高考数学二轮复习专题检测二十一选择题第12题填空题第16题专练理Word格式.docx
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ex-1+e-x+1≥2=2,当且仅当x=1时取“=”.
-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,当且仅当x=1时取“=”.
若a>
0,则a(ex-1+e-x+1)≥2a,
要使f(x)有唯一零点,则必有2a=1,即a=.
若a≤0,则f(x)的零点不唯一.
综上所述,a=.
3.已知函数f(x)在(-1,+∞)上单调,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则数列{an}的前100项的和为( )
A.-200B.-100
C.0D.-50
选B 因为函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的图象关于直线x=-1对称.又函数f(x)在(-1,+∞)上单调,数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),所以a50+a51=-2,所以S100==50(a50+a51)=-100.
4.(2017·
贵州适应性考试)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点F为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PF|,当m取最大值时,|PA|的值为( )
A.1B.
C.D.2
选D 设P(x,y),由抛物线的定义知|PF|=y+1,|PA|=,所以m=,平方得m2=,又x2=4y,当y=0时,m=1,当y≠0时,m2==+1=1+,由基本不等式可知y+≥2,当且仅当y=1时取等号,此时m取得最大值,故|PA|==2.
5.对任意实数a,b,c,d,定义=
已知函数f(x)=,直线l:
kx-y+3-2k=0,若直线l与函数f(x)的图象有两个交点,则实数k的取值范围是( )
A.∪B.
C.∪D.(-1,1)
选A 由题意知,
f(x)==
直线l:
y=k(x-2)+3过定点A(2,3),画出函数f(x)的图象,如图所示,其中f(x)=(x≤-2或x≥2)的图象为双曲线的上半部分,f(x)=(-2<
x<
2)的图象为椭圆的上半部分,B(-2,0),设直线AD与椭圆相切,D为切点.由图可知,当kAB<
k<
1或-1<
kAD时,直线l与f(x)的图象有两个交点.kAB==,将y=kAD(x-2)+3与y=(-2<
2)联立消去y,得(1+4k)x2+8kAD(3-2kAD)x+16k-48kAD+32=0,令Δ=0,解得kAD=.综上所述,k的取值范围是∪.
6.(2016·
浙江高考)已知实数a,b,c,( )
A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100
B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100
C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100
D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100
选D 对于A,取a=b=10,c=-110,
显然|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1成立,
但a2+b2+c2>100,即a2+b2+c2<100不成立.
对于B,取a2=10,b=-10,c=0,
显然|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1成立,
但a2+b2+c2=110,即a2+b2+c2<100不成立.
对于C,取a=10,b=-10,c=0,
显然|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1成立,
但a2+b2+c2=200,即a2+b2+c2<100不成立.
综上知,A、B、C均不成立,所以选D.
7.(2017·
郑州质检)已知函数f(x)=.若当x>
0时,函数f(x)的图象恒在直线y=kx的下方,则k的取值范围是( )
A.B.
C.D.
选B 由题意,当x>
0时,f(x)=<
kx恒成立.由f(π)<
kπ,知k>
0.又f′(x)=,由切线的几何意义知,要使f(x)<
kx恒成立,必有k≥f′(0)=.要证k≥时不等式恒成立,只需证g(x)=-x<
0,∵g′(x)=-=≤0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,∴g(x)<
g(0)=0,∴不等式成立.综上,k∈.
8.设D,E分别为线段AB,AC的中点,且·
=0,记α为与的夹角,则下述判断正确的是( )
A.cosα的最小值为
B.cosα的最小值为
C.sin的最小值为
D.sin的最小值为
选D 依题意得=(+)=[-+(-)]=(-2),=(+)=[-+(-)]=(-2).由·
=0,得(-2)·
(-2)=0,即-22-22+5·
=0,整理得,||2+||2=
||·
||cosα≥2||·
||,所以cosα≥,sin-2α=cos2α=2cos2α-1≥2×
2-1=,所以sin-2α的最小值是.
9.(2017·
石家庄质检)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且BD⊥CD,AB=BD=CD,点P在棱AC上运动,设CP的长度为x,若△PBD的面积为f(x),则f(x)的图象大致是( )
选A 如图,作PQ⊥BC于Q,作QR⊥BD于R,连接PR,则由鳖臑的定义知PQ∥AB,QR∥CD.
设AB=BD=CD=1,
则==,即PQ=,
又===,所以QR=,
所以PR==
=,
所以f(x)==,结合图象知选A.
10.过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA,OB,若在该圆上存在一点C,使得=a+b(a,b∈R),则以下说法正确的是( )
A.点P(a,b)一定在单位圆内
B.点P(a,b)一定在单位圆上
C.点P(a,b)一定在单位圆外
D.当且仅当ab=0时,点P(a,b)在单位圆上
选B 使用特殊值法求解.设A(1,0),B(0,-1),则=a+b=(a,-b).∵C在圆上,
∴a2+b2=1,∴点P(a,b)在单位圆上,故选B.
二、填空题
1.已知函数f(x)=当1<
a<
2时,关于x的方程f[f(x)]=a实数解的个数为________.
当1<
2时,作出f(x)的图象如图所示,令u=f(x),则f(u)=a,由f(x)的图象可知,若u满足u<
0,此时f(x)=u无解,若u>
0,解得<
u<
<
1或2<
e<
e2,显然,当x<
0时,不可能使得f(x)=u有解,当x>
0,<
1时,f(x)=u有2个解,当x>
0,2<
e2时,f(x)=u也有2个解.因此f[f(x)]=a有4个实数解.
