1922菱形的判定导学案文档格式.docx
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证明上述结论:
探究三:
李芳同学先画两条等长的线段AB、AD,然后分别以B、D为圆心,AB为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC、CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?
请你画一画。
的四边形是菱形
例1.如图,
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=5,AC=8,DB=6
求证:
四边形ABCD是菱形.
三、练习
1.判断题,对的画“√”错的画“×
”
(1).对角线互相垂直的四边形是菱形()
(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形()
(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形()
(4).对角线相等的四边形是菱形()
2.如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分ABCD是菱形吗?
求证:
(1)四边形ABCD是平行四边形
(2)过A作AE⊥BC于E点,过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.
(3)求证:
3.已知:
如图
ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
四边形AFCE是菱形.
4.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P,Q分别是AD,BC,BD,AC的中点.
MN与PQ互相垂直平分。
5.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E.
(1)求证:
四边形AECD是菱形;
(2)若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.
6.如图,□ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=
.对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
(1)证明:
当旋转角为90°
时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?
如果不能,请说明理由;
如果能,画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
四、中考链接
一、选择题
1.(2011•西宁)用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A、一组临边相等的四边形是菱形B、四边相等的四边形是菱形
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
故选B.
2.(2011•莱芜)如图,E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点,且AB=CD.下列结论:
①EG⊥FH,②四边形EFGH是矩形,③HF平分∠EHG,④EG=
(BC﹣AD),⑤四边形EFGH是菱形.其中正确的个数是( )
A、1B、2C、3D、4
故选C.
3.(2011湖南益阳)如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:
分别以A和B为圆心,大于
AB的长为半径画弧,两弧相交于C.D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( )
A.矩形B.菱形
C.正方形D.等腰梯形
故选:
B.
4.(2011襄阳)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是( )
A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形
故选D.
5.(2011清远)如图.若要使平行四边形ABCD成为菱形.则需要添加的条件是( )
A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD
二、填空题
1.(2011•贵港)如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=6cm,∠ABC=60°
,则四边形ABCD的面积等于 18
cm2.
2.(2011福建省三明市,14,4分)如图,▱ABCD中,对角形AC,BD相交于点O,添加一个条件,能使▱ABCD成为菱形.你添加的条件是 (不再添加辅助线和字母)
故答案为:
AB=BC或AC⊥BD等.
三、解答题
1.(2011江苏镇江常州)已知:
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,求证:
四边形BCDE是菱形.
解答:
证明:
∵AD⊥BD,
∴△ABD是Rt△
∵E是AB的中点,
∴BE=
AB,DE=
AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
∴BE=DE,
∴∠EDB=∠EBD,
∵CB=CD,
∴∠CDB=∠CBD,
∵AB∥CD,
∴∠EBD=∠CDB,
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD,
∵BD=BD,
∴△EBD≌△CBD(SAS),
∴BE=BC,
∴CB=CD=BE=DE,
∴菱形BCDE.(四边相等的四边形是菱形)
2.(2011新疆乌鲁木齐)如图,在平行四边形ABCD中,∠DAB=60°
,AB=2AD,点E、F分别是CD的中点,过点A作AG∥BD,交CB的延长线于点G.
四边形DEBF是菱形;
(2)请判断四边形AGBD是什么特殊四边形?
并加以证明.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD且AB=CD,AD∥BC且AD=BC
∵E,F分别为AB,CD的中点,∴BE=
AB,DF=
CD,
∴四边形DEBF是平行四边形
在△ABD中,E是AB的中点,∴AE=BE=
AB=AD,而∠DAB=60°
∴△AED是等边三角形,即DE=AE=AD,故DE=BE
∴平行四边形DEBF是菱形.
(2)四边形AGBD是矩形,理由如下:
∵AD∥BC且AG∥DB∴四边形AGBD是平行四边形
由
(1)的证明知AD=DE=AE=BE,∴∠ADE=∠DEA=60°
,
∠EDB=∠DBE=30°
故∠ADB=90°
∴平行四边形AGBD是矩形.
3.(2011云南保山)如图,在平行四边形ABCD中,点P是对角线AC上一点,PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E、F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗?
解:
是菱形.
理由如下:
∵PE⊥AB,PF⊥AD,且PE=PF,
∴AC是∠DAB的角平分线,
∴∠DAC=∠CAE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,
∴∠DCA=∠CAB,
∴∠DAC=∠DCA,
∴DA=DC,
∴平行四边形ABCD是菱形.
4.(2011•贵港)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE.
四边形ABED是菱形;
(2)若∠ABC=60°
,CE=2BE,试判断△CDE的形状,并说明理由.
如图,∵AE平分∠BAD,
∴∠1=∠2,
∵AB=AD,AE=AE,
∴△BAE≌△DAE,
∵AD∥BC,
∴∠2=∠3=∠1,
∴AB=BE,
∴AB=BE=DE=AD,
∴四边形ABED是菱形.
