线性代数北京理工大学出版社习题集解答Word格式.docx

1、2, 3,列标取2, 4,所以剩下因子的行标只能取1, 4,列标只能取1, 3,因此未写出的因子为勺厲3和d/y又因为r（1243） = l, “3241） = 4 ,所以四阶行列式中含有因子a22a54的项为（i）W匕內20,43 和（-1）3241）13223441 即一坷1如他4。43 和34知-3.已知/（X）=:3x2用行列式的定义求亡的系数.解 /（x）的展开式中含疋的项只有一项：（-1）”J1XX = -宀 故疋的系数为14-利用行列式的定义计算下列行列式:”）72x3x4 = 24；解析由阶行列式的定义可知：行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代 数和.因为第1行只有一个非

2、零元素1,先取a口 =1，则第1行和第4列的元素不能 再取了，再考虑第2行的元素，第2行只能取。22=2,则第2行和第2列的元素也 不能再取了，对第3行的元素而言，此时只能取31 =3,则第3行和第1列的元素 不能再取了，最后第4行的元素只能取a43 = 4 ,那么行列式的结果为 （-1）r （42131 a 14a 22a 3! a 43 = 1x2x3x4 = 24；补充练习1.由行列式的定义写出0 =2x的展开式中包含X和X4的项.解 D的展开式中含x4的项只有一项（-l）w”5xxx2x = ioh,而含疋的项有两项（一1严叫g2x和（-1严旳3xxi从而展开式中含兀的项为:（_1）心

3、刈 1. * * 2x + （_l）w旳 3 x x x = -2x - 3x3 = -5x3.1-4行列式的性质1.利用行列式的性质计算下列行列式:ab-bdbf-accdcf=abcdefaedeefdab爾=-4abcdef;I-920= -10.2.证明下列等式:CT+厅（4 + 2）2（a + 3尸b2（b + l）（b + 2），（b + 3）C（c + l）（c + 2尸（c + 3），d1（d + 厅（cl（d + 3），=0；（2）（3）1+栩1+丕儿1+耳儿1 +和21+51 + 儿1+兀儿1 +无儿1+“儿=0;第2个行列式第1列提取儿,证明 把行列式中的扌舌号展开，第1

4、列乘以-1加到其它列，化简行列式.JAT（+1）2（d + 2）2（Q + 3）2Q-2a + l4a+ 46a + 9（T（b + 纤b-2b + l4b+ 46/7 + 9c（c + 2）21（c + 3尸L2c + l4c + 46c + 9dz（d+1）2（d + 2）S + 3），d22d + l4d + 46d + 9（3）由性质4,将D的第1列拆开，得1 1+利2 1 +兀儿人月1 +兀儿 1 +兀儿D =1 i + x2y2 1 + 耳儿+x2yt l + x2y2 1 + 无儿，1 1 +兀儿 1 +厶儿心儿1 + D儿 1 +心儿1兀儿兀儿兀1+兀儿 1+兀儿1心儿乙儿x2

5、 i + x2y2 l + x2y3 ,1 “儿心儿“ 1 +兀儿 1 +心儿将第1个行列式的第1列乘以T加到第2、3列,将第1个行列式第2、3列提取儿，儿，将第2个行列式的第2列、第3列分别拆开，最后可得如下行列式，1 X X（不1 1西1西为罚和2 1D =儿儿1 x2 x21 1勺1吃儿x2y2 1X, 2兀儿1 x3 x3x3 1 1心1召儿勺也儿1V3勺比召儿|丿= 0 + 0 = 0；3.计算下列”阶行列式.2 -X1 -X ； （2）3 X: n解 把第2,3,/列分别乘以1加到第1列，得到第1列的公因子x+（77-l）,提取公因子之后，再给第1行乘以（-1）加到第2,3,/行，

