新人教版九年级数学下册第26章反比例函数全面复习分知识点总结题型讲解Word格式.docx
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启疋°
3.图象:
(1)图象的形状:
双曲线.
用越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.
(2)图象的位置和性质:
与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线.
当上>
0时,图象的两支分别位于一、三象限;
在每个象限内,y随x的增大而减小;
当k<
0时,图象的两支分别位于二、四象限;
在每个象限内,y随x的增大而增大.
(3)对称性:
图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上y(一虫,一乃)
在双曲线的另一支上.
图象关于直线厂垃对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,贝严)和(7,一曲)在双曲线的另一支上.
4.k的几何意义
卜占I
如图1,设点P(a,b)是双曲线畫上任意一点,作PUx轴于A点,PB丄y轴于B
Jr
1
Jc
点,则矩形PBOA勺面积是
(三角形PAO和三角形PBO勺面积都是
2
).
如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,
图1图2
5•说明:
(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨
论,不能一概而论.
当俎E吒°
时,两图象没有交点;
当俎•焜二°
时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.
(3)反比例函数与一次函数的联系.
(四)实际问题与反比例函数
1.求函数解析式的方法:
(1)待定系数法;
(2)根据实际意义列函数解析式.
2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.
(五)充分利用数形结合的思想解决问题.
第一部分:
基础知识
考点1:
反比例函数概念(A)y=(k工0),(B)xy=k(k丰0)(C)
x
-1
y=kx(kz0)
例题1、判断下列各式哪些是反比例函数?
_11x1x
①y:
②y:
③y:
④y1:
⑤y
x2x23x3
例题2、已知函数y2m6xm7m11,当m取何值时,它是反比例函数,
当堂巩固
1、反比例函数yk0的图象经过点(2,5),若点(1,n)在反比例函数的图象上,
则n等于()(A)10.(B)5.(C)2.(D)0.1.
2、卜列关系式中,
哪个等式表示
y是x的反比例函数(
A3
Ay—
B:
yC:
y-2
D
:
y一
3、某工厂先有原料100吨,这些原材料能用的天数
y与每天平均用的吨数x之间的函数关
系为
4、某奶粉生产厂要制造一种容积为2升(1升=1立方分米)的圆柱形桶,桶的底面面积S与桶
高h有怎样的函数关系式
5、下列问题中,两个变量之间的关系不是反比例函数的是()
A小明完成100m赛跑,所用时间t(s)与他跑步的平均v(m/s)之间的关系
B菱形的面积为48平方厘米,它的两条对角线的长为y(厘米)与x(厘米)的关系
C一个玻璃容器的体积为30L时,所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系
D压力为600N时,压强p与受力面积S之间的关系
6、如果函数y(k2)xk5是反比例函数,那么k=
7、已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(-2,3)贝9m的值为
4
&
若y与一3x成反比例,x与成正比例,则y是z的()
z
A、正比例函数B、反比例函数C、一次函数D、不能确定
9、如果y是m的反比例函数,m是x的反比例函数,那么y是x的()
A.反比例函数B.正比例函数C.一次函数D反比例或正比例
考点2:
反比例函数图像
例题1、若反比列函数y(2k1)x3k2k1的图像经过二、四象限,则k的值为多少?
1、反比例函数y的图象位于()
A.第一、三象限B•第二、四象限C•第一、四象限D•第二、三象限
2、如果反比例函数y—的图象经过点(3,—1),那么函数的图象应在()
A.第一、三象限B•第二、四象限C•第一、二象限D•第三、四象限
3、如果反比例函数y—的图像经过点(一3,—4),那么函数的图像应在()
A、第一、三象限B、第一、二象限C、第二、四象限D、第三、四象限
k2
4、已知反比例函数y=匚二的图象位于第一、第三象限,则k的取值范围是()•
(A)k>
2(B)k>
2(C)k<
2(D)kv2
5、已知反比例函数y=^2的图象在第二、四象限,贝Ua的取值范围是•
6、已知反比例函数y=匚二,其函数图象在第一、第三象限内,则k的值可为(任
写一个值即可)。
m1
7、反比例函数y的图象经过点(2,1),则m的值是•
m22
8、若反比例函数y(2m1)x的图像在第二、四象限,贝Um的值是(
A、—1或1B、小于的任意实数C、—1D、不能确定
9、如图是三个反比例函数y=k1,y=k2,y=k3在x轴上方的图象,由此观察得到匕、k2、
XXX
k3?