(2)解:
△CDE是直角三角形.
如图,过点D作DF∥AE交BC于点F,
则四边形AEFD是平行四边形,
∴DF=AE,AD=EF=BE,
∵CE=2BE,
∴BE=EF=FC,
∴DE=EF,
又∵∠ABC=60°
,AB∥DE,
∴∠DEF=60°
∴△DEF是等边三角形,
∴DF=EF=FC,
∴△CDE是直角三角形.
5.(2011•安顺)如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.
(1)说明四边形ACEF是平行四边形;
(2)当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.
由题意知∠FDC=∠DCA=90°
∴EF∥CA,
∴∠AEF=∠EAC,
∵AF=CE=AE,
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA.
又∵AE=EA,
∴△AEC≌△EAF,
∴EF=CA,
∴四边形ACEF是平行四边形.
(2)当∠B=30°
时,四边形ACEF是菱形.
理由是:
∵∠B=30°
,∠ACB=90°
∴AC=
∵DE垂直平分BC,
∴BE=CE,
又∵AE=CE,
∴CE=
∴AC=CE,
∴四边形ACEF是菱形.
6.(2011•西宁)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥CA,AE∥BD.
四边形AODE是菱形;
(2)若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”,其余条件不变,则四边形AODE是 矩形 .
∵矩形ABCD,
∴OA=OC,OD=OB,AC=BD,
∴OA=OD,
∵DE∥CA,AE∥BD,
∴四边形AODE是平行四边形,
∴四边形AODE是菱形.
(2)∵DE∥CA,AE∥BD,
∵菱形ABCD,
∴AC⊥BD,
∴∠AOD=90°
∴平行四边形AODE是矩形.
矩形.
7.(2011•临沂)如图,△ABC中,AB=AC,AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线.
AC=AD;
(2)若∠B=60°
,求证:
四边形ABCD是菱形.
(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠BCA,
∵AD平分∠FAC,
∴∠FAD=∠B,
∴AD∥BC,
∴∠D=∠DCE,
∵CD平分∠ACE,
∴∠ACD=∠DCE,
∴∠D=∠ACD,
∴AC=AD;
(2)∵∠B=60°
,AB=AC,
∴△ABC为等边三角形,
∴AB=BC,
∴∠ACB=60°
∠FAC=∠ACE=120°
∴∠BAD=∠BCD=120°
∴∠B=∠D=60°
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=BC,
8.(2011丽江市中考)如图,在平行四边形ABCD中,点P是对角线AC上的一点,PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E、F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗?
9.(2011浙江宁波)如图,在□ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G.
DE∥BF;
(2)若∠G=90°
四边形DEBF是菱形.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠4=∠C,AD=CB,AB=CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点,
∴AE=
AB,CF=
CD.∴AE=CF,∴△ADE≌△CBF,
∴∠3=∠CBF,∵∠ADB=∠CBD,∴∠2=∠FBD,∴DE∥BF,
(2)∵∠G=90°
,∴四边形AGBD是矩形,∠ADB=90°
∴∠2+∠3=90°
,∴2∠2+2∠3=180°
.∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∴DE=AE=BE,∵AB∥CD,DE∥BF,∴四边形DEBF是菱形.
10.(2011浙江衢州)如图,△ABC中,AD是边BC上的中线,过点A作AE∥BC,过点D作DE∥AB,DE与AC、AE分别交于点O、点E,连接EC.
AD=EC;
(2)当∠BAC=Rt∠时,求证:
四边形ADCE是菱形.
∵DE∥AB,AE∥BC,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE∥BD,且AE=BD
又∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD
∴AE∥CD,且AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
∴AD=CE
(2)证明:
∵∠BAC=Rt∠,AD上斜边BC上的中线,
∴AD=BD=CD
又∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形
11.(2011•安顺)如图,在△ABC中,∠ACB=90°
AB,
AB,
12.(2011•恩施)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,BC=CD,锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E,AF是CD边上的中线,且PC⊥CD与AE交于点P,QC⊥BC与AF交于点Q.求证:
四边形APCQ是菱形.
∵AC=AD,AF是CD边上的中线,
∴∠AFC=90°
∴∠ACF+∠CAF=90°
∵∠ACF+∠PCA=90°
∴∠PCA=∠CAF,
∴PC∥AQ,
同理:
AP∥QC,
∴四边形APCQ是平行四边形.
∵△PEC≌△QFC,
∴PC=QC,
∴四边形APCQ是菱形.
13.(2011邵阳)在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,顺次连接EF、FG、GH、HE.
(1)请判断四边形EFGH的形状,并给予证明;
(2)试添加一个条件,使四边形EFGH是菱形.(写出你添加的条件,不要求证明)
(1)四边形EFGH的形状是平行四边形.证明:
连接AC、BD,∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,∴EF∥AC,EF=
AC,HG∥AC,HG=
AC,GF=
BD,∴EF=HG,EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)添加的条件是AC=BD.