6、化成上三角形行列式，得到行列式的值.=x+（-!）x-1=x+si）（mX 1 1X + （/7 1） 1 11 111 X1X+（/7-l） X 1 = x + （n-l）1 1XX+（/7-l） 1 X1 + X1 + 2=0的根.20 0 22 -1 1 - nn-2把第2行乘以（-1）分别加至其余各行,再把第1行乘以2加至第2行，得=2 （ _ 2）!解 第1行乘以（-1）加到第234行，得如下行列式:1 + x再将上述行列式的第2, 3, 4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.4 + 2=久？（兄 + 4）,即可求出根：2 = 0n!U = -4.5 %2% 21-3%21- 3

7、12.己知行列式a2l a22=2,求行列式2。归 a22- 3al2久22 _ 3231 322务 3 。23- 3即 冬3 一。332aii a21 -3 aira5L5 Q21_3nila2l - a31解2d12 a：2 3坷222ai2ai2 （l22 - %a22 _ a3213 a13 - %a25 -偽3耳3 （123 - %冬3 _厲3_。an-3厲冬】5a22 a22Cl52+ 2-3铅a22 -a23 4_勺3一3铅a23 a3311 勺2 a22a2!Cl22%a22_6/32=2如a12冬3仙3ga3i角31.5行列式按行（列）展开-2 0 41 求行列式5 0 2中

8、元素5与2的代数余子式.3 -1 10 4解 元素5的代数余子式为A21 = （-l）2+1 =-4,1 1-2 0元素2的代数余子式为A3=（-l）2+3 3 =-2.2.已知四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2,它们的余子式依次为2、1、4, 求行列式的值.解 由行列式按行（列）展开定理，得D =偽A +乐&2 + +丛3 +碼A= 4x（-1）3+1 x 2 + 3 x （- l）3+z x 1 + 0 x （-1严 x （_ 1） + （-2） x（-1）3+4 x 4= 8-3 + 0+8 = 13.3.求下列行列式的值R1-6-7= 1x（1 严5+（l）qC3 + （-l）

9、q= -24;（3）所求行列式为四阶范德蒙行列式,由范德蒙行列式的展开公式,48-8yX=（21）（-2 -1）（-2 - 2）（x -1）（ 2）x-（-2）=12（x - l）（x- 2）（x + 2）.k-k- 2 0= lx（-l）1+10 k 30 3kk=伙一1）伙一3）伙 + 3）,所以，当kJ且且k-3时,5.计算阶行列式（3）按第1列展开，得 0.0 12 = 2（-1）*St+（-1 尸上式右端的行列式再按第一行展开，得6=2氏7-入,移项，得递推，得Dn -入=入= D“ 从而得以=以7 + 1 , D”_l = Dn_2 + 1 ,，2 = ） +1,把上面个等式相加，

10、得Dn = D + n- = 2 +n-l = n + .7.设四阶行列式acbd试求九+绻+码+芻的值,其中釦（心1，2,3,4 ）为行列式Q的第4列第i行 的元素的代数余子式.解根据行列式按行（列）展开定理的推论，有a 1214 +。22 Am +。3“34 + 4244 = 6即 M14 + bA24 + M34 + bA44 = b（&4 + A24 + A34 + A44） = 0,A4 + + + Ah = 1.6行列式的应用1.用克莱姆法则解线性方程组2片 + x2- x3 + x4 = 1, x1 + 2x2 - x3 + x4 = 2, x2 + 2x3 + 3x4 = 3,

11、 xk+ x2解:-1 -3=（1 严1 -2-3= -180.=1&d2 =Z5一= -36.7所以方程组有唯一解.又= -36,= 18,所以方程组的解为口=斗,1 D -183 D -18 4,-D -18 心亠一.D -182.2满足什么条件时，线性方程组Axl + x2 - x3 = LX - 3x2 + x3 = 2,几兀-x2 + 3x3 = 1,有唯一解？解 由克莱姆法则知，当系数行列式DhO,线性方程组有唯一解,当工0时，-2（52 + 1）0,即当时，题设的线性方程组有唯一解.3.当k为何值时，齐次线性方程组2兀 + kx2 - = 、v kxA - x2+ X3 = 0、