的大小关系为()
k2>
k3>
k1D•k3>
k1>
k2
A•k1>
k3B•k3>
k1C
(—a,b)d、(0,0)
A、(—a,—b)B、(a,—b)C
考点3:
反比例函数图像的性质
例题1、反比例函数ykx12k,当x0,y随x的增大而
例题2、若A(xi,yi),B(X2,y2)是双曲线y3上的两点,且xi>
X2>
0,则yiy2(填“〉”
“<
”)
k1
例题3、设有反比例函数y化』2)为其图象上两点,若Xi<
0<
X?
yi>
丫2
则k的取值范围
例题4、已知一次函数yi=kx+b与反比例函数y2=k在同一直角坐标系中的图象如图所示,
则
当yiVy2时,x的取值范围是()
5、
下列函数中,当x>
0时,y随x的增大而减小的是
A.y=3x+4B.y=x-2C
3
.y=-D
.y=-
2x
A.k>
3
6、在反比例函数y
的图象上有两点
a%,屮,
bX2,y2
,当
X10X2时,有
y1y2,
则m的取值范围是(
)A、m
0B、m
0C、
m
11
—D、m—
22
7、在反比例函数y
(k<
0)的图象上有两点
A(X1,y1),
目X2,y2),
且X1>
0,则y1y
的值为(
A、正数
B负数
C非正数
D非负数
8、若M
2,y1、
N,y2、
P尹3
三点都在函数
ky-
X
(kv
0)的图象上,贝U
y「y2、
y3的大小关系为()A、
y>
y3>
y1by>
y1>
y3
c、y>
y
Dy3>
y2>
yi
9、若A(£
%)、B(X2,y2)在函数y—的图象上,则当x、x?
满足时,%>
10、如图所示,如果点
y?
.
A(x1,y1)和点B(x2,y2)是直线y=kx-b上的两点,且当x1<
x2
13、当>
0时,两个函数值y,—个随x增大而增大,另一个随x的增大而减小的是(?
1111
A.y=3x与y=B.y=-3x与y=C.y=-2x+6与y=D.y=3x-15与y=-—
xxxx
14、如图,函数y1=x-1和函数y2=2x的图象相交于点M(2,m,N(-
1,
n),若yi>
y2,
x的取值范围是()
A.xv-1或0vxv2B.xv-1或x>
B.C.-1vxv0或0vxv2D.-1vxv0或x>
2
A
I3X
考点4:
反比例函数的解析式与图像面积的关系
根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三
角形面积s的关系
即S=|k|.
例题1、在直角坐标系中,有如图所示的Rt△ABOA吐x轴于点B,斜边A(=10,AB/AO^,
5
反比例函数y(k>
0)的图象经过AO的中点C,且与AB交于点D,求D点的坐标;
例题2、如图,过y轴正半轴上的任意一点P,作x轴的平行线,分别与反比例函数
42
y—和y—的图象交于点A和点B若点C是x轴上任意一点,连接ACBC求△xx
ABO的面积;
a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是图
1已知三角形的面积一定,则它底边
4,一条边的长为x,另一条边的长为y,则y与x的函数之间的函数关系图象
矩形的面积为
2、
4、如图2,点P是x轴上的一个动点
过点P作x轴的垂线
PQ交双曲线于点
Q,连
结0Q当点P沿x轴正半方向运动时,Rt△QOP勺面积()。
A.逐渐增大;
B.逐渐减小;
C.保持不变;
D.无法确定
5、图中三角形ABC的面积为:
6、如图,直线0A与反比例函数
的图象在第
一象限交于A点,AB丄x轴于点B,若△OAB的面积为2,则k=
7•如图,若点A在反比例函数y(k0)的图象上,AMx轴于点M,△AMO的
第二部分:
综合运用
(1)这个反比例
A(-1,m),AB丄x轴于点B,A
n7
例题2.右图中曲线是反比例函数y=的图像的一支。
△AOB的面积为2,求n的值。
1.如图,已知反比例函数y—的图像经过第二象限内的点
AO的面积为2•若直线y=ax+b经过点A并且经过反比例函数y—的图象上另一点C(n,
一2)•
⑴求直线y=ax+b的解析式;
⑵设直线y=ax+b与x轴交于点M求AM勺长.
