连续梁按弹性理论五跨梁内力系数及弯矩分配法.docx

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连续梁按弹性理论五跨梁内力系数及弯矩分配法

附表25：

等截面等跨连续梁在常用荷载作用下按弹性分析的内力系数（五跨梁）。

弯矩分配法（弯矩分配法计算连续梁和刚架及举例）

一、名词解释

弯矩分配法在数学上属于逐次逼近法，但在力学上属于精确法的范畴，主要适用于连续梁和刚架的计算。

在弯矩分配法中不需要解联立方程，而且是直接得出杆端弯矩。

由于计算简便，弯矩分配法在建筑结构设计计算中应用很广。

（一）线刚度i

杆件横截面的抗弯刚度EI被杆件的长度去除就是杆件的线刚度i：

（a）当远端B为固定支座时，对于A点处，AB杆的转动刚度；

（b）当远端B为铰支座时，对于A点处，AB杆的转动刚度；

（c）当远端B为滑动支座时，对于A点处，AB杆的转动刚度；

（d）当远端B为自由端时，对于A点处，AB杆的转动刚度。

连续梁和刚架的所有中间支座在计算转动刚度时均视为固定支座。

（二）转动刚度S

转动刚度表示靠近节点的杆件端部对该节点转动的反抗能力。

杆端的转动刚度以S表示，等于杆端产生单位转角需要施加的力矩，。

施力端只能发生转角，不能发生线位移。

中的第一个角标A是表示A端，第二个角标B是表示杆的远端是B端。

表示AB杆在A端的转动刚度。

（三）分配系数μ

各杆A端所承担的弯矩与各杆A端的转动刚度成正比。

称为分配系数，如表示杆AB在A端的分配系数。

它表示AB杆的A端在节点诸杆中，承担反抗外力矩的百分比，等于杆AB的转动刚度与交于A点各杆的转动刚度之和的比值。

总之，加于节点A的外力矩，按各杆的分配系数分配于各杆的A端。

（四）传递系数C

称为传递系数。

传递系数表示当近端有转角（即近端产生弯矩）时，远端弯矩与近端弯矩的比值。

因此一般可由近端弯矩乘以传递系数C得出远端弯矩。

当远端为固定的边支座或为非边支座；

当远端为滑动边支座　　　　　　　；

当远端为铰支边支座　　　　　　　。

节点A作用的外力矩M，按各杆的分配系数μ分配给各杆的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。

（五）杆端弯矩

弯矩分配法解题过程中所指的杆端弯矩是所有作用于杆端的中间计算过程的最后总的效果。

计算杆端弯矩的目的，是因为杆端弯矩一旦求出，则每相邻节点之间的“单跨梁”将可以作为一根静定的脱离体取出来进行该杆的内力分析。

其上作用的荷载有外荷载，每一杆端截面上一般有一个剪力和一个弯矩，两端共有二个剪力和二个弯矩。

这两个弯矩就是两端的杆端弯矩，既然它们已经求出，那么余下的两个剪力可由两个静力平衡方程解出。

（六）近端弯矩和远端弯矩

二、弯矩分配法的思路

在求杆端弯矩时，其主要的目标是：

（1）由于节点上有两根或多根杆件汇集，因此需确定每一根杆在维持节点不转动平衡过程中所作出的贡献。

这需要用到分配系数μ以及与分配系数μ有关的转动刚度S、线刚度i、截面刚度EI等值。

（2）影响节点产生转动的力矩大小及方向。

这需要涉及到单跨梁的固端弯矩，它的含义是：

将每相邻节点之间的杆件视为一根两端支座为固定支座或一端固定一端铰支的单跨梁，这样的梁在各种外荷载作用下的杆端弯矩叫做固端弯矩。

两端铰支的单跨梁无固端弯矩，即两端铰支的单跨梁的两铰支端的固端弯矩为零。

只有固定端才有固端弯矩，铰支端的固端弯矩为零（单跨梁）。

固定端不允许转动所以产生固端弯矩，而铰支端允许转动不产生固端弯矩。

三、弯矩分配法的运算步骤

连续梁或刚架弯矩分配法运算过程：

（1）求各杆件（梁或柱）的线刚度i、杆端（梁端或柱端）转动刚度S和分配系数μ（对于刚架，参加分配系数计算的不仅有梁，还有柱）。

（2）根据各个“单跨”梁或柱的荷载情况和支座特征查表求出各“单跨”杆件在杆端的固端弯矩。

这里需注意的是固端弯矩是带符号的，可以用“左负右正”四个字来帮助记忆。

即对每一“单跨”梁而言，左端的取负值或零，右端的取正值或零。

当“单跨”的边支座为铰支座时，它不能抵抗杆件的转动，所以边支座为铰支座时的=0；但对于所有非边支座，则一律视为固定端支座。

