数学高考一轮复习《正弦定理和余弦定理》Word文档格式.docx

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B，∴B＝30°

故C＝90°

，由勾股定理得c＝2，选B．

解法2：

由余弦定理知，3＝c2＋1－2ccos，

即c2－c－2＝0，∴c＝2或－1（舍去）．

2．（2014·

上海杨浦质量调研）设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为（　　）

A．（，）　B．（1，）

C．（，2）　D．（0,2）

[答案]　A

[解析]　由＝＝，则b＝2cosA．<

A＋B＝3A<

π，从而<

A<

，又B＝2A<

，

所以A<

，所以有<

，<

cosA<

，所以<

b<

3．（文）在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝（sinA－sinB）sinB，则角C等于（　　）

A．　B．

C．　D．

[解析]　由正弦定理得a2－c2＝（a－b）·

b＝ab－b2，

由余弦定理得cosC＝＝，

∵0<

C<

π，∴C＝.

（理）（2013·

浙江调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin2B＋sin2C－sin2A＋sinBsinC＝0，则tanA的值是（　　）

A．　B．－

C．　D．－

[答案]　D

[解析]　依题意及正弦定理可得，b2＋c2－a2＝－bc，则由余弦定理得cosA＝＝＝－，又0<

π，所以A＝，tanA＝tan＝－，选D．

4．（文）（2013·

合肥二检）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若<

cosA，则△ABC为（　　）

A．钝角三角形　B．直角三角形

C．锐角三角形　D．等边三角形

[解析]　依题意得<

cosA，sinC<

sinBcosA，所以sin（A＋B）<

sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<

0，所以cosBsinA<

0.又sinA>

0，于是有cosB<

0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A．

（理）（2014·

东北三省三校二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝（　　）

[解析]　∵＝＝，∴c2－b2＝ac－a2，∴a2＋c2－b2＝ac，∴2accosB＝ac，∴cosB＝，∵B∈（0，π），∴B＝.

5．（文）（2013·

呼和浩特第一次统考）在△ABC中，如果sinA＝sinC，B＝30°

，角B所对的边长b＝2，则△ABC的面积为（　　）

A．4　　　B．1　　　

C．　　　D．2

[解析]　据正弦定理将角化边得a＝c，再由余弦定理得c2＋（c）2－2c2cos30°

＝4，解得c＝2，故S△ABC＝×

2×

sin30°

＝.

（理）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°

，△ABC的面积为0.5，那么b为（　　）

A．1＋　B．3＋

C．　D．2＋

[解析]　acsinB＝，∴ac＝2，

又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝.

6．（2014·

辽宁沈阳二中期中）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinBcosC＋csinB·

cosA＝b，且a>

b，则∠B＝（　　）

[解析]　因为asinBcosC＋csinBcosA＝b，

所以sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，

即sin（A＋C）＝，a>

b，所以A＋C＝，B＝，故选A．

二、填空题

7．（2014·

弋阳一中月考）在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（－1,0），C（1,0），顶点B在椭圆＋＝1上，则的值为________．

[答案]　2

[解析]　由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，

由正弦定理得＝＝2.

8．（2014·

江西四校联考）△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________．

[答案]　

[解析]　依题意及余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即9＝（2b）2＋b2－2×

2b×

bcos，解得b2＝3，∴b＝.

9．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若b＝，B＝，tanC＝2，则c＝________.

[解析]　⇒sin2C＝⇒sinC＝.由正弦定理，得＝，∴c＝×

b＝2.

三、解答题

10．（2014·

陕西理）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.

（1）若a、b、c成等差数列，证明：

sinA＋sinC＝2sin（A＋C）；

（2）若a、b、c成等比数列，求cosB的最小值.

[解析]　

（1）∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，

由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB．

∵sinB＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C），

∴sinA＋sinC＝2sin（A＋C）．

（2）∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，

由余弦定理得cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时，等号成立．

∴cosB的最小值为.

11．（文）（2013·

东北三省四市二联）若满足条件AB＝，C＝的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是（　　）

A．（1，）　B．（，）

C．（，2）　D．（，2）

[解析]　解法一：

若满足条件的三角形有两个，则＝sinC<

sinA<

1，又因为＝＝2，故BC＝2sinA，

所以<

BC<

2，故选C．

解法二：

由条件知，BCsin<

<

BC，∴<

2.

