精选题库高一习题 数学检测3.docx
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精选题库高一习题数学检测3
单元质量检测（三）
一、选择题
1．已知sinαcosα＝，且α∈（0，），则sinα－cosα等于
（ ）
A. B．－
C.D．－
解析：
（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，
又∵α∈（0，），
∴sinα－cosα<0，∴sinα－cosα＝－.
答案：
D
2．化简＋的结果是
（ ）
A．－2sin5B．－2cos5
C．2cos5D．2sin5
解析：
＋
＝＋
＝|sin5＋cos5|＋|sin5－cos5|
＝－（sin5＋cos5）－（sin5－cos5）
＝－2sin5.
答案：
A
3．设点P是函数f（x）＝29sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f（x）的最小正周期是
（ ）
A．2πB．π
C.D.
解析：
设函数f（x）的最小正周期为T，
由题意得＝，∴T＝.
答案：
C
4．y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最小正周期和最小值为
（ ）
A．π，0B．2π，0
C．π，2－D．2π，2－
解析：
f（x）＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x
＝1＋sin2x＋（1＋cos2x）
＝2＋sin
最小正周期为π，当sin＝－1，取得最小值为2－.
答案：
C
5．cos（α＋β）＝，sin＝，α，β∈，那么cos的值为
（ ）
A.B.
C.D.
解析：
∵α，β∈，cos（α＋β）＝>0，
sin＝>0，
∴sin（α＋β）＝，cos＝，
∴cos＝cos
＝cos（α＋β）cos＋sin（α＋β）sin
＝×＋×＝.
答案：
C
6．将函数f（x）＝sin2x－cos2x的图象向右平移θ（θ>0）个单位，所得函数是奇函数，则实数θ的最小值为
（ ）
A.B.
C.D.
解析：
化简f（x）＝2sin，右移θ（θ>0）个单位得f（x）＝2sin为奇函数时，至少有2θ＋＝π，θ＝.
答案：
D
7．已知钝角α的终边经过点P（sin2θ，sin4θ），且cosθ＝，则α的正切值为
（ ）
A．－B．－1
C.D．1
解析：
tanα＝＝2cos2θ＝2（2cos2θ－1）
＝4cos2θ－2＝4×（）2－2＝－1.
答案：
B
8．图是函数y＝sinx（0≤x≤π）的图象，A（x，y）是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合）．设线段AB的长为f（x），则函数f（x）的图象是
（ ）
解析：
根据题意，可得f（x）＝|π－x－x|＝|π－2x|，图象即为选项A.
答案：
A
9．如下图所示，函数y＝2sin（ωx＋θ）（|θ|<）的图象，那么
（ ）
A．ω＝，θ＝B．ω＝，θ＝－
C．ω＝2，θ＝D．ω＝2，θ＝－
解析：
由图知周期T＝π－（－）＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝2sin（2x＋θ），
把x＝0，y＝1代入上式得2sinθ＝1，即sinθ＝，
又|θ|<，∴θ＝.
答案：
C
10．将y＝f（x）的图象上各点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变．然后再将图象向右平移个单位，所得图象恰与y＝3sin（x＋）重合，则f（x）等于
（ ）
A．3sin（＋）B．3sin（2x＋）
C．3sin（－）D．3sin（2x－）
解析：
把y＝3sin（x＋）的图象向左平移个单位，得到的图象解析式为y＝3sin（x＋＋）＝3sin（x＋），然后再把得到的图象横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象解析式为y＝3sin（2x＋π）．
答案：
B
11．已知函数f（x）＝2sinωx在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是
（ ）
A．（－∞，－]∪[6，＋∞）
B．（－∞，－]∪[，＋∞）
C．（－∞，－2]∪[6，＋∞）
D．（－∞，－]∪[，＋∞）
解析：
当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，
由题意知－ω≤－，即ω≥，
当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，
由题意知－ω≥，即ω≤－，
综上知，ω的取值范围是（－∞，－]∪[，＋∞）．
答案：
D
12．设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），定义一种向量积：
a⊗b＝（a1，a2）⊗（b1，b2）＝（a1b1，a2b2）．已知m＝，n＝，点P（x，y）在y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f（x）的图象上运动，且满足＝m⊗＋n（其中O为坐标原点），则y＝f（x）的最大值A及最小正周期T分别为
（ ）
A．2，πB．2,4π
C.，4πD.，π
解析：
设P（x0，y0），Q（x，f（x）），
则由已知得（x，f（x））＝，
即x＝2x0＋，∴x0＝x－.
f（x）＝y0，∴y0＝2f（x）．
又y0＝sinx0，∴2f（x）＝sin，
f（x）＝sin.
∴f（x）max＝，T＝＝4π.
答案：
C
二、填空题
13.＝________.
解析：
＝
＝＝＝.
答案：
14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则三角形的形状是________．
解析：
由a，b，c成等差数列得2b＝a＋c，
由sinA，sinB，sinC成等比数列得sin2B＝sinAsinC，
所以由正弦定理得b2＝ac，⇒a＝c.
