最新高等数学上册期末考试试题含答案ADOWord格式文档下载.docx

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两边同时对t求导，得

由

.得

代入椭圆方程得：

，

即所求点为

.

2．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．

（1）

；

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

．

（1）∵

而

收敛，由比较审敛法知

收敛．

（2）∵

发散，由比较审敛法知，原级数发散．

（3）∵

收敛，故

也收敛．

（4）∵

（5）当a>

1时，

，而

当a=1时，

，级数发散．

当0<

a<

综上所述，当a>

1时，原级数收敛，当0<

a≤1时，原级数发散．

（6）由

知

发散，由比较审敛法知

发散．

3．设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。

如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素

（图22）

则

则

故所求引力的大小为

，方向自N点指向圆弧的中点。

4．把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？

如图19，区间[x，x+dx]上的一个薄层水，有微体积dV=10·

6·

dx

（19）

设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为

dw=x·

60gdx=60gxdx．

于是将水全部抽出所作功为

5．计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.

（17）

以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：

x2+y2=R2．

过区间[R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为（x，y），则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于

从而该立体的体积为

6．已知曲线f（x）=xx2与g（x）=ax围成的图形面积等于

，求常数a．