数学九年级教材下册变式题.docx

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数学九年级教材下册变式题

九年级下册·课本亮题拾贝

26．1二次函数

题目如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=

10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？

（人教课本

P1810题）

分析阅读理解题意，抓住AC与BD的位置关系（AC⊥BD）和

数量关系（AC+BD=10）去表达四边形ABCD的面积．

解设AC与BD相交于O，AC=x，则BD=10－x（0＜x＜10），

因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，所以四边形

ABCD的面积

=

==．

因此，当AC=x=5，BD=5时，四边形ABCD的面积最大，为．戊

点评由于多边形的面积一般是转化为三角形的面积解决的，所以当题目文字和图形中有了垂直关系时，自然就联想到三角形的面积等于底乘以高的一半（底与高垂直），借助于主元思想，设AC=x，则BD=10－x，则就可以统一用x来表达四边形ABCD的面积等一些量．

演变

变式1（图形变式）已知平面上两条线段AC、BD互相垂直，AC+BD=10，问当AC、BD的长是多少时，多边形ABCD的面积最大？

并画出此时多边形可能具有的形状．

分析由于四边形具有对角线垂直且相等的特征，所以作出其图形形状（含特殊情况）如下：

甲乙丙丁

解如图甲、乙、丙、丁，问题显然．如上图戊，设AC的延长线与BD相交于O，AC=x，则BD=10－x，（0＜x＜10），因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，所以四边形ABCD的面积

S=S△ABD－S△CBD==

==．

因此，当AC=x=5，BD=5时，四边形ABCD的面积最大，为．

说明：

如图所示，构成的多边形ABDC，就没有最大值．

根据解答，将题目中的关系特征抽象出来，即得：

变式2（关系变式）

已知x、y都是正数，如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值．

这是一个有着十分广泛应用的结论（均值定理）．

由x+y=S，得y=S－x，代入xy中有，xy=x（S－x）=－x2+Sx=－，结论正确．

变式3（问题推广）如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的角为，AC+BD=m，问当AC、BD的长等于多少时，四边形ABCD的面积最大？

解过A、C作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F是垂足，则

四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CBD

=BD·AE+BD·CF=BD（AE+CF）=BD（AO·sin+CO·sin）

=BD（AO+CO）sin=BD·AC·sin，

∴当BD=AC=m时，S最大，为．

26.2用函数观点看一元二次方程

题目抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），求这条抛物线的对称轴．（人教课本P234题）

解∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），

∴解得

∴抛物线的方程为y=ax2－2ax－3a=a（x2－2x－3）=a（x－1）2－4a（a≠0），

因此，所求抛物线的对称轴为x=1．

另法∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），

∴抛物线的方程可设为y=a（x+1）（x－3），a≠0，

即y=－a（x2－2x－3）=a（x－1）2－4a（a≠0），

所以，抛物线的对称轴为x=1．

法三由于抛物线是关于对称轴对称的，且其对称轴x=h与x轴垂直，

∴对称轴必过点A（－1，0）、B（3，0）的中点，为h－（－1）=3－h，得．

点评本题已知简洁，结论明了，似乎没有什么可挖掘或拓广的．其实题目乃平中见奇，内涵丰富，不但解法多样，而且数形结合思想、函数与方程思想贯穿其中，若要画图，还需分a＞0和a＜0讨论．适当改变条件，可得出许多新颖的题目来（如变式4这种开放题）．

演变

变式1已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D．

（1）若△ABC是直角三角形，则a=；

（2）若△ABD是直角三角形，则a=．

解在草稿纸上画出大致图象，可知

（1）若△ABC是直角三角形，则直角顶点只能是C，∴C（0，c），即C（0，－3a），于是（－3a）2=1×3，解得a=±1．

（2）若△ABD是直角三角形，则直角顶点只能是D，∴D（0，－4a），

于是由2︱（－4a）︱=4，解得a=±．

变式2已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D．问是否存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上？

解假设存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上，则圆心E必在抛物线的对称轴x=1上，于是令E（1，m），则︱DE︱=︱m+4a︱，︱AE︱=︱BE︱=，︱CE︱=．由E到A、B、C、D的距离相等，得

