云南师大附中学年高三适应性月考卷一数学理试题.docx

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云南师大附中学年高三适应性月考卷一数学理试题

云南师大附中2020-2021学年高三适应性月考卷

（一）数学（理）试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:

平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为（）

A．B．C．D．

2．函数的图象如图所示，则方程的实数根个数为（）

A．3B．6C．9D．12

3．四边形是菱形，，，沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为（）

A．B．C．D．

二、填空题

4．边长为的正方体中，点为上底面的中心，为下底面内一点，且直线与底面所成线面角的正切值为，则点的轨迹围成的封闭图象的面积为_____.

5．设为椭圆:

的两个焦点．为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为_____.

三、解答题

6．某调研机构，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有人为“低碳族”，该人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.

（1）根据频率分布直方图，估计这名“低碳族”年龄的平均值，中位数；

（2）若在“低碳族”且年龄在、的两组人群中，用分层抽样的方法抽取人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？

7．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若为的中点，且，求的最大值.

8．如图甲，在直角梯形中，，，，过作，垂足为，现将沿折叠，使得．取的中点，连接，，，如图乙．

甲乙

（1）求证：

平面；

（2）求二面角的余弦值

9．已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线相交于、两点，满足.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为，，求的最小值.

10．已知，，若点A为函数上的任意一点，点B为函数上的任意一点.

（1）求A，B两点之间距离的最小值；

（2）若A，B为函数与函数公切线的两个切点，求证:

这样的点B有且仅有两个，且满足条件的两个点B的横坐标互为倒数.

11．在平面直角坐标系xOy中，曲线：

，（为参数），将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。

（1）求曲线的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线交于不同的两点A，B，点M为抛物线的焦点，求的值。

12．已知函数.

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）当时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

1．A

【分析】

以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系，得出点、的坐标，设点，利用两点间的距离公式结合条件得出点的轨迹方程，然后利用坐标法计算出的表达式，再利用数形结合思想可求出的最小值.

【详解】

以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系，

则、，设，，，

两边平方并整理得，

所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

则有，如下图所示：

当点为圆与轴的交点（靠近原点）时，此时，取最小值，且，

因此，，故选A.

【点睛】

本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.

2．C

【分析】

令，，先由图象知方程有三个根，再根据u的值确定t个数，最后根据t的值与个数确定结果.

【详解】

令，，则由，有，由图象知有三个根，，，分别令，，，由图象知有9个不同的t符合方程，而为单调递增函数，所以相应x的根的个数为9个，故选C.

【点睛】

本题主要考查方程的根与函数图象的关系以及数形结合思想的应用，合理换元，逐层分析方程的根的情况是解决本题的关键.

3．B

【分析】

取的中点为，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，利用二面角的定义得出，并设，计算出的值，可得出的长度和的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥外接球的半径，最后利用球体体积公式可计算出结果.

【详解】

如下图所示，取的中点为，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，则二面角的平面角为，，

所以，，，设，

则，，则，，

，，

球的半径，所求外接球的体积为，

故选B.

【点睛】

本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

4．

【分析】

作出图形，设正方体底面的中心为点，可得出平面，由直线与平面所成角的定义得出，可得出，从而可知点的轨迹是半径为的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果.

【详解】

如下图所示，

由题意知，在底面内的投影为底面的中心，连接，

则即为直线与底面所成的角，所以，，

则，所以的轨迹是以底面的中心为圆心，以为半径的圆，

因此，的轨迹围成的封闭图象的面积为，故答案为：

.

【点睛】

本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.

5．0

【分析】

因为的内心I的纵坐标为，所以可知道的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，可得到三角形的面积，接着根据焦点三角形的面积确定，进而求出答案.

【详解】

如图，

由题意知的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，

即，

又由焦点三角形的面积，

所以，所以，所以.

【点睛】

本题主要考查通过焦点三角形的面积公式，确定的余弦值，熟悉公式的运用是解决本题的关键.

6．

（1）平均值为，中位数为；

（2）年龄在的人，在的人.

【分析】

（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为计算出矩形的面积；

（2）先计算出年龄在、的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在、的人数.

【详解】

（1）位“低碳族”的年龄平均值为，

设中位数为，前三个矩形的面积为，

前四个矩形的面积为，则，

由题意可得，解得，因此，中位数为；

（2）年龄在、的频率分别为，，

频率之比为，所抽取的人中，年龄在的人数为，

年龄在的人数为.

