釦(心1,2,3,4)为行列式Q的第4列第i行的元素的代数余子式.
解根据行列式按行(列)展开定理的推论,有
a12^14+。
22Am+。
3“34+^42^44=6
即M14+bA24+M34+bA44=b(&
4+A24+A34+A44)=0,
A4+£
+£
+Ah=°
1.6
行列式的应用
1.用克莱姆法则解线性方程组
2片+x2-x3+x4=1,x1+2x2-x3+x4=2,x2+2x3+3x4=3,xk+x2
解:
-1-3
=(—1严
1-2
-3
=-18^0.
=—1&
d2=
Z
5
一
=-36.
7
所以方程组有唯一解.又
=-36,
=18,
所以方程组的解为
口=斗,
1D-18
3D-18
'
4,
-D-18心亠一].
D-18
2.2满足什么条件时,线性方程组
Axl+x2-x3=L
X]-3x2+x3=2,
几兀-x2+3x3=1,
有唯一解?
解由克莱姆法则知,当系数行列式DhO,线性方程组有唯一解,
当£
>
工0时,
-2(52+1)^0,即当时,题设的线性方程组有唯一解.
3.当k为何值时,齐次线性方程组
2兀+kx2-£
=°
、
vkxA-x2+X3=0、
4xx+5x2-5・口=0,
有非零解?
解齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式0=0,
45
卜+2
k_l
1=(-1)2+3
k+2
5R+4
k-1
=伙_l)(5k+4),
由£
)=0得:
k=\,k=-§
.
4.a和0为何值时,齐次线性方程组
ctxl+x2+x3=0,
<
Xi+0兀+5=0,
x^+2flx2+£
=0,
有非零解?
解齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式£
)=0,
a1
D=10
120
0-1
20—1
=0(15
=0得:
0=0或a=l.即当0=0或a=l时,方程组有非零解.
5・求二次多项式f(x)=ax2+bx+c9使得/
(1)=-2,/(-1)=10,/⑵=-5・解由/
(1)=一2,/(-1)=10,/
(2)=-5,得
ci+b+c=-2,
va-b+c=10.
4a+2b+c=-5・
要求二次多项式需要求出系数a,b.c,即要求出上述非齐次线性方程组的解.由其系数行列式
111
D=1-11=6工0,
421
所以可用克莱姆法则求解•由于
D严
10
=6,
110
=-迢
2=
-5
4-5
从而
a=
hi,
D
b』
=-6,c=
J.
即所求的二次多项式为f(x)=x2-6x+3.
2.系数,ai2,ai5,af4(z=1,2,3,4)满足什么条件时,四个平面atlx+ai2y+anZ+ai4=0Q=l,2,3,4)相交于一点(心,凡,為)?
解把平面方程写成如下形式
adx+ai2y+ai3z+cii4t=0,(r=1,j=l,2,3,4),
于是由四个平面相交于一点,推知齐次线性方程组
cinx+any+anz+cij=0,
a2lx+a22y+a2Zz+a24t=0,
cinx+aZ2y++a^t=0,
a4ix+a42y+a4Zz+aj=0,
有一非零解(兀,儿,乙。
,1).根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式D=0,即四个平面相交于一点的条件为
anan知Cli4
3.设平面曲线y=d通过点(1,0),(2,-2),(3,2),(4,18),求
系数a,b心d.
解由平面曲线通过点(1,0),(2,-2),(3,2),(4,18),得
a+b+c+d=O,
8a+4Z?
+2c+d=-2,
27a+9b+3c+d=2,
64a+16b+4c+d=1&
我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数a、b心d.
842
2793
1=12,
=12,
9
18
16
又
r=
=—36,
27
64
=0,
=24,
✓
64164
第二章矩阵
1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质:
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律.了解方阵的行列式、方阵的幕与方阵的多项式的性质;
3.理解可逆矩阵的概念和性质,以及理解矩阵可逆的充要条件。
理解伴随矩阵的概念,掌握通过伴随矩阵求町逆矩阵的方法;
4.知道分块矩阵的概念及其运算规律:
5.了解矩阵等价的概念,掌握矩阵的初等变换,并能用初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形.掌握用初等变换求逆矩阵和矩阵方程.理解初等矩阵的定义及其理论;
6.理解矩阵秩的概念,掌握矩阵秩的相关性质,并能用初等变换求矩阵的秩;
2.1矩阵的概念
2.图2.1表示了b省三个城市人、乞、厲和。
省三个城市cPq、q相互间高等级道路的通路情况•试用矩阵表示心省和c省之间的通路情况.
图2.1中两省的城市相互间的通路情况可以用矩阵表示,规定矩阵元素
°
=J1,城市j与城市/之间有通路
勺=[0,城市i与城市J之间没有通路
由上规定,
b省和c省之间的城市通路情况可用下列形式表示:
c.C、C,.、
)・,(110、
切110
c,,,记为矩阵4=011・
k011
1011
$101'
7
1•图2・2表示某物质在四个单位之间的转移路线•设
1,物质在单位,和单位丿之间有转移
0,物质在单位i和单位丿•之间没有转移
试用矩阵表示该物质在这四个单位之间的转移路线.
解图2.2中物质在四个单位间的转移情况可用一个
4x4矩阵表示:
0、
4=
图2.2
儿=呂
1.若有线性变换>?
2=,试写出该线性变换的矩阵.
解该线性替换的矩阵为〃阶单位矩阵:
(11
E=
n・
‘1
3・某一城市在2000年的城市和郊区人I