完整word高等数学常微分方程的基础知识和典型例题.docx
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完整word高等数学常微分方程的基础知识和典型例题
1
的解为
9
常微分方程
1.（05,4分）微分方程xy2yxlnx满足y
（1）
分析：
这是一阶线性微分方程原方程变形为.
dy+2ydxx
2dxlnx,两边乘ex=x得
22
xy）=xlnx.
积分得
y
（1）
x2y=C+x2lnxdxC1lnxdx33
111
得C0yxlnxx.
939
C1x3lnx
3
13
x.
9
2.（06,4分）微分方程y=y（1x）的通解为————
x
分析：
这是可变量分离的一阶方程，分离变量得
dy（11）dx.积分得lnylnxxC1，即yeC1xex
yx
yCxex,其中C为任意常数.
（二）奇次方程与伯努利方程
1.（97,2,5分）求微分方程（3x22xyy2）dx（x22xy）dy0的通解
解：
所给方程是奇次方程.令y=xu,则dy=xdu+udx.代入原方程得
3（1+u-u2）dx+x（1-2u）du=0.
分离变量得1-2u2du3dx,
1uux
积分得ln1uu23lnxC1,即1uu2=Cx3.
以uy代入得通解x2xyy2.
xx
（yx2y2）dxxdy0（x0）,
2.（99,2,7分）求初值问题的解.
yx10
解：
所给方程是齐次方程（因dx,dy的系数（y+x2y2）与（-x）都是一次齐次函数）
令dyxduudx,带入得
x（u1u2dxx（xduudx）0,
化简得12u2dxxdu0.
分离变量得dx-du=0.
x1u2
积分得lnxln（u1u2）C1,即u1u2Cx.
以uy代入原方程通解为y+x2y2Cx2.
x
再代入初始条件yx10,得C=1.故所求解为y+x2y2x2，或写成y12（x21）.
（三）全微分方程
练习题
（94,1,9分）设f（x）具有二阶连续导数，f（0）0,f（0）1,且
[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f（x）+x2y]dy=0为一全微分方程，求f（x）以及全微分方程的通解
先用凑微分法求左端微分式的原函数：
122122
（ydxxdy）2（ydxxdy）yd（2sinxcosx）（2sinxcosx）dy0,22
122
d[xy2xyy（cosx2sinx）]0.
2
其通解为1x2y22xyy（cosx2sinx）C.
4.（98,3分）已知函数yy（x）在任意点x处的增量y=y2x,当x0时,
1x
是x的高阶无穷小，y（0）=，则y
（1）等于（）
（A）2.（B）.（C）e4.（D）e4.
分析：
由可微定义，得微分方程yy.分离变量得
2
1x
1ydx2,两边同时积分得lnyarctanxC,即yCearctanx.
y1x
代入初始条件y（0），得C=，于是y（x）earctanx,
由此，y
（1）e4.应选（D）
二、二阶微分方程的可降阶类型
5（.00,3分）微分方程xy3y0的通解为
分析：
这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令y=P（x），则y=P，方程可化为一阶线性方程
xP3P0,标准形式为P+3P=0，两边乘x3得（Px3）=0.通解为yPC30.
xx
再积分得所求通解为yC22C1.
x
21
6.（02,3分）微分方程yyy2=0满足初始条件yx01，yx02的特解是
分析：
这是二阶的可降阶微分方程.
令yP（y）（以y为自变量），则ydydPPdP.
dxdxdy
代入方程得yPdP+P2=0，即ydP+P=0（或P=0,，但其不满足初始条件yx01）
dydy2
分离变量得dPdy0,
Py
C
积分得lnP+lny=C，即P=1（P=0对应C1=0）；
y
11
由x0时y1，P=y,得C1，于是
22
1
yP,2ydydx,积分得yxC22y.
又由yx01得C2.1，所求特解为y1x.
三、二阶线性微分方程
（一）二阶线性微分方程解的性质与通解结构
7.（01,3分）设yex（C1sinxC2cosx）（C1,C2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分
方程的通解，则该方程为.
分析一：
由通解的形式可得特征方程的两个根是
r1，r21i，从而得知特征方程为
22
（rr1）（rr2）r（r1r2）rr1r2r2r20.
由此，所求微分方程为y2y2y0.
分析二：
根本不去管它所求的微分方程是什么类型（只要是二阶），由通解yex（C1sinxC2cosx）
求得yex[（C1C2）sinx（C1C2）cosx],yex（2C2sinx2C1cosx）,
从这三个式子消去C1与C2,得y2y2y0.