（3）将与同一支座相连接的各杆的固端弯矩取代数和后反号按分配系数分配到与支座相连的各杆杆端。

这一步的注意点是将固端弯矩代数和反号再分配。

（4）将分配得到的弯矩视该节点各杆远端支座特征决定是否向远端传递。

这种分配、传递将可能进行多次。

这种次数只要进行的足够，从理论上讲将可以达到任意要求的精确度。

但是工程实践上则只要进行2~3个循环即可满足正式结构设计的要求。

（5）将上面四步运算之后的与同一节点相连的每根杆件杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩分别求代数和，即为各杆的杆端弯矩。

这一步的注意点是与同一支座相连的各杆的杆端弯矩代数和必定为零，否则说明计算上有错，或尚需进一步分配、传递。

静定结构的内力只按静力平衡条件即可确定，其值与结构的材料性质和截面尺寸无关。

超静定结构的全部反力和内力如只按静力平衡条件则无法确定，还必须同时考虑变形协调条件（即各部分的变形必须符合原结构的联接条件和支承条件）才能得出确定的解答，故超静定结构的内力状态与结构的材料性质和截面尺寸有关。

在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆刚度的相对比值有关，而与其绝对值无关；在温度改变、支座移动等因素影响下，超静定结构的内力则与各杆刚度的绝对值有关，并且一般是与各杆刚度的绝对值成正比的。

对非结构专业来说，特别是对建筑学专业，不可能花大量的精力去从事对超静定结构的矩阵分析，因此弯矩分配法这样简明适用的方法就更有它的实际意义。

一方面，弯矩分配法可以满足对一般正式结构设计的要求；另一方面，可以使建筑师加强对结构的概念设计。

所以其优越性是显而易见的。

例8-1图示一连续梁，用弯矩分配法作弯矩图。

解：

（1）求分配系数

a.杆AB和杆BC的线刚度相等。

b.转动刚度：

c.分配系数：

d.校核：

+=1，分配系数写在节点B上面的方框内。

（2）求固端弯矩，把梁看成两根独立的单跨梁。

查表：

AB跨属表８－１编号５，而BC跨属表８－１编号２。

将结果写在相应杆端的下方。

在节点B，BA梁与BC梁在B端的固端弯矩代数和为

（３）分配并传递，将节点B的固端弯矩代数和反号得被分配的弯矩为－６kN·m，此弯矩按分配系数分配于两杆的B端；并由于A端为固端边支座，所以由BA杆的B端向A端传递去B端弯矩的一半；C端由于是铰支边支座，故传递系数为零，即不向C端传递。

a.分配弯矩：

b.传递力矩：

用箭头表示弯矩传递的方向。

（4）将以上结果竖向叠加，即得到最后的杆端弯矩。

可列表进行，最下面一行表示最后结果。

注意B节点应满足平衡条件：

注意A端是固定边支座，只有一根杆AB，其分配系数为1，故它虽有固端弯矩，但不存在分配或向B端传递的问题，可A端却可以接受从B端传递过来的弯矩。

（5）计算跨中弯矩

a.将AB梁按简支梁画出计算简图，其上的荷载有两种，一是本来存在的集中荷载，二是在它两端按弯矩分配法算出的杆端弯矩，以集中力偶的形式作用于A、B两杆端处。

见图8-10（a）。

b.将AB梁按两端简支梁情况下，仅作用有集中荷载时求出在中点的弯矩，见图8-10（b）。

c.将AB梁按两端简支梁情况下，仅在两端分别有杆端弯矩作用下求出中点的弯矩，实际上是一个几何梯形的中位线长度纵坐标，见图8-10（c）。

d.跨中点弯矩的最终结果为b、c两步纵坐标的代数和。

梁段上的其它任一点的弯矩也可以参照以上方法求出。

中点弯矩为

（6）在计算有多个节点的连续梁或刚架时，若将两个节点同时分配和传递，这两个节点既可相邻也可是被一个节点在当中隔开的形式。

若从不平衡力矩（即节点四周各杆的杆端弯矩的代数和）较大的节点开始，可使收敛较快。

（7）作弯矩图

a.用弯矩分配法列表计算出的都是各杆带正号或负号的杆端弯矩。

正顺负逆（顺正逆负）

b.带+号（正号一般省略不写）的杆端弯矩使杆端作顺时针旋转，此时想象杆端往远端方向稍远一些的横截面固定不动。

比如图8-9中AB杆在B端的杆端弯矩，想象离B端稍往左处的杆截面（图8-9中的D-D截面）固定不动，由于正号杆端弯矩+11.57kN·m，所以它使B端绕这个想象中被固定的横截面作顺时针旋转。

