不动点定理及其应用.docx

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不动点定理及其应用

不动点定理及其应用

摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.

关键词不动点;不动点定理;Banach空间

FixedPointTheoremsandItsApplications

AbstractThefixedpointtheoremisoneofimportanttoolsinstudyingtheexistenceanduniquenessofsolutiontofunctionalequation.Inthispaper,thefixedtheoreminlinearfunctionalanalysisanditsapplicationsareintroducedandthecorrespondingexamplesaregiven.Meanwhile,theBrouwerandLeray-Schauderfixedpointtheoremsarealsoinvolved.

KeyWordsFixedpoint,Fixedpointtheorem,BanachSpace

不动点定理及其应用

0引言

在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论[1-3].而在非线性泛函中是研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理（例如微分方程,积分方程,代数方程等）的证明中的一个有力工具.

下面给出不动点的定义.

定义0.1设映射,若满足,则称是的不动点.即在函数取值的过程中,有一点使得.

对此定义,有以下理解.

1）代数意义：

若方程有实数根,则有不动点.

2）几何意义：

若函数与有交点则就是的不动点.

在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容.对于许多方程的求解问题，往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算.

本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳.

1Banach不动点定理及其应用

1.1相关概念

首先介绍本文用的一些概念.

定义1.1.1[3]设为距离空间,是X中的点列,若对任给的,存在,使得当时,.则称点列为基本点列或Cauchy点列.如果中的任一基本点列均收敛于中的某一点,则称为完备的距离空间.

定义1.1.2[3]定义在线性空间上的映射统称为算子.

定义1.1.3[3]给定距离空间及映射:

若满足，则称是的不动点.

1.2Banach不动点定理

定理1.2.1[3]设是完备的距离空间，距离为.是由到其自身的映射，且对任意的,不等式成立,其中是满足不等式的常数.那么在中存在唯一的不动点.即存在唯一的,使得.

证明在中任意取定一点,令

，，…，，…

首先证明是中的一个基本点列.

因为

；

；

………………………

于是

，

.

又,故即是基本点列.由于完备,所以由定义1.1.1知收敛于中某一点.另外,由知,是连续映射.在中,令得,因此是的一个不动点.

下面证明唯一性.设另有使,则

考虑到,则有即.

定理1.2.2[3]设是由完备距离空间到其自身的映射,如果存在常数以及自然数使得

那么在中存在唯一的不动点.

证明由不等式,满足定理1.2.1的条件,故存在唯一的不动点.现在证明也是映射唯一的不动点.事实上

可知,是映射的不动点.由不动点的唯一性,可得,故是映射的不动点.若另有不动点,则由

知也是的不动点.仍由唯一性,可得.

1.3Banach不动点定理的应用

1.3.1在讨论积分方程解的存在性与唯一性中的应用

例1.3.1.1给定积分方程

其中是上的已知连续函数,是定义在矩形区域上的已知连续函数,证明当足够小时（是常数）,式在上存在唯一连续解.

证明在内规定距离

令

则当充分小时,是的压缩映射.

因

其中,从而当时,是压缩映射,则由定理1.2.1知方程对于任一解存在并且唯一.

例1.3.1.2考虑微分方程初值问题

其中,且关于满足Lipschitz条件,即存在使

，

则初值问题在上存在唯一解.

证明微分方程（3）等价于积分方程

，

取,使在上定义映射

则由（4）式得

=

，

已知,故由定理1.2.1知存在唯一的连续函数使即

，

且在上连续可微，且就是微分方程在上的唯一解.

1.3.2在数列求极限中的应用

由定理1.2.1的证明可知,若是上的压缩映射,则对,由递推公式确定的数列收敛,且为的唯一不动点.

例1.3.2.1[5]证明：

若在区间上可微,且，任取.令,则为方程的根（即为的不动点）.

证明已知,设则

（）

由已知得

即,从而得知,一切.由微分中值定理,存在在与之间,即使得

.

这表明是压缩映射,所以收敛.又因连续.在里取极限知的极限为的根.

例1.3.2.2[9]设求证数列收敛并求其极限.

证明易知.则我们在区间上考虑函数,对有

.即是上的压缩映射.从而收敛于方程的解.设得.

