几何中函数关系式的求法docx文档格式.docx
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则PM//QC.
・•・AP二AM.
•*.10-t二2t,解得t——.
3
・・・当t二一吋,四边形PQCM是平行四边形.
(2)过P作PE丄AC,交AC于E.
JPQ//AC,
.•.△pbqs/\abc,
•••△PBQ是等腰三角形,PQ=PB=t.
4•\FD=BD-BF=8--t.
5
又VMC=AC-AM=10-2t,
1i(4\2
・・・y=-(P0+MC)EFD=-(f+lO-2/)8一一t=-r2-8r+40.
22i5丿5
2
答;
y与tZ间的函数关系式是y=-r-8r+40.
(3)Saabc二丄ACHBD=-xI0x8=40.
22
aq45945
当y=—S^c=—x40=—时,-r2-8/+40=—,4r2-80/+175=0.1616252
535
解得石=—,=—(舍去)•
2_2
答:
t=—I甘,S四边形P0CM=Saabc.
216
(4)假设存在某一时刻t,使点M在线段PC的垂直平分线上,则MP二MC.过M作MH丄AB,交AB于H,由厶AHM^AADB.
A—=^=^/Xad=V102-82=6
BD
AD
AB
HM
AH
2t
8'
~6'
10
即吩10十*10号.
MP2
(8V
<
iniiY
-t
+
101
(5)
5丿
37
±
Lz2-44r+100,
在RtAHMP中,
乂・・・MC2=(10-2/)2=100-40/+4尸,
由MP2=MC2z
・・・rlf2_44(+]00=]00_40『+存,5
解得:
/厂
2()
旨2"
(舍去).
当t=—s时,点M在线段PC的垂直平分线上.
17
【方法规律】本题涉及到的知识点较多,综合性很强•解决这类问题时,要善于抓住每个知识点最基木的性质寻找突破口,使问题得以解决.
【易错点分析】
(3)没冇考虑t的取值范围;
(4)没冇假设“点M在线段PC的垂直平分线上”而得到MP=MC,从而在此基础上求解.
【关键词】动点,动线,等边三角形,平行四边形,一元二次方程,二次函数,垂直平分线,勾股定理【推荐指数】★★★☆☆【题型】压轴题
2(2011江苏扬州,28,12分)如图,在RtAABC中,ZBAC=90°
AB<
AC,M是BC边的中点,MN丄BC交AC于点N,动点P从点B出发沿射线BA以每秒徭厘米的速度运动。
同时,动点
Q从点N出发沿射线NC运动,且始终保持MQ丄MP。
设运动时间为t秒(t>
0)
(1)APBIVI与△QNM相似吗?
以图1为例说明理由;
(2)若ZABC=60°
AB二4巧厘米。
1求动点Q的运动速度;
2设RtAAPQ的面积为S(平方炬米),求S与t的函数关系式;
(3)探求BP?