显然这个+11.57kN·m的杆端弯矩使AB上这小段杆件BD的上部纤维受拉，下部纤维受压。

我们总是把弯矩图画在杆件的受拉纤维一侧。

因此AB杆在B端的杆端弯矩＋11.57kN·m应画在杆的横线的上方。

c.带负号的杆端弯矩使杆端作逆时针旋转，此时也同样想象离杆端往远端方向稍远一些的横截面固定不动。

比如图8-9中AB杆在A端的杆端弯矩，想象离A端稍往右处的杆截面（图8-9中的E-E截面）固定不动，由于是负号杆端弯矩-16.72kN·m，所以它使A端绕这个想象中被固定的横截面作逆时针旋转。

显然这个-16.72kN·m的杆端弯矩使AB上的这一“小段”杆件AE的上部纤维受拉，下部纤维受压。

根据弯矩图总是画在杆件的受拉纤维一侧的规定，因此AB杆在A端的杆端弯矩-16.72kN·m也应画在代表杆的横线的上方。

d.至于每一单跨上的跨中弯矩，只需凭弯矩图总是画在受拉纤维一侧这个规定和跨中弯矩的计算过程就可以正确的决定它是画在代表杆的横线上方还是下方。

（8）计算剪力

a.按每一单跨杆件分别取脱离体求剪力。

把每一单跨梁看成简支梁，它的荷载有三种：

第一种是原来就作用在单跨上的荷载。

第二种是用弯矩分配法算出来的杆端弯矩。

第三种是简支梁的两端两个支座反力，它们是未知的，由于脱离体可列出两个静力平衡方程，而支座反力也恰好为两个，故可顺利求出。

而这两个支座反力，就是我们要求的剪力。

杆端剪力在这里起了“支座反力”的作用。

因此将“支座反力”用箭头表示，方向和大小假定，先不考虑它的真实指向和大小。

b.按简支梁求支座反力的方法列出平衡方程可求出箭头所示力的大小和正负号。

剪力大小即等于支座反力，从解方程直接得出，剪力的方向视箭头所示力的正负号而定。

如果是正号，说明箭头指向就是真正的指向；如果是负号，说明与原假定的指向相反。

画出剪力图。

例8-2试计算图8-11连续梁的杆端弯矩和跨中弯矩。

并作弯矩图。

解：

（1）求固端弯矩：

（2）求分配系数：

a.对节点B，相邻两杆BA、BC的转动刚度

所以

b.同理，对节点C有：

（3）分配结果见图8-11。

（4）求跨中弯矩

a.对AB跨：

b.对BC跨：

c.对CD跨见图8-12。

在集中力作用下，CD跨的最大跨间弯矩发生在集中力P=160kN作用点。

（a）在集中力作用下，该点的简支梁弯矩（图8-12b）

（b）在杆端弯矩作用下，该点的负弯矩为（图8-12c）

（c）该点的弯矩为和的代数和。

（5）作出连续梁的弯矩图。

例8-4试用弯矩分配法计算图8-14（a）所示等截面连续梁（带悬臂梁）的各杆端弯矩。

并作弯矩图。

已知各杆EI值为：

AB为6，BC为4，CD为4，DE为6。

解：

此梁的悬臂EF为一静定部分，该部分的内力根据静力平衡条件便可求得：

。

若将该悬臂部分去掉，而将作为外力作用于节点E，图8-14（b）,节点E便化为铰支端，整个计算即可按此考虑。

计算分配系数时，其中

计算固端弯矩时，对杆DE，将相当于一端固定另一端铰支的单跨梁，除跨中受集中力作用外，并在铰支端E处受一集中力和一集中力偶的作用。

其中作用在E端的集中力为支座直接承受，在梁内不引起弯矩，而E端的力偶40kN·m将使杆DE引起固端弯矩，其值为DE跨在D端的固端弯矩（编号1）与EF跨在E端的固端弯矩向远端D的传递弯矩之代数和，即

其余固端弯矩均可查表求得。

分配及弯矩图见8-14。

例8-5求图8-15所示刚架的弯矩图。

解：

（1）转动刚度：

（2）分配系数：

节点B：

节点C：

（3）固端