高中数学 211正弦定理一教案 北师大版必修5高二Word下载.docx
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（1）；
（2）．
【解】
（1），∴
，∴，∴为锐角，∴，∴．
（2），∴
，∴，
∴当
所以，
已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形。
首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论是否有解？
如果有解，是一解，还是两解？
备选题正弦定理的应用
例3.在ABC中，,sinB=.
（I）求sinA的值；
（II）设AC=，求ABC的面积.
解：
（Ⅰ）由，且，∴，∴
∴，又，∴
（Ⅱ）如图，由正弦定理得
∴
，又
点评：
解三角形问题，还常常用到三角函数中的有关公式进行边角互化。
点击双基
1．在△ABC中，若，则等于（）
A．B．C．D．
答案：
C
2．在△中，若，则等于（）
A．B．
C．D．
或
D
3．△ABC中，，A=，则边=（）
A6B12C6或12D
，sinB==B=
当B=60时，C=180-A-B=90，c==12
当B=120时，C=180-A-B=30，c=a=6
4．在△ABC中，，则的最大值是_______________。
5．在△ABC中，若
_________。
课外作业
一、选择
1．在△ABC中，，则等于（）
A．B．C．D．
解.
2.在△ABC中，若，则等于（）
解:
3.在△ABC中，sinA:
sinB:
sinC=3:
2:
4,则A、B、C大小关系是（）
A.A<
B<
CB.B<
A<
CC.C<
BD.A<
C<
B
a:
b:
c=sinA:
4,根据三角形中大边对大角，B<
4.在△ABC中，已知a=5,c=10,A=30,则B等于（）
A.105B.60C.15D.105或15
sinC==C=45或135
当C=45时，B=105;
当C=135时，B=15
5.已知中，，，，那么角等于（）
A．B．C．D．
由正弦定理得:
6.已知中，的对边分别为若且，则（）
A.2B．4＋C．4—D．
由可知,,所以,
由正弦定理得
故选A
A
7.满足=4，A=，C=105的△ABC的边的值为（）
ABCD
A=，C=105，B=，由正弦定理得:
b==
=2
8.在中,,，则的外接圆半径为（ ）
（A）（B）3（C）（D）6
的外接圆直径2R===6，R=3
二、填空题
9在△ABC中，b=4asinB,则A=
b=4asinB,sinB=4sinAsinB,sinA=,在△ABC中,0<
sinA=，A=或
或
10、在三角形ABC中，、、所对的角分别为A、B、C，且，则△ABC是三角形。
依题意，由正弦定理得：
，a=b=c,即△ABC为等边三角形
等边
11、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，若，则
即
∴
三、解答题
12．在△ABC中，，∠B=，=1，求和∠A、∠C
由正弦定理知：
解得或1500，因为A+B+C=1800，所以C=1500不合题意，舍去。
从而有A=900，。
13.在中，角的对边分别为，。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积.
（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，
∴，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴.
∴△ABC的面积
14.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.
由cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得
cos（AC）cos（A+C）=，
cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,
sinAsinC=.
又由=ac及正弦定理得
故，
或（舍去），
于是B=或B=.
又由知或
所以B=。
2019-2020年高中数学2.1.1直线的斜率学案苏教版必修2
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度．如右图，沿着这条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB（如果是下降，则DB的值为负实数），则坡度k＝
＝
，坡度k＞0表示这段道路是上坡，k值越大上坡越陡，如果k太大，车辆就爬不上去，还容易出事故；
k＝0表示是平路；
k＜0表示下坡，|k|值越大说明下坡越陡，|k|太大同样也容易出事故．因此在道路规划铺设时必须充分考虑这一点，那么，如何设计道路的坡度，才能避免事故发生？
1．当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴所在的直线按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°
.故α的取值范围是[0，180°
）．
2．我们将一条直线的倾斜角α（α≠90°
）的正切值tanα，称为这条直线的斜率，通常用k表示．即k＝tanα.由定义知，倾斜角为90°
的直线没有斜率．
3．求直线斜率的两种常用方法是：
（1）定义k＝tanα（α≠90°
）；
（2）斜率公式k＝
（x1≠x2）．
4．平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角α相等；
倾斜程度不同的直线，其倾斜角α不相等．因此，我们可用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度．
5．在平面直角坐标系中，已知直线上的一个定点不能确定一条直线的位置．同样，已知直线的倾斜角α，也不能确定一条直线．但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线．因此，确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：
直线上的一个定点和它的倾斜角，二者缺一不可．
6．倾斜角不等于90°
的直线都有斜率，而且倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．
7．任何一条直线都有唯一的倾斜角，但是任何一条直线并不是都存在斜率．
8．若直线l的方程为y＝x·
tanα＋2，则直线的斜率是tan_α，但α不一定是直线l的倾斜角．,
一、直线的斜率公式
经过两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的直线的斜率公式：
k＝
，其适用范围是x1≠x2.