1.3.3在数学建模中的应用

不动点定理也是连续函数的一个重要性质,在数学分析中我们就知道这样一个结论“闭区间上的连续函数必然存在不动点”.在一些数学建模题目的解答上应用不动点定理会使得求解更简单,下面就介绍几个不动点定理在数学分析中的形式及其在解决数学建模问题中的应用,进而深化对不动点定理的认识以及说明此定理应用的广泛性.

引理1.3.3.1[6-7]设在上连续，且异号,则在内至少存在一点使得.

定理1.3.3.2[6-7]设是定义在上的连续函数,其满足，则在上至少存在一个不动点,即.

例1.3.3.1日常生活中常有这样一个经验：

把椅子往不平的地面上放,通常只有三个脚着地,放不稳,然而只需稍挪动几次,就可以是四只脚同时着地,放稳了.我们将这个问题转化为纯数学问题.现在应用不动点定理对其进行解释说明.

模型假设：

对椅子和地面做一些假设：

1）椅子四条腿一样长,倚脚与地面可视为一点,四脚的连线呈正方形.

2）地面高度是连续变化的,沿任何地方都不会出现间断点（没有像台阶那样的情况）.即地面可视为数学上的连续曲面.

3）对于椅脚的间距和倚腿的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.

4）椅子转动时中心不动.

模型分析：

在图1中椅脚连线为正方形,对角线与轴重合,椅子绕中心点旋转角度后,正方形转至的位置,所以对角线与轴夹角表示了椅子的位置.

其次要把椅脚着地用数学符号表示出来.如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了，椅子在不同位置是椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量的函数.

设为两脚与地面距离之和，为两脚与地面距离之和.由假设2）知,和都是连续的函数.由假设3）,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，所以对于任意的，和中至少有一个为零.即=0，当时不妨设.从而数学问题就转化为求证存在,使,.

模型求解：

令因

.

则由定理1.3.3.2知,必存在使即.

1.3.4在解线性方程组中的应用

例1.3.4.1[1]设有线性方程组其中是方阵，

是未知向量,证明：

若矩阵满足，则方程有唯一解.

证明设是（或）,定义度量,则是完备的度量空间.

作映射若

则

而所以是上的压缩映射,定理1.2.1知,存在唯一的,使得.

2Leray—Schauder不动点定理

2.1相关概念

定义2.1.1[3]称映射在处连续,是指对任给,存在,当且时,恒有.若在内每一点连续,则称在上连续.

定义2.1.2[4]设为线性赋范空间,,称映射为紧映射,如果将中的任何有界集映成中的相对紧集,即是的紧集.如果映射是连续的,则称为紧连续映射,或全连续映射.

定义2.1.3[3]设是的一个子集,如果对任意的以及满足的任意实数,元素仍属于,则称是的凸集.如果既是闭集且凸集,则称是中的闭凸集.

2.2Leray—Schauder不动点定理及应用

定理2.2.1（Brouwer不动点定理）设是中的有界闭凸子集，表示的相对边界；设并且满足.则在上必有不动点.

例2.2.1设是实空间的闭单位球,令为

则在上连续,但在上却没有不动点（否则，存在，使.由此推得再由得,这又导致，得到矛盾）.

在应用中,常常涉及到无穷维空间（如）上的算子,由上例可知，Brouwer不动点定理对无穷维空间不再成立,尽管如此,我们注意到有线维空间的有界闭集即紧集,若将Brouwer不动点定理中的“有界闭凸集”改为“紧凸集”，则可利用Leray—Schauder度理论,就可以说明下述结论.

定理2.2.2（Schauder不动点定理）设是实Banach空间中的非空紧凸集,连续,则在上必有不动点.

定理2.2.3（Leray—Schauder不动点定理）设是实Banach空间中的非空有界闭凸集,若算子全连续,则在上必有不动点.

例2.2.1考察Urysohn积分方程

解的存在性,其中是中的有界闭集,在上连续,并满足

这里证明方程在上必有连续解.

证明令为

，

则可知是全连续算子.令则是中的有界闭凸集,且当是,由得

故此即.由定理2.2.3知,在上必有不动点,即存在使因此是方程在上的连续解.

3总结

不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中以及其他领域有着广泛的应用.本文只是总结了在线性分析和非线性分析中最基本的应用,随着不动点定理的不断发展和完善,将会有更多更广泛的应用.

参考文献

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