最新高等数学上册期末考试试题含答案ADOWord格式文档下载.docx
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两边同时对t求导,得
由
.得
代入椭圆方程得:
,
即所求点为
.
2.用比较审敛法判别下列级数的敛散性.
(1)
;
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
.
(1)∵
而
收敛,由比较审敛法知
收敛.
(2)∵
发散,由比较审敛法知,原级数发散.
(3)∵
收敛,故
也收敛.
(4)∵
(5)当a>
1时,
,而
当a=1时,
,级数发散.
当0<
a<
综上所述,当a>
1时,原级数收敛,当0<
a≤1时,原级数发散.
(6)由
知
发散,由比较审敛法知
发散.
3.设有一半径为R,中心角为φ的圆弧形细棒,其线密度为常数ρ,在圆心处有一质量为m的质点,试求细棒对该质点的引力。
如图22,建立坐标系,圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素
(图22)
则
则
故所求引力的大小为
,方向自N点指向圆弧的中点。
4.把长为10m,宽为6m,高为5m的储水池内盛满的水全部抽出,需做多少功?
如图19,区间[x,x+dx]上的一个薄层水,有微体积dV=10·
6·
dx
(19)
设水的比重为1,,则将这薄水层吸出池面所作的微功为
dw=x·
60gdx=60gxdx.
于是将水全部抽出所作功为
5.计算底面是半径为R的圆,而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.
(17)
以底面上的固定直径所在直线为x轴,过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则底面圆周的方程为:
x2+y2=R2.
过区间[R,R]上任意一点x,且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形,若设与x对应的圆周上的点为(x,y),则该等边三角形的边长为2y,故其面积等于
从而该立体的体积为
6.已知曲线f(x)=xx2与g(x)=ax围成的图形面积等于
,求常数a.