奥数中的数图形个数Word文档格式.docx
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第十四层6个
第十五层5个
第十六层4个
第十七层3个
第十八层2个
第十九层1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)
=55+45=100(利用已学过的知识计算).
(2)方法2:
如图3-3所示:
从上往下,沿折线数
第二层3个
第三层5个
第四层7个
第五层9个
第六层11个
第七层13个
第八层15个
第九层17个
第十层19个
总数:
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100(利用已学过的知识计算).
(3)方法3:
把点群的整体转个角度,成为如图3-4所示的样子,变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×
10=100(个).
想一想:
①数数与计数,有时有不同的方法,需要多动脑筋.
②由方法1和方法3得出下式:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×
10
即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想:
1=1×
1
1+2+1=2×
2
1+2+3+2+1=3×
3
1+2+3+4+3+2+1=4×
4
1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×
5
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×
6
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×
7
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×
8
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×
9
这样的等式还可以一直写下去,能写出很多很多.
同学们可以自己检验一下,看是否正确,如果正确我们就发现了一条规律.
③由方法2和方法3也可以得出下式:
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×
10.
即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想:
1+3=2×
1+3+5=3×
1+3+5+7=4×
1+3+5+7+9=5×
1+3+5+7+9+11=6×
1+3+5+7+9+11+13=7×
1+3+5+7+9+11+13+15=8×
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×
还可往下一直写下去,同学们自己检验一下,看是否正确,如果正确,我们就又发现了一条规律.
例2数一数,图3-5中有多少条线段?
(1)我们已知,两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有:
ABACADAEAF5条.
以B点为共同左端点的线段有:
BCBDBEBF4条.
以C点为共同左端点的线段有:
CDCECF3条.
以D点为共同左端点的线段有:
DEDF2条.
以E点为共同左端点的线段有:
EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
(2)用图示法更为直观明了.见图3-6.
总数5+4+3+2+1=15(条).
①由例2可知,一条大线段上有六个点,就有:
总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律(见图3-7):
还可以一直做下去.总之,线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.
②上面的事实也可以这样说:
如果把相邻两点间的线段叫做基本线段,那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是:
线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数等于基本线段的条数(见图3-8).基本线段数线段总条数
还可以一直写下去,同学们可以自己试试看.
例3数一数,图3-9中共有多少个锐角?
(1)我们知道,图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.
所以,以OA边为公共边的锐角有:
∠LAOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE,
∠AOF共5个.
以OB边为公共边的锐角有:
∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠BOF共4个.
以OC边为公共边的锐角有:
∠COD,∠COE,∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有:
∠DOE,∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有:
∠EOF只1个.
锐角总数5+4+3+2+1=15(个).
②用图示法更为直观明了:
如图3-10所示,锐角总数为:
5+4+3+2+1=15(个).
①由例3可知:
由一点发出的六条射线,组成的锐角的总数=5+4+3+2+1(个),由此猜想出如下规律:
(见图3-11~15)
两条射线1个角(见图3-11)
三条射线2+1个角(见图3-12)
四条射线3+2+1个角(见图3-13)
五条射线4+3+2+1个角(见图3-14)
六条射线5+4+3+2+1个角(见图3-15)
总之,角的总数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数比射线数小1.
②同样,也可以这样想:
如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角,那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是:
角的总数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数等于基本角个数.
③注意,例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的,例3是关于角的,但求总数时,它们有同样的数学表达式.同学们可以看出,一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系,这就是数学的魔力.
习题三
1.书库里把书如图3-16所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本?
2.图3-17所示是一个跳棋盘,请你数一数,这个跳棋盘上共有多少个棋孔?
3.数一数,图3-18中有多少条线段?
4.数一数,图3-19中有多少锐角?
5.数一数,图3-20中有多少个三角形?
6.数一数,图3-21中有多少正方形?
习题三解答
1.解:
方法1:
从左往右一摞一摞地数,再相加求和:
10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10
=135(本).
方法2:
把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.
长方形中的书10×
11=110
三角形中的书1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
110+25=135(本).
2.解:
因为棋孔较多,应找出排列规律,以便于计数.
仔细观察可知,图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是(从上往下数):
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1,2,3,4,所以棋孔总数是:
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)+(1+2+3+4)×
3=91+10×
3=121(个).
3.解:
按图3-22所示方法数(图中只画出了一部分)
线段总数:
7+6+5+4+3+2+1=28(条).
基本线段共7条,所以线段总数是:
7+6+5+4+3+2+1=28(条).
4.解:
按图3-23的方法数:
角的总数:
7+6+5+4+3+2+1=28(个).
5.解:
(1)三角形是由三条边构成的图形.
以OA边为左公共边构成的三角形有:
△OAB,△OAC,△OAD,△OAE,△OAF,△OAG,△OAH,共7个;
以OB边为左公共边构成的三角形有:
△OBC,△OBD,△OBE,△OBF,△OBG,△OBH,共6个;
以OC边为左公共边构成的三角形有:
△OCD,△OCE,△OCF,△OCG,△OCH,共5个;
以OD边为左公共边构成的三角形有:
△ODE,△ODF,△ODG,△ODH,共4个;
以OE边为左公共边构成的三角形有:
△OEF,△OEG,△OEH,共3个;
以OF边为左公共边构成的三角形有:
△OFG,△OFH,共2个;
以OG边和OH,GH两边构成的三角形仅有:
△OGH1个;
三角形总数:
显然底边AH上的每一条线段对应着一个三角形,而基本线段是7条,所以三角形总数为:
6.解:
最小的正方形有25个,
由4个小正方形组成的正方形16个;
由9个小正方形组成的正方形9个;
由16个小正方形组成的正方形4个;
由25个小正方形组成的正方形1个;
正方形总数:
25+16+9+4+1=55个.