（理）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，b＝2，且三角形有两解，则角A的取值范围是（　　）

[解析]　由条件知bsinA<

a，即2sinA<

2，

∴sinA<

∵a<

B，∴A为锐角，∴0<

12．（2014·

长春市调研）△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足＋≥1，则角A的取值范围是（　　）

A．（0，]　B．（0，]

C．[，π）　D．[，π）

[解析]　由＋≥1得：

b（a＋b）＋c（a＋c）≥（a＋c）（a＋b），化简得：

b2＋c2－a2≥bc，同除以2bc得，≥，即cosA≥，因为0<

π，所以0<

A≤，故选A．

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc且b＝a，则△ABC不可能是（　　）

A．等腰三角形　B．钝角三角形

C．直角三角形　D．锐角三角形

[解析]　由cosA＝＝，可得A＝，又由b＝a可得＝＝2sinB＝，可得sinB＝，得B＝或B＝，若B＝，则△ABC为直角三角形；

若B＝，C＝＝A，则△ABC为钝角三角形且为等腰三角形，由此可知△ABC不可能为锐角三角形，故应选D．

14．（2014·

大城一中月考）在△ABC中，·

＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为（　　）

C．　D．3

[解析]　设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∵·

＝|－|＝3，∴bccosA＝a＝3.又cosA＝≥1－＝1－，∴cosA≥，∴0<

sinA≤，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝tanA≤×

＝，故△ABC面积的最大值为.

15．（文）（2014·

河南名校联考）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°

，则ab的值为________．

[解析]　∵（a＋b）2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2ab＝2abcos60°

，∴ab＝.

衡水中学5月模拟）在△ABC中，P是BC边中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＋a＋b＝0，则△ABC的形状为________．

[答案]　等边三角形

[解析]　∵c＋a＋b＝0，∴（a－c）＋b＋c＝0，∵P为BC的中点，∴＝－，∴（a－c）＋（b－c）＝0，∵与不共线，∴a－c＝0，b－c＝0，

∴a＝b＝c.

16．（文）在△ABC中，C＝60°

，a、b、c分别为A、B、C的对边，则＋＝________.

[答案]　1

[解析]　∵C＝60°

，∴a2＋b2－c2＝ab，

∴（a2＋ac）＋（b2＋bc）＝（b＋c）（a＋c），

∴＋＝1.

吉林九校联合体联考）在△ABC中，C＝60°

，AB＝，AB边上的高为，则AC＋BC＝________.

[解析]　由条件×

×

＝AC·

BC·

sin60°

∴AC·

BC＝，

由余弦定理知AC2＋BC2－3＝2AC·

cos60°

∴AC2＋BC2＝3＋AC·

BC，

∴（AC＋BC）2＝AC2＋BC2＋2AC·

BC＝3＋3AC·

BC＝11，∴AC＋BC＝.

17．（文）（2014·

安徽理）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c且b＝3，c＝1，A＝2B．

（1）求a的值；

（2）求sin（A＋）的值．

[解析]　

（1）因为A＝2B，

所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，

由正、余弦定理得a＝2b·

因为b＝3，c＝1，

所以a2＝12，a＝2.

（2）由余弦定理得cosA＝＝＝－，

由于0<

π，所以sinA＝＝＝，

故sin（A＋）＝sinAcos＋cosAsin

＝×

＋（－）×

浙江理）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB．

（1）求角C的大小；

（2）若sinA＝，求△ABC的面积．

[解析]　

（1）由已知cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB得．

（1＋cos2A）－（1＋cos2B）＝sin2A－sin2B，

∴cos2A－sin2A＝cos2B－sin2B，

即sin（－＋2A）＝sin（－＋2B），

∴－＋2A＝－＋2B或－＋2A－＋2B＝π，

即A＝B或A＋B＝，

∵a≠b，∴A＋B＝，∴∠C＝.

（2）由

（1）知sinC＝，cosC＝，

∴sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝

由正弦定理得：

＝，

又∵c＝，sinA＝.∴a＝.

∴S△ABC＝acsinB＝.

18．（文）（2014·

广东五校协作体第二次联考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S是△ABC的面积．

若a＝（2cosB,1），b＝（－1,1），且a∥b.

（1）求tanB＋sinB；

（2）若a＝8，S＝8，求tanA的值．

[解析]　

（1）∵a∥b，∴2cosB＝－1，cosB＝－.

∵B∈（0，π），∴B＝，

∴tanB＋sinB＝－＋＝－.

（2）S＝acsinB＝2c＝8，∴c＝4.

方法一：

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝112，

∴b＝4.

再由余弦定理得cosA＝.

∵A为锐角，∴tanA＝.

方法二：

由正弦定理得sinA＝2sinC．

∵B＝，∴A＋C＝，∴C＝－A．

∴sinA＝2sin（－A），即sinA＝cosA－sinA．

∴cosA＝2sinA，∴tanA＝.

福建莆田一中月考）已知a＝（2cosx＋2sinx,1），b＝（y，cosx），且a∥b.

（1）将y表示成x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期；

（2）记f（x）的最大值为M，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）＝M，且a＝2，求bc的最大值．

[解析]　

（1）由a∥b得2cos2x＋2sinxcosx－y＝0，

即y＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1

＝2sin（2x＋）＋1，

所以f（x）＝2sin（2x＋）＋1.

又T＝＝＝π，

所以函数f（x）的最小正周期为π.

（2）由

（1）易得M＝3，

于是由f（）＝M＝3，即2sin（A＋）＋1＝3，得sin（A＋）＝1，

因为A为三角形的内角，故A＝.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，解得bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，bc取最大值4.