1922菱形的判定导学案文档格式.docx

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证明上述结论：

探究三：

李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？

请你画一画。

的四边形是菱形

例1.如图，

ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6

求证:

四边形ABCD是菱形.

三、练习

1.判断题，对的画“√”错的画“×

”

（1）.对角线互相垂直的四边形是菱形（）

（2）.一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（）

（3）..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（）

（4）.对角线相等的四边形是菱形（）

2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？

求证：

（1）四边形ABCD是平行四边形

（2）过A作AE⊥BC于E点,过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.

（3）求证：

3.已知：

如图

ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

四边形AFCE是菱形．

4.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．

MN与PQ互相垂直平分。

5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．

（1）求证：

四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

6．如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝

．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

（1）证明：

当旋转角为90°

时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?

如果不能，请说明理由；

如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

四、中考链接

一、选择题

1.（2011•西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）

A、一组临边相等的四边形是菱形B、四边相等的四边形是菱形

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

故选B．

2.（2011•莱芜）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：

①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=

（BC﹣AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（　　）

A、1B、2C、3D、4

故选C．

3.（2011湖南益阳）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：

分别以A和B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，两弧相交于C．D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）

A．矩形B．菱形

C．正方形D．等腰梯形

故选：

B．

4.（2011襄阳）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（　　）

A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形

故选D．

5.（2011清远）如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（　　）

A.AB＝CDB.AD＝BCC.AB＝BCD.AC＝BD

二、填空题

1.（2011•贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°

，则四边形ABCD的面积等于　18

cm2．

2.（2011福建省三明市，14,4分）如图，▱ABCD中，对角形AC，BD相交于点O，添加一个条件，能使▱ABCD成为菱形．你添加的条件是　　（不再添加辅助线和字母）

故答案为：

AB=BC或AC⊥BD等．

三、解答题

1.（2011江苏镇江常州）已知：

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：

四边形BCDE是菱形．

解答：

证明：

∵AD⊥BD，

∴△ABD是Rt△

∵E是AB的中点，

∴BE=

AB，DE=

AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

∴BE=DE，

∴∠EDB=∠EBD，

∵CB=CD，

∴∠CDB=∠CBD，

∵AB∥CD，

∴∠EBD=∠CDB，

∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，

∵BD=BD，

∴△EBD≌△CBD（SAS），

∴BE=BC，

∴CB=CD=BE=DE，

∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）

2.（2011新疆乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°

，AB＝2AD，点E、F分别是CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．

四边形DEBF是菱形；

（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？

并加以证明．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD且AB＝CD，AD∥BC且AD＝BC

∵E，F分别为AB，CD的中点，∴BE＝

AB，DF＝

CD，

∴四边形DEBF是平行四边形

在△ABD中，E是AB的中点，∴AE＝BE＝

AB＝AD，而∠DAB＝60°

∴△AED是等边三角形，即DE＝AE＝AD，故DE＝BE

∴平行四边形DEBF是菱形．

（2）四边形AGBD是矩形，理由如下：

∵AD∥BC且AG∥DB∴四边形AGBD是平行四边形

由

（1）的证明知AD＝DE＝AE＝BE，∴∠ADE＝∠DEA＝60°

，

∠EDB＝∠DBE＝30°

故∠ADB＝90°

∴平行四边形AGBD是矩形．

3.（2011云南保山）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？

解：

是菱形．

理由如下：

∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，

∴AC是∠DAB的角平分线，

∴∠DAC=∠CAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，

∴∠DCA=∠CAB，

∴∠DAC=∠DCA，

∴DA=DC，

∴平行四边形ABCD是菱形．

4.（2011•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．

四边形ABED是菱形；

（2）若∠ABC=60°

，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．

如图，∵AE平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵AB=AD，AE=AE，

∴△BAE≌△DAE，

∵AD∥BC，

∴∠2=∠3=∠1，

∴AB=BE，

∴AB=BE=DE=AD，

∴四边形ABED是菱形．

（2）解：

△CDE是直角三角形．

如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，

则四边形AEFD是平行四边形，

∴DF=AE，AD=EF=BE，

∵CE=2BE，

∴BE=EF=FC，

∴DE=EF，

又∵∠ABC=60°

，AB∥DE，

∴∠DEF=60°

∴△DEF是等边三角形，

∴DF=EF=FC，

∴△CDE是直角三角形．

5.（2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．

（1）说明四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

由题意知∠FDC=∠DCA=90°

∴EF∥CA，

∴∠AEF=∠EAC，

∵AF=CE=AE，

∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．

又∵AE=EA，

∴△AEC≌△EAF，

∴EF=CA，

∴四边形ACEF是平行四边形．

（2）当∠B=30°

时，四边形ACEF是菱形．

理由是：

∵∠B=30°

，∠ACB=90°

∴AC=

∵DE垂直平分BC，

∴BE=CE，

又∵AE=CE，

∴CE=

∴AC=CE，

∴四边形ACEF是菱形．

6.（2011•西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．

四边形AODE是菱形；

（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是　矩形　．

∵矩形ABCD，

∴OA=OC，OD=OB，AC=BD，

∴OA=OD，

∵DE∥CA，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形，

∴四边形AODE是菱形．

（2）∵DE∥CA，AE∥BD，

∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=90°

∴平行四边形AODE是矩形．

矩形．

7.（2011•临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．

AC=AD；

（2）若∠B=60°

，求证：

四边形ABCD是菱形．

（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠BCA，

∵AD平分∠FAC，

∴∠FAD=∠B，

∴AD∥BC，

∴∠D=∠DCE，

∵CD平分∠ACE，

∴∠ACD=∠DCE，

∴∠D=∠ACD，

∴AC=AD；

（2）∵∠B=60°

，AB=AC，

∴△ABC为等边三角形，

∴AB=BC，

∴∠ACB=60°

∠FAC=∠ACE=120°

∴∠BAD=∠BCD=120°

∴∠B=∠D=60°

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=BC，

8.（2011丽江市中考）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？

9.（2011浙江宁波）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．

DE∥BF；

（2）若∠G＝90°

四边形DEBF是菱形．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠4＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

∴AE＝

AB，CF＝

CD．∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF，

∴∠3＝∠CBF，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠2＝∠FBD，∴DE∥BF，

（2）∵∠G＝90°

，∴四边形AGBD是矩形，∠ADB＝90°

∴∠2+∠3＝90°

，∴2∠2+2∠3＝180°

．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∴DE＝AE＝BE，∵AB∥CD，DE∥BF，∴四边形DEBF是菱形．

10.（2011浙江衢州）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．

AD=EC；

（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：

四边形ADCE是菱形．

∵DE∥AB，AE∥BC，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AE∥BD，且AE=BD

又∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD

∴AE∥CD，且AE=CD

∴四边形ADCE是平行四边形

∴AD=CE

（2）证明：

∵∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，

∴AD=BD=CD

又∵四边形ADCE是平行四边形

∴四边形ADCE是菱形

11.（2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°

AB，

AB，

12.（2011•恩施）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：

四边形APCQ是菱形．

∵AC=AD，AF是CD边上的中线，

∴∠AFC=90°

∴∠ACF+∠CAF=90°

∵∠ACF+∠PCA=90°

∴∠PCA=∠CAF，

∴PC∥AQ，

同理：

AP∥QC，

∴四边形APCQ是平行四边形．

∵△PEC≌△QFC，

∴PC=QC，

∴四边形APCQ是菱形．

13.（2011邵阳）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．

（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；

（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）

（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．证明：

连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，EF=

AC，HG∥AC，HG=

AC，GF=

BD，∴EF=HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）添加的条件是AC=BD．