高中数学数列知识点总结精华版文档格式.docx
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anan1d（nN*,且n2）.（或an1and（nN*））.
2、
（1）等差数列的判断方法：
1定义法：
an1and（常数）an为等差数列。
2中项法：
2an1anan2an为等差数列。
3通项公式法：
ananb（a,b为常数）an为等差数列。
4
an为等差数列。
前n项和公式法：
SnAn2Bn（A,B为常数）
等差数列。
其中a=d,b=a1-d.
另两者，即所谓的“知三求二”
（4）等差中项：
若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A
2
提醒：
（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：
ai、d、n、an及
&
，其中a1、d称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a2d,ad,a,ad,a2d…（公差为d）；
偶数个数成等差，可设为…，
a3d,ad,ad,a3d,•••（公差为2d）
3.等差数列的性质：
（1）当公差d0时，等差数列的通项公式anai（n1）ddnaid是关于n的一次函数，且斜率为公差d;
前n和Snnqn（^1）d£
n2（a1d）n是关于n的二次函数且常数项为0.等差数列｛an｝中，鱼是n的一次函数，且点（n,）均在直线y=—x
nn2
+（a1—）上
（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。
（3）对称性：
若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之
和•当mnpq时，则有amanapaq,特别地，当mn2p时，则有
aman2ap.
如1、等差数列｛an｝中，Sn18,anan1an23,S31,则n=（答:
27）；
2、在等差数列an中，a100,an0,且an|a^|,Sn是其前n项和，贝UA、
Sl,S2LSI0都小于0,S11,S12L都大于0B、S|,S2LS9都小于0,S20,S21L都大于
0C、S,£
LS5都小于0,S6,S7L都大于0D、S20都小于0,S21,S22L都大于0（答：
B）
（4）项数成等差，则相应的项也成等差数列•即ak,akm,ak2m，…（k,mN*）成等差•若｛an｝、｛bn｝是等差数列，则｛kan｝、｛kanpbn｝（k、p是非零常数卜｛apnq｝（P,qN*）、Sn,S2nSn,SsnS>
n（公差为n2d）•,…也成等差数列，而｛aan｝成等比数列；
若｛an｝是
等比数列，且an0，则｛lgan｝是等差数列
女口等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为
（答：
225）
（5）在等差数列｛an｝中，当项数为偶数2n时，snn（anan1）；
s偶S奇nd；
s偶an1
s奇an
项数为奇数2n1时,
S2n1（2n1）an；
s偶s奇
a1；
S偶n1
S奇n
如1、在等差数列中，
S11=22,
则a6=
2）；
2、项数为奇数的等差数列｛an｝中，奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数（答：
5；
31）.
（6）单调性：
设d为等差数列an的公差，则
d>
0an是递增数列；
d<
0an是递减数列；
d=0an是常数数列
如设｛an｝与｛bn｝是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若
（1）,则am=ai色1.
1
（9）在等差数列｛an｝中，Sn=a,Sm=b（n>
m）,贝VSmn=^^（a—b）.
nm
已知an成等差数列，求Sn的最值问题：
①若a10,d<
0且满足an0,,则Sn最大；
an10
②若ai0,d>
0且满足an'
，则Sn最小.
首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等
差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。
法
由不等式组an0或an0
an10an10
确定出前多少项为非负（或非正）；
法二：
因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*。
上述两种方法是运用了哪种数学
思想？
（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如1、等差数列｛an｝中，ai25，S編，问此数列前多少项和最大？
并求此最大值。
前13项和最大，最大值为169）；
2、若｛an｝是等差数列，首项a0,a2003a20040，
a2003a20040，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是（答：
4006）
（10）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：
公共项仅是公共的项，其项
数不一定相同，即研究anbm.
三、等比数列
1等比数列的有关概念：
如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常
n2）（或
数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。
即旦q（nN
an1
an1.*、
q（nn）
an
5
（答:
5）;
6
q.（答：
n6,
q1或2）
是等比数列。
a?