答案:
4
2.(2015·
全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°
,BC=2,则AB的取值范围是________.
(特殊图形)如图所示,延长BA,CD交于E,平移AD,当A与D重合于E点时,AB最长,在△BCE中,∠B=∠C=75°
,∠E=30°
,BC=2,由正弦定理可得=,即=,解得BE=+,平移AD,当D与C重合时,AB最短,此时与AB交于F,在△BCF中,∠B=∠BFC=75°
,∠FCB=30°
,由正弦定理知,=,即=,解得BF=-,所以AB的取值范围是(-,+).
(-,+)
3.设0<
m<
,若+≥k恒成立,则实数k的取值范围是________.
由题可知,k的最大值即为+的最小值.因为+=[2m+(1-2m)]=3++≥3+2,取等号的条件是当且仅当1-2m=m,即m=1-∈时成立,所以k的最大值为3+2.故所求实数k的取值范围是(-∞,3+2].
(-∞,3+2]
4.设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则ω=________,φ=________.
∵f=2,f=0,
∴-=(2m+1),m∈N,
∴T=,m∈N,
∵f(x)的最小正周期大于2π,∴T=3π,
∴ω==,∴f(x)=2sin.
由2sin=2,得φ=2kπ+,k∈Z.
又|φ|<π,∴取k=0,得φ=.
5.已知向量a,b,c满足|a|=,|b|=a·
b=3,若(c-2a)·
(2b-3c)=0,则|b-c|的最大值是________.
设a与b的夹角为θ,则a·
b=|a||b|cosθ,
∴cosθ===,
∵θ∈[0,π],∴θ=.
设=a,=b,c=(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系.
则A(1,1),B(3,0),
∴c-2a=(x-2,y-2),2b-3c=(6-3x,-3y),
∵(c-2a)·
(2b-3c)=0,
∴(x-2)(6-3x)+(y-2)(-3y)=0.
即(x-2)2+(y-1)2=1.
又知b-c=(3-x,-y),
∴|b-c|=≤+1=+1,
即|b-c|的最大值为+1.
+1
6.等腰△ABC中,AB=AC,BD为AC边上的中线,且BD=3,则△ABC的面积的最大值为________.
设AD=x,则AB=AC=2x,
因为两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,
所以AB+AD>
BD,即2x+x>
3,x>
1,AB-AD<
BD,即2x-x<
3,x<
3,所以x∈(1,3).
在△ABD中,由余弦定理得
9=(2x)2+x2-2·
2x·
xcosA,即cosA=,
S△ABC=2S△ABD=2×
×
2x×
x×
sinA
=2x2=,
令t=x2,则t∈(1,9),S△ABC=,当t=5,即x=时,S△ABC有最大值6.
6
7.对于函数f(x)与g(x),若存在λ∈{x∈R|f(x)=0},μ∈{x∈R|g(x)=0},使得|λ-μ|≤1,则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”,现已知函数f(x)=ex-2+x-3与g(x)=x2-ax-x+4互为“零点密切函数”,则实数a的取值范围是________.
易知函数f(x)为增函数,且f
(2)=e2-2+2-3=0,所以函数f(x)=ex-2+x-3只有一个零点x=2,则取λ=2,由|2-μ|≤1,知1≤μ≤3.由f(x)与g(x)互为“零点密切函数”知函数g(x)=x2-ax-x+4在区间[1,3]内有零点,即方程x2-ax-x+4=0在[1,3]内有解,所以a=x+-1,而函数y=x+-1在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,所以当x=2时,a取最小值3,且当x=1时,a=4,当x=3时,a=,所以amax=4,所以实数a的取值范围是[3,4].
[3,4]
8.对于数列{an},定义{Δan}为数列{an}的一阶差分数列,其中Δan=an+1-an(n∈N*).对正整数k,规定{Δkan}为数列{an}的k阶差分数列,其中Δkan=Δk-1an+1-Δk-1an=Δ(Δk-1an).若数列{Δ2an}的各项均为2,且满足a11=a2015=0,则a1的值为________.
因为数列{Δ2an}的各项均为2,即Δan+1-Δan=2,所以Δan=Δa1+2n-2,即an+1-an=Δa1+2n-2,
所以an-a1=(n-1)Δa1+(0+2+4+…+2n-4)
=(n-1)Δa1+(n-1)(n-2)(n≥2),
所以
即
解得a1=20140.
20140
9.已知圆O:
x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:
对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则b=________;
λ=________.
法一:
(三角换元)在圆O上任意取一点M(cosθ,sinθ),则由|MB|=λ|MA|可得(cosθ-b)2+sin2θ=λ2[(cosθ+2)2+sin2θ],整理得1+b2-5λ2-(2b+4λ2)·
cosθ=0,即解得
(特殊点)既然对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,使得λ与b为常数,那么取M(1,0)与M(0,1)代入|MB|=λ|MA|,得
解得
-
10.(2017·
江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=其中集合D=,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是________.
由于f(x)∈[0,1),因此只需考虑1≤x<
10的情况,
在此范围内,当x∈Q且x∉Z时,设x=,q,p∈N*,p≥2且p,q互质.
若lgx∈Q,则由lgx∈(0,1),可设lgx=,m,n∈N*,m≥2且m,n互质,
因此10=,则10n=m,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此lgx∉Q,
故lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,
只需考虑lgx与每个周期内x∉D部分的交点.
画出函数草图(如图),图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x∉D的部分,
且x=1处(lgx)′==<
1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程f(x)-lgx=0的解的个数为8.
8