【点睛】

本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题.

7．

（1）；

（2）.

【分析】

（1）利用正弦定理边角互化思想得出，再利用两角差的余弦公式可得出的值，结合角的范围可得出角的大小；

（2）由中线向量得出，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出的最大值，再利用三角形的面积公式可得出面积的最大值.

【详解】

（1）由正弦定理及得，

由知，

则，化简得，.

又，因此，；

（2）如下图，由，

又为的中点，则，

等式两边平方得，

所以，

则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.

【点睛】

本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

8．

（1）见解析；

（2）

【分析】

（1）要证平面，即证垂直于平面两条交线，设法证明，即可

（2）以点为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，表示出，，，，，

求出的法向量和平面的法向量，再用二面角的余弦公式求值即可

【详解】

（1）∵，，∴平面，又∵平面，∴，

又∵，，∴平面．

甲

乙

（2）如图乙，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，∴，，，，，，

设平面的法向量为，

由，，所以有，

∴取，得平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

由，，所以有

∴取，得平面的一个法向量为，设二面角的大小为，

则．

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理，建系法求二面角的余弦值，线面垂直的证明思路一般为通过证直线与平面的两条交线垂直来证线面垂直，当然也可通过面面垂直，说明直线跟两垂直平面交线垂直，来证线面垂直，建系法求二面角余弦值相对容易，正确书写、求解点坐标和法向量是关键

9．

（1）；

（2）.

【分析】

（1）设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，利用韦达定理并结合条件可求出实数的值，由此得出抛物线的方程；

（2）由

（1）得出直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出关于的表达式，可得出的最小值.

【详解】

（1）因为直线过焦点，设直线的方程为，

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，

所以有，，，因此，抛物线的方程；

（2）由

（1）知抛物线的焦点坐示为，设直线的方程为，

联立抛物线的方程，所以，，

则有，，

因此

.

因此，当且仅当时，有最小值.

【点睛】

本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题.

10．

（1）.

（2）证明见解析

【分析】

（1）由于与互为反函数，即函数图象关于y=x对称，且在点（0，1）处的切线为y=x+1和在点（1，0）的切线为y=x-1，所以A，B两点之间的距离的最小值即为（0，1）与（1，0）之间的距离；

（2）在A处的切线为，在B处的切线为，由于它们是，公切线，所以，联立消得，，最后令，证，有且仅有两个解，且两个解互为倒数即可.

【详解】

（1）解:

由，则在点（0，1）处的切线为y=x+1，

又，则在点（1，0）的切线为y=x-1，

由于与互为反函数，即函数图象关于y=x对称如图，

故而A，B两点之间的距离的最小值即为（0，1）与（1，0）之间的距离，

所以A，B两点之间的距离的最小值为.

（2）设A，B

则在A处的切线为，即

在B处的切线为，即，

所以，则，

要证这样的点B有且仅有两个，需证上式有且有两个解，

令，下证有且仅有两个解，

由，因为单调递增，单调递减，所以单调递增，

又，，故存在唯一的，使得，

故而，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

又，，

所以在上有唯一的根；

记，由，则，

又，

故是在上有唯一的根，

所以有且仅有两个解，

综上所述，这样的点B有且仅有两个，且满足条件的两个点B的横坐标互为倒数.

【点睛】

（1）利用反函数的图象关于直线y=x对称是解决本题的关键；

（2）本题主要考查两个函数公切线的问题，联立两个切线方程（含两个参数），消掉其中一个参数，然后利用导函数去研究分析函数的图象与性质，是解决本题的主要方法.本题主要考查考生的计算求解能力以及化归与转化思想.

11．

（1），

（2）

【分析】

（1）由曲线的参数方程得到普通方程，经变化后得到曲线：

，化为极坐标即可，利用两角差的正弦公式可得直线的极坐标方程为，进而可化为直角坐标方程；

（2）写出直线的参数方程，将直线代入到圆的方程中，利用参数的几何意义结合韦达定理即可得结果.

【详解】

解：

（1）将曲线：

（为参数），消参得，

经过伸缩变换后得曲线：

，

化为极坐标方程为，

将直线的极坐标方程为，即，

化为直角坐标方程为．

（2）由题意知在直线上，又直线的倾斜角为，

所以直线的参数方程为（为参数）

设对应的参数分别为，，

将直线的参数方程代入中，得．

因为在内，所以恒成立，

由韦达定理得

所