9（答：
44）
a1anq
。
1q
4、等比数列的前n和：
当q1时，Snnq；
当
如等比数列中，q=2,S99=77，求a3a6
首先要判断
等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，
公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q1和q1两种情形讨论求解。
5、等比中项：
如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=ab.提醒：
不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。
如已知两个正数a,b（ab）的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为（答：
A>
B）
（1）等比数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到5个元素：
、q、n、an
及Sn,其中ai、q称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2
个，即知3求2;
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，
孚，旦,a,aq,aq2…（公比为q）；
但偶数个数成等比时，不能设为…刍，？
，aq,aq3，…，
qqqq
因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q2。
如有四个数，其中前三
个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三
个数的和为12,求此四个数。
15,,9,3,1或0,4,8,16）
6、等比数列的性质：
（1）对称性：
若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积•
即当mnpq时，则有am.anap.aq，特别地，当mn2p时，则有am.anap.如1、在等比数列｛an｝中，a3a8124,8487512,公比q是整数，则內。
=—（答：
512）;
2、各项均为正数的等比数列｛an｝中，若a5a.9，贝ylog3a1log3a2Llog3a10
⑵若｛an｝是公比为q的等比数列，贝U｛|a
n|｝、｛a；
｝、
｛kan｝、｛—｝也是等比数
10）。
列，其公比分别为|q|｝、｛q2｝、｛q｝、｛丄｝。
若｛an｝、｛bn｝成等比数列，则2.0｝、｛咅｝
qbn
成等比数列；
若｛an｝是等比数列，且公比q1，则数列Sn,S2n&
冷3.S?
n，…也
当q1，且n为偶数时，数列Sn,S2nSn,S3nS?
n，…是常数数列0,它不是等比数列•若an是等比数列，且各项均为正数，则logaan成等差数列。
若项数
为3n的等比数列（q工―1）前n项和与前n项积分别为S1与T1，次n项和与次n项积分别为S2与T2，最后n项和与n项积分别为S3与T3，则S1,S2,S3成等比数列，T1,T2,
T3亦成等比数列
如1、已知a0且a1,设数列｛xn｝满足logaxn11logaxn（nN*）,且
X1x2LX100100，则X101X102Lx200.（答：
100a）；
2、在等比数列｛an｝中，Sn为其前n项和，若S3013Sio,SioS30140，则S20的值为（答：
40）
（3）单调性：
若ai0,q1，或ai0,0q1则｛an｝为递增数列；
若ai0,q1,或a10,0q1则｛an｝为递减数列；
若q0,则｛a.｝为摆动数列；
若q1，则｛%｝为常数列•
（4）当q1时，Sn-^^qn旦aqnb，这里ab0，但a0,b0，
1q1q
这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn，判断数列｛an｝是否为等比数
列。
如若｛an｝是等比数列，且Sn3nr，则r=（答：
—1）
（5）SmnSmqWnSnqWm.如设等比数列gn｝的公比为q，前n项和为&
若Sn1,Sn,Sn2成等差数列，则q的值为（答:
—2）
（6）在等比数列｛an｝中，当项数为偶数2n时，S偶qS奇；
项数为奇数2n1时，磊a1qS偶.
（7）如果数列｛an｝既成等差数列又成等比数列，那么数列｛an｝是非零常数数列，故常数
数列｛an｝仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
如设数列an的前n项和为Sn（nN）,关于数列an有下列三个命题：
①若
anan1（nN），贝Va“既是等差数列又是等比数列；
②若Snan2bna、bR,则an是等差数列；
③若Sn11n，则an是等比数列。
这些命题中，真命题的序号是（答：
②③）
⑧等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；
等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+q“Sn；
四、难点突破
1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．
2．等差（比）数列的定义中有两个要点：
一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项
的差（比）等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差（比）数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．
3.数列的表示方法应注意的两个问题：
⑴｛an｝与an是不同的，前者表示数列a1,
a2，…，an，…，而后者仅表示这个数列的第n项；
⑵数列a1,a2，…，an，…，与集
合｛a1,a2，…，an，…，｝不同，差别有两点：
数列是一列有序排布的数，而集合是一
个有确定范围的整体；
数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性.
4.注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：
⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S,则通常设…，aq2,aq1,a,aq,
2aq,…；
⑵对连续偶数个项同号.的等比数列，若已知其积为S,则通常设…，aq3,aq1,aq,aq3，….
5.一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，
要注意an工0,因为当an=0时，虽有a2=an1•an1成立，但｛an｝不是等比数列，即
“b2=a•c”是a、b、c成等比数列的必要非充分条件；
对比等差数列｛an｝,“2b=a+
c”是a、b、c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清.
6.由等比数列定义知,等比数列各项均不为0,因此,判断一数列是否成等比数列,首先要注意特殊情况“0”.等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想,需分分q=1和1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错.
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