、PQ〈CQ2三者之间的数量关系,以图[为例说明理由。
(1)在这两个三角形中易证"
MB=ZQMN,ZPBM=ZQNM,所以两个三角形相似。
(2)注意点P的位置,nJ以在线段BA上,或者在BA的延长线上,分情况讨论,①根据相似三角形的性质求岀NQ的值,即可求岀点Q的运动速度。
②用含t的代数式分别表示出來AP及AQ,利用直角三角形的面积公式即可求求S与t的函数关系式。
(3)延长QM至D,使MD=MQ旌接BD、PD,把BP、PQ、CQ的数量关系转化到一个三角形中。
解:
⑴△PB/V/s/Xq/vm
理由如2如图1,VMQ丄MP,MN丄BC:
.ZPMB+ZPMN=90,ZQMN+ZPMN=90
ZPMB=ZQMN:
.ZPBM+ZC=90,ZQNM+ZC=90
.•-ZPBM二ZQNM•••HPBMsHQNM
(2)
TZBAC=90,Z/ABC=60,:
・BC=2AB二価乂V/V//V垂直平分BC,ABM=CM=4x[3
如图1,当0“<
4时,由⑴知△PBMs厶QNM
・・・些=竺,即鉴=*.・・・—1
BPMB<
3r4V3
如图2,r>
4Dt,v=l
综上所述,Q点的速度为lcm/s
②9:
AN=AC-NC=12-3=^
・・・如图1,当0*4时,AP二4^3一屈,AQ=4+t
・•・S二丄APZAQ=丄(4^3-V3r)(4+r)=-—r+8V3
222
4吋,AP二屈一4希,AQ=4+t
S=-APOAQ=-(V3/-4V3)(4+1)=
(3)PQ2=BP2+CQ2
理由如下:
如图1,延长QM至D,使MD二MQ.连接BD、PD
VBC.DQ互相平分,.••四边形BDCQ是平行四边形,:
TZBAU90,・・・ZPBD=90f:
.PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2
TPM垂直平分DQ,:
.PQ二PD,:
.PQ2=BP2+CQ2
.3.(2011湖南郴州市,25,20分)如图,在RtAABC中,ZA=30°
BC=10cm,点Q在线段BC上从B运动到C,点P在线段BA上从B向A运动.Q、P两点同时出发,运动速度相同,当点Q到达点C时,两点都停止运动.作PM丄PQ交CA于点M,过点P分别作BC、CA的垂线,垂足分別为E、F.
(1)求证:
△PQEs/\pmF;
(2)当点P、Q运动时,请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系?
并证明你的猜想;
(3)设BP=x,APEM的面积为y,求y关于x的函数关系式,当x为何值时,y有最人值,并将这个值求出來.
【解】证明:
(1)因为PE丄BC,PF丄AC,ZC二90°
⑵相等
因为PB二BQ,ZB=60°
所以ZPEQ二ZPEM二90°
ZEPF=90°
.
即ZEPQ+ZQPF二90°
乂ZEPM+ZQPF=90°
所以ZEPQ=ZEPM=90°
所以△pqes/\pmf;
所以ABPCl是等边三角形
所以ZBQP=60°
因为△PQE^APMF
所以ZPMF二ZBQP二60°
乂ZA+ZAPM二ZPMF,
所以ZA二ZAPM二30°
所以PM=MAo
(3)AB==-^=20
sin30°
1
BP=x,则AP=20-x,PE=xcos30°
=—兀
PF=(20-x)丄=:
空二
SCPEM=-PEPF
所以y=_L.匣x•凹二=亜(20_F)
2228
=-—(x-IO)2+—V3(0<
x<
10)
82
所以当归。
时,函数的最大值为邦.
4.己知:
如图15,四边形ABCD是等腰梯形,其AD//BC,AD=2fBC=4,AB二CD二真.点
M从点B开始,以每秒2个单位长的速度向点C运动;
点/V从点D开始,以每秒1个单位长的速度向点人运动,若点M,/V同时开始运动,点M与点C不重合,运动时间为"
r>
0)・过点N作/VP垂肓于BC,交BC于点P,交AC于点Q,连结MQ.
(1)用含t的代数式表示QP的长;
(2)设△CMQ的面积为S,求iWS^jt的函数关系式;
(3)求出t为何值时,△CMQ为等腰三角形.
(说明:
问题(3)是额外加分题,加分幅度为1-4分)
得AF=2.
•:
ND=t,:
.PC=l+t.
・PQ_PC_
99~ae~~ec'
即丝=111..
233
(2)J点M以每秒2个单位长运动,・・・BM=2r,CM=4—2t・
・・・Ssq=+cM・PQ斗(4_2f)—討+刁+吕.
223333
(12分)
2+2/13
②若CQ=CM,・.・CQ2=CP2+PQ2=(l+f)2+(―)2=—(1+r)2,
39
713713
•*.CQ=(1+/)•VC/V7=4—•••(1+/)=4—2匚
33
兰〜空卄㊈=(4_2沪,即专』一生°
999999
5.(2011云南省昆明市,25,12分)如图,在RtAABC中,ZC=90°
AB=10cm,AC:
BC=4:
3.点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为lcm/s,同时点Q从点B出发沿BTCTA方向向点A运动,速度为2cm/s.当一个动点到达终点吋.另一个动点也随Z停止运动.