2.如图,正比例函数y1
kjx与反比例函数y2k2相交于AB点,已知点A的坐标为(4,
n),BD丄x轴于点D,且SabdO=4。
过点A的一次函数y3—3xb与反比例函数的图像交于
另一点C,与x轴交于点E(5,0)。
(1)求正比例函数力、反比例函数y和一次函数出的解析式;
(2)结合图像,求出当k3xb-k(x时x的取值范围。
题型二:
求几何图形的面积
例题1.如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=m的图象交于A(2,3),B(-3,n)
两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据所给条件,请直接写出不等式kx+b>
m的
解集;
(3)过点B作BC丄x轴,垂足为C,求&
ABC.
kk
例题-如图所示,两个反比例函数y1和y2在第一象限内的图象依次是C1和C2,设点P
xx
在G上,PC丄x轴于点C,交C2于点A,PD丄y轴于点D,交C?
于点B,求四边形PAOB的面积;
-(x>
0)
1、如图,点P的坐标为(2过点P作x轴的平行线交y轴于点A,交双曲线y
于点N;
作PMLAN交双曲线y(x>
0)于点M,连结AM.已知PN=4.
(1)求k的值.
(2)求厶APM的面积.
2.已知一次函数y_!
xm的图象与么比例函数y2
两点,.已知当
X1时,yiy2;
当0x1时,yig
⑴求一次函数的解析式;
⑵已知一次函数在第一象限上有一点C到y轴的距离为3,求△ABC的面积.
题型三:
反比例函数的动点问题
例题1、如图,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(-2,-1),且P(-1,
-2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足
分别是A、B.
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)
当点Q在直线MO上运动时,直线MC上是否存在这样的点Q,使得△OBQ^AOAF面积相等?
如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由.
a1,bk两点.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求出两函数的交点A的坐标.在x轴上是否存在点P,使AOP为等腰三角
形?
若存在,把符合条件的点P的坐标都求出来;
若不存在,请说明理由.
题型四:
反比例函数综合题
例题1、如图,在以0为原点的直角坐标系中,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点B
(a,b)在第一象限,四边形OABC是矩形,若反比例函数y(k>
0,x>
0)的图象与
AB相交于点D,与BC相交于点E,且BE=CE.
(1)求证:
BD=AD
若四边形ODBE勺面积是9,求k的值.
的正半轴上,OA:
OC2:
1.
(1)设矩形OABC的对角线交于点E,求出E点的坐标;
(2)若直线y2xm平分矩形OABC面积,求m的值.
1、已知:
在矩形AOBC中,OB4,OA3.分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴,建立如图
所示的平面直角坐标系.F是边BC上的一个动点(不与B,C重合),过F点的
反比例函数yk(k0)的图象与AC边交于点E.
△AOE与△BOF的面积相等;
(2)记SoefSaecf,求当k为何值时,S有最大值,最大值为多少?
(3)请探索:
是否存在这样的点F,使得将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在0B上?
若存在,求出点F的坐标;
(4)
题型五:
反比例函数应用
例题1、保护生态环境,建设绿色社会已经从理念变为人们的行动.某化工厂2009年1月
的利润为200万元.设2009年1月为第1个月,第x个月的利润为y万元.由于排污超标,该厂决定从2009年1月底起适当限产,并投入资金进行治污改造,导致月利润明显下降,从1月到5月,y与x成反比例.到5月底,治污改造工程顺利完工,从这时起,该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图).
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式.
⑵治污改造工程完工后经过几个月,该厂月利润才能达到2009年1月的水平?
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期,问该厂资金紧张期共有几个月?
1、病人按规定的剂量服用某种药物,测得服药后2小时,每毫升血液中的含量达到归大值
为4毫克。
已知服药后,2小时前每毫升血液中的含量y(毫克)与时间x(小时)成正比
例;
2小时后y与x成反比例(如图所示)。
根据以上信息解答下列问题:
(1).求当Ox2时,y与x的函数关系式;
(2).求当x2时,y与x的函数关系式;
(3).若每毫升血液中的含量不低于2毫克时治疗有效,则服药一次,治疗疾病的有效时间是
多长?
y、旱菟J