学年安徽省皖西南联盟高一上学期期末数学试题解析版.docx
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学年安徽省皖西南联盟高一上学期期末数学试题解析版
2019-2020学年安徽省皖西南联盟高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合,,则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先求得,再由交集的定义求解即可
【详解】
由题,,所以,
故选：
D
【点睛】
本题考查集合的补集、交集运算,属于基础题
2．（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由弧度角度互化公式求解，即由计算．
【详解】
．
故选：
D.
【点睛】
本题考查弧度与角度的互化，属于基础题．
3．函数的零点所在的区间是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据函数单调递增和,得到答案.
【详解】
是单调递增函数,且,,
所以的零点所在的区间为
故选：
【点睛】
本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.
4．设终边在轴的负半轴上的角的集合为则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据角的表示方法及终边在轴的负半轴上,即可得解.
【详解】
根据角的表示方法可知,终边在轴的负半轴上的角可以表示为,,
故选:
D
【点睛】
本题考查了角的表示方法,终边在轴的负半轴上角的表示形式,属于基础题.
5．已知，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据指数函数、对数函数的性质可知,,,即可得到结果
【详解】
由题,,,,
所以,
故选:
D
【点睛】
本题考查指数、对数比较大小,借助中间值是解题关键
6．函数的定义域为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】使函数式有意义，即，，求解．
【详解】
由得所以.
故选：
C.
【点睛】
本题考查函数的定义域，即求使函数有意义的取值范围．求函数定义域的依据
（1）整式函数的定义域为R；
（2）分式的分母不为零；
（3）偶次根式的被开方数不小于零；
（4）对数函数的真数必须大于零；
（5）正切函数y＝tanx的定义域为；
（6）x0中x≠0；
（7）实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
7．圆心角为60°，弧长为2的扇形的面积为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据弧长公式，求得半径，结合扇形的面积公式即可求得.
【详解】
由弧长公式，得半径.
故扇形的面积公式.
故选：
D.
【点睛】
本题考查弧长公式与扇形的面积公式，属基础题.
8．（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】化简得到原式，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】
．
故选：
【点睛】
本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.
9．函数的大致图象为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据函数的奇偶性，特殊值及取值范围进行辨析，排除可得.
【详解】
因为，所以为偶函数，排除A；
因为，所以排除B；因为，所以排除D.
故选：
C
【点睛】
此题考查函数图象的辨析，利用函数性质和特殊值辨析，常用排除法解题.
10．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.
【详解】
解：
由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，
因为是奇函数，
所以，解得，
因为，所以的最小值为.
故选：
【点睛】
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
11．函数的部分图象如图所示,BC∥x轴当时,若不等式恒成立,则m的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据两点的对称性求得的一条对称轴方程，由此结合的周期性求得的值，结合求得，进而求得的解析式，利用分离常数法化简，结合三角函数值域的求法，求得的取值范围.
【详解】
因为,所以的图像的一条对称轴方程为,,所以.由于函数图像过，由,,且,得,所以.
，等价于,令,,.
由,得,的最大值为,所以.
故选：
A
【点睛】
本小题主要考查根据三角函数的图像求三角函数的解析式，考查三角函数最值的求法，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．设函数，则不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数可由向左平移两个单位得到，分析的奇偶性、单调性，可得的单调性，利用函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得.
【详解】
解：
由题意知的图像是由的图像向左平移两个单位长度得到，而是定义域为的偶函数，因为函数与在上单调递增，且，，所以在上单调递减，所以的定义域为，关于对称，并且在上单调递减，所以等价于且，即，故或.
故选：
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性，以及函数的平移，属于中档题.
二、填空题
13．已知，则_________.
【答案】
【解析】根据正切二倍角公式,代入即可求解.
【详解】
由正切的二倍角公式,代入即可求解.
.
故答案为:
【点睛】
本题考查了正切函数而倍加公式的简单应用,属于基础题.
14．已知，，则______.
【答案】
【解析】根据同角三角函数关系式及角的范围,可求得,代入即可求解.
【详解】
由同角三角函数关系式,可知
因为,,
所以,,
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系式的应用,属于基础题.
15．已知是定义在上的奇函数，当时，.若，则__________.
【答案】-2
【解析】由奇函数定义由求出，从而可求得，而，再求出即可．
【详解】
因为是奇函数，所以，可得.所以当时，，所以.又，所以.