①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示，很多时候比利用几何法由倾斜角求斜率更方便；
②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换（要一致）；
③如果y2＝y1（x1≠x2），则直线与x轴平行或重合，k＝0；
如果x1＝x2，y1≠y2，则直线与x轴垂直，倾斜角α＝90°
，斜率k不存在．
二、直线的倾斜角和斜率的概念
（1）直线的倾斜角的定义分为两个部分：
一是与x轴相交的直线，其倾斜角是用旋转角来定义的；
二是与x轴平行和重合的直线，其倾斜角是规定的．
关于与x轴相交的直线的倾斜角的理解，要抓住3个要素：
①将x轴绕着交点旋转到和直线重合；
②按逆时针方向旋转；
③α为最小正角．
（2）平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角α，其范围是0°
≤α＜180°
，倾斜角是一个几何概念，它直观地表示了直线相对x轴正方向的倾斜程度．
（3）直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率．倾斜角不是90°
的直线都有斜率，当倾斜角是90°
时，直线的斜率不存在，此时直线垂直于x轴，斜率k＝tanα（α≠90°
）表示直线相对于x轴的倾斜程度．
特别当α∈（0°
，90°
）时，k＞0；
当α∈（90°
，180°
）时，k＜0.
知识点一 直线的斜率
1．经过点M（1，－2）、N（－2，1）的直线的斜率是________，倾斜角是________．
解析：
由斜率公式得k＝
＝－1.
－1 135°
2．过点M（－2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于2，则m的值为________．
由斜率公式得
＝2，解得m＝0.
3．设A（t，－t＋3）、B（2，t－1）、C（－1，4），直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数t的值为________．
由题意得：
kBC＝
，∴kAC≠0.故kAC＝
于是：
＝－
，即t＝4.
4
知识点二 直线的倾斜角
4．若直线x＝1的倾斜角为α，则α为________．
直线x＝1与y轴平行，故α＝90°
90°
5．直线l经过原点O和点P（－1，－1），则它的倾斜角是________．
过点P作PA⊥x轴，垂足为A，则在Rt△POA中，∠POA＝45°
，即倾斜角是45°
45°
6．一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α（0°
＜α＜90°
），则其倾斜角为________．
若直线l的倾斜角为锐角，则为90°
－α；
若直线l的倾斜角为钝角，则为90°
＋α.
－α或90°
＋α
知识点三 直线的倾斜角与斜率的关系
7．若直线的斜率为－
，则直线的倾斜角是________．
由k＝－
，则tanα＝－
，得α＝120°
120°
8．已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，如图所示，则k1、k2、k3的大小关系为________．
由图可知直线l1的倾斜角为钝角，∴k1＜0.直线l2与直线l3的倾斜角均为锐角，且直线l2倾斜角较大，∴k2＞k3＞0.
k1＜k3＜k2
9．已知P（3，－1）、M（6，2）、N（－
），直线l过点P，若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．
考虑临界状态：
令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，由已知得tanα1＝1，tanα2＝－
，故直线PM的倾斜角为45°
.直线PN的倾斜角为150°
，依据倾斜角定义并结合图形可知符合条件的直线l的倾斜角的取值范围为[45°
，150°
]．
综合点一 直线的斜率与倾斜角的关系应用
10．已知直线l的倾斜角是直线y＝
x＋5的倾斜角的2倍，则直线l的斜率为（C）
A．1B.
C.
D．－
直线y＝
x＋5的斜率为
，则其倾斜角为30°
，故直线l的倾斜角为60°
，∴kl＝
11．若过点P（1－a，1＋a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．
直线PQ的倾斜角为钝角，则意味着直线的斜率小于0，由kPQ＝
＜0，解得：
－2＜a＜1，故a的取值范围是（－2，1）．
综合点二 斜率与共线
12．若三点A（2，2）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）共线，则
＋
的值等于________．
∵A（2，2），B（a，0），C（0，b）三点共线，
∴kAB＝kAC.
.∴a－2＝
.∴a＝
13．已知A（1，1）、B（3，5）、C（a，7）、D（－1，b）四点共线，求a，b的值．
∵A、B、C、D四点共线，
∴直线AB、AC、AD的斜率相等，即kAB＝
＝2，
kAC＝
，kAD＝
∴2＝
，解得a＝4，b＝－3.
综合点三 数形结合解题
14．已知两点A（－3，4）、B（3，2），过点P（2，－1）且不垂直于x轴的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
如右图所示，由题可知：
kPA＝
＝－1，
kPB＝
＝3.
如图所示，当点P在线段AB上移动时，寻找分界线，即倾斜角为90°
的分界线，并明确，当倾斜角从小于90°
方向趋向于90°
时，斜率逐步增大且趋向于正无穷；
当倾斜角从大于90°
的方向趋向于90°
时，斜率逐步减小，且趋向于负无穷．
从而可知，所求的斜率的范围是（－∞，－1]∪[3，＋∞）．
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