所以a＝b＝c，所以三角形ABC是等边三角形．
答案：
等边三角形
15．函数f（x）＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
如下图所示，则k的取值范围是1答案：
116．下面有五个命题：
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数y＝3sin（2x＋）的图象向右平移个单位得到y＝3sin2x的图象；
⑤函数y＝sin（x－）在[0，π]上是减函数．
其中真命题的序号是________．
解析：
①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，故最小正周期为π，①正确．
②k＝0时α＝0，则角α终边在x轴上，故②错．
③由y＝sinx在（0,0）处切线为y＝x，所以y＝sinx与y＝x图象只有一个交点，故③错．
④y＝3sin（2x＋）的图象向右平移个单位得到y＝3sin[2（x－）＋]＝3sin2x，故④正确．
⑤y＝sin（x－）＝－cosx在[0，π]上为增函数，故⑤错．
综上知①④为真命题．
答案：
①④
三、解答题
17．已知tan（π＋α）＝－，
tan（α＋β）＝.
（1）求tan（α＋β）的值；
（2）求tanβ的值．
解：
（1）∵tan（π＋α）＝－，
∴tanα＝－.
∵tan（α＋β）＝
＝
＝＝
＝＝，
∴tan（α＋β）＝＝.
（2）∵tanβ＝tan[（α＋β）－α]
＝，
∴tanβ＝＝.
18．已知a＝（cosx＋sinx，sinx），b＝（cosx－sinx,2cosx），设f（x）＝a·b.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）由y＝sinx的图象经过怎样变换得到y＝f（x）的图象，试写出变换过程；
（3）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值及最小值．
解：
（1）∵f（x）＝a·b
＝（cosx＋sinx）（cosx－sinx）＋2sinxcosx
＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x
＝sin（2x＋），
∴f（x）的最小正周期T＝π.
（2）把y＝sinx的图象上所有点向左平移个单位得到y＝sin（x＋）的图象；再把y＝sin（x＋）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到y＝sin（2x＋）的图象；再把y＝sin（2x＋）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到y＝sin（2x＋）．
（3）∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π.
∴当2x＋＝，即x＝时，f（x）有最大值，
当2x＋＝π，即x＝时，f（x）有最小值－1.
19．设0≤θ≤π，P＝sin2θ＋sinθ－cosθ.
（1）若t＝sinθ－cosθ，用含t的式子表示P；
（2）确定t的取值范围，并求出P的最大值和最小值．
解：
（1）由t＝sinθ－cosθ，
有t2＝1－2sinθcosθ＝1－sin2θ.
∴sin2θ＝1－t2，∴P＝1－t2＋t＝－t2＋t＋1.
（2）t＝sinθ－cosθ＝sin（θ－）．
∵0≤θ≤π，∴－≤θ－≤.
∴－≤sin（θ－）≤1.
即t的取值范围是－1≤t≤.
P（t）＝－t2＋t＋1＝－（t－）2＋，
从而P（t）在[－1，]内是增函数，
在[，]内是减函数．
又P（－1）＝－1，P（）＝，P（）＝－1，
∴P（－1）∴P的最大值是，最小值是－1.
20．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝.
（1）若b＝4，求sinA的值；
（2）若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
解：
（1）∵cosB＝>0，且0∴sinB＝＝，
由正弦定理得＝，
∴sinA＝＝＝.
（2）∵S△ABC＝acsinB＝4，
∴×2×c×＝4，
∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
∴b＝
＝＝.
21．把曲线C：
y＝sin·cos向右平移a（a>0）个单位，得到的曲线C′关于直线x＝对称．
（1）求a的最小值；
（2）就a的最小值证明：
当x∈时，曲线C′上的任意两点的直线斜率恒大于零．
（1）解：
∵y＝sin·cos
＝sincos
＝sin，
∴曲线C′方程为y＝sin，
它关于直线x＝对称，
∴sin＝±，
即2＋＝kπ＋（k∈Z），
解得a＝－（k∈Z），
∵a>0，∴a的最小值是.
（2）证明：
当a＝时，曲线C′的方程为y＝sin2x.
由函数y＝sin2x的图象可知：
当x∈时，函数y＝sin2x是增函数，
所以当x1所以>0，即斜率恒大于零．
22．如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60°（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC＝4km，D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD＝x（km），点D对跑道AB的视角为θ.
（1）将tanθ表示为x的函数；
（2）求使θ取得最大值时点D的位置．
解：
（1）过A分别作直线CD，BC的垂线，垂足分别为E，F.
由题知，AB＝4.5，BC＝4，∠ABF＝90°－60°＝30°，
所以CE＝AF＝4.5×sin30°＝，BF＝4.5×cos30°＝，AE＝CF＝BC＋BF＝.
因为CD＝x（x>0），所以tan∠BDC＝＝.
当x>时，ED＝x－，
tan∠ADC＝＝＝（如图甲）． 当0tan∠ADC＝－＝（如图乙）．
所以tanθ＝tan∠ADB＝tan（∠ADC－∠BDC）
＝＝
＝，
其中x>0且x≠.
当x＝时，tanθ＝＝，符合上式．
所以tanθ＝，x>0.
（2）tanθ＝＝，
x>0.
因为4（x＋4）＋
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