（二）求解二阶线性常系数非齐次方程
9.（07,4分）二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的通解为y=
分析：
特征方程243
（1）（3）0的根为1,3.
非齐次项ex,2不是特征根，非齐次方程有特解yAe2x.代入方程得
（4A8A3A）e2x2e2xA2.
因此，通解为yC1exC2e3x2e2x..
10.（10,10分）求微分方程y3y2y2xex的通解.
分析：
这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.
1由相应的特征方程2320,得特征根11,22相应的齐次方程的通解为
yC1exC2e2x.
2非齐次项f（x）2xex,1是单特征根，故设原方程的特解
x
yx（axb）e.
代入原方程得ax2（4ab）x2a2b3[ax2（2ab）xb]2（ax2bx）2x,
即2ax2ab2x,a1,b2.
3原方程的通解为yC1exC2e2xx（x2）ex,其中C1，C2为两个任意常数.
04，2,4分）微分方程yyx21sinx的特解形式可设为（）
22
（A）yaxbxcx（AsinxBcosx）.（B）yx（axbxcAsinxBcosx）.
22
（C）yaxbxcAsinx.（D）yaxbxcAcosx.
分析：
相应的二阶线性齐次方程的特征方程是210,特征根为i.
yyx21L（）与1yysinxL
（2）
方程
（1）有特解yax2bxc,方程
（2）的非齐次项f（x）exsinxsinx（0,1，
i是特征根）,它有特解yx（AsinxBcosx）.
yax2bxcx（AsinxBbcosx）.应选（A）.
（四）二阶线性变系数方程与欧拉方程
12.（04,4分）欧拉方程x2d2y4xdy2y0（x0）的通解为
dxdx
分析：
建立y对t的导数与y对x的导数之间的关系.
222
dydydxdydydy2dy2dydy
（sinx）,22sintcost（1x）2x.
dtdxdtdxdtdxdxdxdx
d2y
于是原方程化为2y0,其通解为yC1costC2sint.
dt2
回到x为自变量得yC1xC21x2.
x
由y（0）C21C21.y（0）C1x02C12.
1x2
因此特解为y2x1x2.
四、高于二阶的线性常系数齐次方程
13.（08，4分）在下列微分方程中，以yC1eC2cos2xC3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通
解的是（）
（A）yy4y4y0.（B）yy4y4y0.
（C）yy4y4y0.（D）yy4y4y0.
分析：
从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：
1,2i（i1），对
应的特征方程是
（1）（2i）（2i）
（1）（24）32440,
因此所求的微分方程是yy4y4y0，选（D）.
（00,2,3分）具有特解y1ex,y22xex,y33ex的三阶常系数齐次线性微分方程是（）
（A）yyyy0.（B）yyyy0.
（C）y6y11y6y0.（D）y2yy2y0.
分析：
首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r1r21,r31，从而特征方程为
（r1）2（r1）0,即r3r2r10,由此，微分方程为yyyy0.应选（D）.
五、求解含变限积分的方程
00,2,8分）函数y=f（x）在0,上可导，f（0）1，且满足等式
1x
f（x）f（x）1f（t）dt0，
f（x）1.
x10
求解与证明（）首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分：
1
x
（x1）f（x）（x1）f（x）0f（t）dt0,（x1）f（x）（x2）f（x）0.
在原方程中令变限x0得f（0）f（0）0,由f（0）1,得f（0）1.
现降阶：
令uf（x）,则有ux2u0，解此一阶线性方程得
x1
xe
f（x）uCeu0
x1
xe由f（0）1,得C1,于是f（x）e.
x1
x
e
（2）方法1用单调性.由f（x）e0（x0）,f（x）单调减,f（x）f（0）1（x）;
x1
x
又设（x）f（x）ex,则（x）f（x）exxex0（x0）,（x）单调增，因此（x）
x1
（0）0（x0）,即f（x）ex（x0）.
综上所述，当x0时,exf（x）1.
方法2用积分比较定理.由牛顿-莱布尼茨公式，有
六、应用问题
（一）按导数的几何应用列方程练习题
1.（96,1,7分）设对任意x0,曲线yf（x）上点（x,f（x））处的切线在y轴上的截距等于
1xf（t）dt,求f（x）的一般表达式.
x0
解：
曲线yf（x）上点（x,f（x））处的切线方程为
Yf（x）f（x）（Xx）.
令X0得y轴上的截距Yf（x）xf（x）.由题意
1x
1f（t）dtf（x）xf
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