12、4xx + 5x2 - 5口 = 0,有非零解？解 齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式0 = 0,4 5卜+ 2k_l1 =（-1）2+3k + 25R + 4k-1=伙 _ l）（5k + 4）,由） = 0得：k = , k = -.4.a和0为何值时，齐次线性方程组ctxl + x2 + x3 = 0, Xi + 0兀 +5 = 0,x + 2flx2 + = 0,有非零解?解 齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式） = 0,a 1D= 1 01 200-120 1= 0（15 = 0得：0 = 0或a = l.即当0 = 0或a = l时，方程组有非零解.5求二次多项式 f（x）

13、 = ax2+bx+c 9 使得/（1） = -2, /（-1） = 10, /=-5 解由/（1） = 一2, /（-1） = 10, /（2） = -5,得ci+ b + c = -2,v a- b + c = 10.4a + 2b + c = -5 要求二次多项式需要求出系数a, b.c ,即要求出上述非齐次线性方程组的解. 由其系数行列式1 1 1D= 1 -1 1 =6工0,4 2 1所以可用克莱姆法则求解由于D严10=6,1 10=-迢2 =-54 -5从而a =hi,Db=-6, c=J.即所求的二次多项式为f（x） = x2-6x + 3.2.系数, ai2, ai5, af4

14、 （z = 1,2,3,4）满足什么条件时,四个平面atlx+ai2y + anZ + ai4 = 0 Q = l,2,3,4）相交于一点（心，凡，為）?解把平面方程写成如下形式adx + ai2y + ai3z + cii4t = 0, （r = 1, j = l,2,3,4）,于是由四个平面相交于一点，推知齐次线性方程组cinx + any + anz + cij = 0,a2lx + a22 y + a2Zz + a24t = 0,cinx + aZ2 y + + at = 0,a4ix + a42 y + a4Zz + aj = 0,有一非零解（兀，儿，乙。，1）.根据齐次线性方程组有

15、非零解的充分必要条件是系数行列式 D = 0,即四个平面相交于一点的条件为an an 知 Cli43.设平面曲线 y = d 通过点（1, 0）, （2, -2）, （3, 2）, （4, 18）,求系数a ,b心d.解 由平面曲线通过点（1, 0）, （2, -2）, （3, 2）, （4, 18）,得a+ b+c+d = O,8a + 4Z? + 2c + d = - 2,27a + 9b + 3c + d = 2,64a + 16b + 4c + d = 1&我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数a、b心d.8 4 227 9 31 = 12,=12,91816又r =36 ,276

16、4=0,= 24,64 16 4第二章矩阵1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及 它们的性质：2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律.了解方阵的行列式、方阵的 幕与方阵的多项式的性质；3.理解可逆矩阵的概念和性质，以及理解矩阵可逆的充要条件。理解伴随矩阵的概念， 掌握通过伴随矩阵求町逆矩阵的方法；4.知道分块矩阵的概念及其运算规律：5.了解矩阵等价的概念，掌握矩阵的初等变换，并能用初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵、 行最简形矩阵和标准形.掌握用初等变换求逆矩阵和矩阵方程.理解初等矩阵的定义及其理 论；6.理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的相关性质，并

17、能用初等变换求矩阵的秩；2.1矩阵的概念2.图2.1表示了 b省三个城市人、乞、厲和。省三个城市 cP q、q相互间高等级道路的通路情况试用矩阵表示心 省和c省之间的通路情况.图2.1中两省的城市相互间的通路情况可以用矩阵表示，规定矩阵元素 =J1,城市j与城市/之间有通路勺=0,城市i与城市J之间没有通路由上规定，b省和c省之间的城市通路情况可用下列形式表示：c. C、 C, . 、, ）， （110、切 1 1 0,c ,记为矩阵4= 0 1 1k 0 1 110 11$ 1 0 1 71图22表示某物质在四个单位之间的转移路线设1,物质在单位，和单位丿之间有转移0,物质在单位i和单位丿之间没有转移试用矩阵表示该物质在这四个单位之间的转移路线.解 图2.2中物质在四个单位间的转移情况可用一个4x4矩阵表示：0、4 =图2.2儿=呂1.若有线性变换?2 = ,试写出该线性变换的矩阵.解该线性替换的矩阵为阶单位矩阵：（1 1E =n 13某一城市在2000年的城市和郊区人I