⑴求AC、BC的长;
(2)设点P的运动时间为x(秒),APBQ的面积为y(cm)\当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式.并写出自变量x的取值范围;
(3)当点Q在CA上运动.使PQ丄AB时,以点B、P、Q为顶点的三角形与AABC是否相似,请说明理由;
第25题图
⑷当x=5秒时.在直线PQ上是否存在一点M.使△BCM的周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在.请说明理由.
【答案】解:
(1)设AC=4x,BC=3x
在RtZX&
BC中,AC2+BC2=AB2BP:
(4x)2+(3x)2=102解得:
x=2.\AC=8cm,BC=6cm
(2)①当点Q在边BC上运动,过点Q作QH丄A3于H,
9:
AP=x:
.BP=10-x,BQ=2x
•・•△QBHs△ABC:
.逖=坐・•・QH=-x
ACAB5
1|Q
:
.y=-BPQH=-(10-x)・—x
225
4?
/.y=——x+8x(0<
3)
②当点Q在边CA上运动时,过点Q作QH‘丄加于H'
TAP二x,.\BP=10-x,/AQ=14-2x
•・•△AQH'
s/\abc
.QHf_AQ
42-6x
1"
c1、42-6x
y=2BPQH=2(10-x)•—
,•尸|汪牛+42(3<
G
(3)不和似,理山是:
若相似,则对应ZQBP=ZA
•••△mq是等腰三角形,
则P在AB中点上,此时x=AP=BP=S
由⑵中②可知qp=427—
5)
,,JAC^~PB
・・・以点B、P、Q为顶点的三角形不相似
第25题图3
⑷存在
当x=5时,点P在AB边的中点上,
AP=BP=5cm,
・••由
(2)知AQ=4,点Q在AC边的中点上,PQ为RtAABC中位线,
・・・PQ丄AC,AQ=QC,
・•・点A与点C关于直线PQ对称,并且AP=PC=5cm.
则P点就是我们要找的M点
AABCM最小周长为BC+CP+PB=6+5+5=16cm
第25题图4
6.(2011r西梧州,26,12分)如图,在直角梯形ABCDAD//BC,ZB=90。
,>4D=6cm,4B=8cm,BC=14cm.动点、P、Q都从点C出发,点P沿CTB方向做匀速运动,点Q沿CTDTA方向做匀速运动,当P、Q其中一点到达终点时,另一点也随Z停止运动.
(1)求CD的长;
(2)若点P以lcm/s速度运动,点Q以2血cm/s的速度运动,连接BQ、PQ,设ZXBQP面积为S(cm2),点、P、Q运动的时间为t(s),求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)若点P的速度仍是lcm/s,点Q的速度为acm/s,要使在运动过程中出现PQ//DC,请你直接写出a的取值范围.
7.(2011新疆宁夏,26,10分)在等腰AABC中,AB=AC=5ZBC=6Z动点M、N分别在两腰AB、AC±
(171不与人、B重合,N不与人、C重合),且MN//BC,将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P。
⑴当MN为何值时,点P恰好落在BC上?
⑵设MN=xzAMNP与等腰AABC重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式,当x为何值时,y的值最大,授大值是多少?
【答案】⑴点P恰好在BC上时,由对称性知MN是AABC的中位线,
・••当MN=-BC=3时,点P在BC上。
H
⑵由已知得:
AABC底边上的高h=a/52-33=4
I)
①当0<
3时,如图,连接AP并延长交BC于点D,AD与MN交于点6
Aamn<
^Aabc得,AO=-x
y=s、p^=s=^xxx^x=^x'
f即y=^x2f当X=3吋,y的值最大,最大值是3.
②当3<
6时,设ZXPMN与BC相交于点E、F,AP与BC相交于D,
24
由①中知'
"
P丁
・・・PD=AP・AD=《i4,
•.*APEF^AABC
s
°
AABC
PD
-X-4
4
S^PEF
x-3
y-Saamn-Saapef=t/冷(x-
当x=4吋,y的值最大,最大值是4.