故答案为：
．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，由奇函数的定义求函数值，属于基础题．
16．已知，则__________.
【答案】
【解析】由正弦二倍角角公式化简，作出分母为1的分式，分母1用代换化为关于的二次齐次式，再化为求值．
【详解】
.
故答案为：
．
【点睛】
本题考查正弦的二倍角公式和同角间的三角函数关系．考查“1”的代换．解题时注意关于的齐次式的化简求值方法．
三、解答题
17．设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边上有一点，且.
（1）求及的值；
（2）求的值.
【答案】
（1），，.
（2）
【解析】
（1）根据，即可求得参数；再根据三角函数的定义，即可求得；
（2）利用诱导公式以及
（1）中所求，即可容易求得结果.
【详解】
（1），
又，，
，.
（2）原式
.
【点睛】
本题考查由角度终边上一点求三角函数值，以及利用诱导公式化简求值，属基础题.
18．计算或化简：
（1）；
（2）.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】
（1）直接根据指数与对数的性质运算即可；
（2）直接利用对数运算性质即可得出.
【详解】
（1）原式
.
（2）原式
.
【点睛】
本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
19．已知函数的图象过点.
（1）求函数的解析式，并求出的最大值、最小值及对应的的值；
（2）求的单调递增区间.
【答案】
（1）；时，；时，
（2）
【解析】
（1）将图像所过点的坐标代入解析式，求得参数，即可得解析式；再利用余弦型函数的性质求解最值；
（2）将整体代入函数的单调区间，解不等式即可.
【详解】
（1）因为过点，
得，.
∵，∴，
故.
当，即时，；
当，即时，.
（2）由
（1）知，
当时，单调递增，
解得：
故的单调递增区间为.
【点睛】
本题考查余弦型函数的解析式求解，涉及单调性、最值，属基础题.
20．已知函数，的图象的一条对称轴是，一个对称中心是.
（1）求的解析式；
（2）已知是锐角三角形，，且，求.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）由对称轴和对称中心可得，，结合范围可求得，再由对称轴和对称中心坐标可求得，得解析式；
（2）由，化为一个角的一个三角函数后可求得，再由求得，由诱导公式和两角和的余弦公式可得．
【详解】
（1）设的最小正周期为，∵的图象的一条对称轴是，一个对称中心是，
∴，，∴，.，
∵，∴
.∵图象的一条对称轴是，∴，，∴，
.∵，∴．∴.
（2）∵，∴，，∴，，又∵是锐角，∴.∵，是锐角∴，
∴
【点睛】
本题考查由三角函数的性质求函数解析式，考查二倍角公式、两角和的正弦、余弦公式，诱导公式，同角间的三角函数关系，熟练掌握三角函数公式是解题关键．三角函数问题中常常要化为一个角的一个三角函数形式．
21．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.
（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;
（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
（参考数据:
取）
【答案】
（1）
（2）6次
【解析】
（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；
（2）结合题意解指数不等式即可.
【详解】
解:
（1）由题意得,,
所以当时,,
即,解得,
所以,
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.
（2）由题意可得,,
整理得,,即,
两边同时取常用对数,得,
整理得,
将代入,得,
又因为,所以.
综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
【点睛】
本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.
22．已知函数，，且函数是偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；
（3）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点.
【答案】
（1）
（2）（3），零点为0，-2，2
【解析】
（1）由是偶函数，求出后可得；
（2）等式在上恒成立，可用分离参数法转化为求函数最值；
（3）可换元，化为关于（）的方程，原函数有三个零点，即原方程有三个解，由对称性（或偶函数）知是一个解，即是新方程的一个根，由此可求得，从而求得另外的根，即求得函数的零点．
【详解】
（1）∵，
∴.
∵是偶函数，∴，∴.∴，∴.
（2）∵在上恒成立，∴.
令，，则，，∴.
（3）令，则，方程可化为，即，也即.
又∵方程有三个实数根，
∴有一个根为2，∴.∴，解得或.
由，得，由，得，
∴该函数的零点为0，-2，2.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，考查不等式恒成立问题，考查函数的零点．解题中不断进行转化．不等式恒成立转化为求函数的最值，函数的零点转化为方程的解，对数型方程转化为一般分式型方程，从而易于求解．
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