︱m+4a︱==，

经求解知，不存在非零常数a，使上式成立，因此表明，不存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上．

变式3已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D．若四边形ABDC的面积为2，求抛物线的解析式．

解作出示意图，设对称轴与x轴的交点为E．

则△BDE的面积为EB·DE=×2×︱4a︱=4︱a︱；

△AOC的面积为AO·CO=×1×︱3a︱=︱a︱；

直角梯形OCDE的面积为（CO+DE）·OE=（︱3a︱+︱4a︱）·1=︱a︱；

从而四边形ABDC的面积等于4︱a︱+︱a︱+︱a︱=9︱a︱=18，∴a=±2．

因此，抛物线的解析式为y=2x2－4x－6或y=－2x2+4x+6．

变式4已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，

你能根据图象所提供的信息得出哪些结论呢？

试一试．

（1）（2009丽水）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）

的图象如图所示，给出以下结论：

①a＞0②该函数的图象关于直线x=1对称

③当x=－1或x=3时，函数y的值都等于0

其中正确结论的个数是（）．B

A．3B．2C．1D．0

（2）（2009南充）抛物线y=a（x+1）（x－3）（a≠0）的对称轴是直线（）．A

A．x=1B．x=－1C．x=－3D．x=3

（3）（2009南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象

如图所示，有下列四个结论：

①b＜0②c＞0③b2－4ac＞0

④a－b+c＜0其中正确的个数有（）．C

A．1个B．2个C．3个D．4个

（4）（2009宁夏）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图

所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）．D

A．c＞0B．2a+b=0C．b2－4ac＞0D．a－b+c＞0

（5）（2009庆阳）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）

的图象，给出下列说法：

①ab＜0②方程ax2+bx+c=0的根为x1=－1，x2=3

③a+b+c＞0④当x＞1时，y随x值的增大而增大

⑤当y＞0时，－1＜x＜3

其中，正确的说法有．①②④

（请写出所有正确说法的序号）

（6）（2009内江）如图所示，已知点A（－1，0），B（3，0），

C（0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过A、B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线l：

y=k（x+1）的一个交点．

①求抛物线的解析式；②对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值；③若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求△AMP的边AP上的高h的最大值．

（限于篇幅，解答略去，下同）

（7）（2009武汉）如图，抛物线y=ax2+bx－4a经过A（－1，0）、

C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．

①求抛物线的解析式；

②已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，

求点D关于直线BC对称的点的坐标；

③在②的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，

且∠DBP=45，求点P的坐标．

（8）（2009安顺）如图，已知抛物线与x交于A（－1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．

①求抛物线的解析式；②设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；③△AOB与△DBE是否相似？

如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．

（9）（2009威海）如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（－1，0），（3，0）．（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

①求抛物线的解析式；

②求当AD+CD最小时点D的坐标；

③以点A为圆心，以AD为半径作⊙A．

ⅰ）证明：

当AD+CD最小时，直线BD与⊙A相切．

ⅱ）写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：

___________．

（10）（2009牡丹江）如图二次函数y=x2+bx+c的图象

经过A（－1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C．

①试确定b、c的值；

②过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛

物线的顶点，试确定△MCD的形状．

（11）（2009十堰）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）

与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．

①求抛物线的解析式；

②设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

③如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

26.3实际问题与二次函数

题目某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：

如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

（人教课本P25探究1）

分析调整价格包括涨价和降价两种情况．看看涨价的情况：

设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出（300－10x）件，销售额为（60+x）（300－10x）元，买进商品需要付40（300－10x）元，因此所得利润y=（60+x）（300－10x）－40（300－10x）．

解

（1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y随x的变化为：

y=（60+x）（300－10x）－40（300－10x），自变量x的取值范围是0≤x≤30．

∴y=－10x2+100x+6000=－10（x－5）2+6250，

因此当x=5时，y的最大值为6250．

（2）设每件降价x元，每星期售出商品的利润y随x的变化为：

y=（60－x－40）（300+20x），自变量x的取值范围是0≤x≤20．

∴y=－20x2+100x+6000=－20（x－2.5）2+6125，

因此当x=2.5时，y的最大值为6125．

（3）每件60元销售（即