几何中函数关系式的求法docx文档格式.docx
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则PM//QC.
・•・AP二AM.
•*.10-t二2t,解得t——.
3
・・・当t二一吋，四边形PQCM是平行四边形.
（2）过P作PE丄AC,交AC于E.
JPQ//AC,
.•.△pbqs/\abc,
•••△PBQ是等腰三角形，PQ=PB=t.
4•\FD=BD-BF=8--t.
5
又VMC=AC-AM=10-2t,
1i（4\2
・・・y=-（P0+MC）EFD=-（f+lO-2/）8一一t=-r2-8r+40.
22i5丿5
2
答;
y与tZ间的函数关系式是y=-r-8r+40.
（3）Saabc二丄ACHBD=-xI0x8=40.
22
aq45945
当y=—S^c=—x40=—时，-r2-8/+40=—,4r2-80/+175=0.1616252
535
解得石=—,=—（舍去）•
2_2
答：
t=—I甘,S四边形P0CM=Saabc.
216
（4）假设存在某一时刻t,使点M在线段PC的垂直平分线上，则MP二MC.过M作MH丄AB,交AB于H,由厶AHM^AADB.
A—=^=^/Xad=V102-82=6
BD
AD
AB
HM
AH
2t
8'
~6'
10
即吩10十*10号.
MP2
（8V
<
iniiY
-t
+
101
（5）
5丿
37
±
Lz2-44r+100,
在RtAHMP中,
乂・・・MC2=（10-2/）2=100-40/+4尸,
由MP2=MC2z
・・・rlf2_44（+]00=]00_40『+存,5
解得：
/厂
2（）
旨2"
（舍去）.
当t=—s时，点M在线段PC的垂直平分线上.
17
【方法规律】本题涉及到的知识点较多，综合性很强•解决这类问题时，要善于抓住每个知识点最基木的性质寻找突破口，使问题得以解决.
【易错点分析】
（3）没冇考虑t的取值范围；
（4）没冇假设“点M在线段PC的垂直平分线上”而得到MP=MC,从而在此基础上求解.
【关键词】动点，动线，等边三角形，平行四边形，一元二次方程，二次函数，垂直平分线，勾股定理【推荐指数】★★★☆☆【题型】压轴题
2（2011江苏扬州，28,12分）如图,在RtAABC中，ZBAC=90°
AB<
AC,M是BC边的中点,MN丄BC交AC于点N,动点P从点B出发沿射线BA以每秒徭厘米的速度运动。
同时，动点
Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ丄MP。
设运动时间为t秒（t>
0）
（1）APBIVI与△QNM相似吗？
以图1为例说明理由；
（2）若ZABC=60°
AB二4巧厘米。
1求动点Q的运动速度；
2设RtAAPQ的面积为S（平方炬米），求S与t的函数关系式；
（3）探求BP?
、PQ〈CQ2三者之间的数量关系，以图［为例说明理由。
（1）在这两个三角形中易证"
MB=ZQMN,ZPBM=ZQNM,所以两个三角形相似。
（2）注意点P的位置，nJ以在线段BA上，或者在BA的延长线上，分情况讨论，①根据相似三角形的性质求岀NQ的值，即可求岀点Q的运动速度。
②用含t的代数式分别表示出來AP及AQ,利用直角三角形的面积公式即可求求S与t的函数关系式。
（3）延长QM至D,使MD=MQ旌接BD、PD,把BP、PQ、CQ的数量关系转化到一个三角形中。
解：
⑴△PB/V/s/Xq/vm
理由如2如图1,VMQ丄MP,MN丄BC:
.ZPMB+ZPMN=90,ZQMN+ZPMN=90
ZPMB=ZQMN:
.ZPBM+ZC=90,ZQNM+ZC=90
.•-ZPBM二ZQNM•••HPBMsHQNM
（2）
TZBAC=90,Z/ABC=60,:
・BC=2AB二価乂V/V//V垂直平分BC,ABM=CM=4x[3
如图1,当0“<
4时，由⑴知△PBMs厶QNM
・・・些=竺，即鉴=*.・・・—1
BPMB<
3r4V3
如图2,r>
4Dt,v=l
综上所述，Q点的速度为lcm/s
②9：
AN=AC-NC=12-3=^
・・・如图1,当0*4时,AP二4^3一屈,AQ=4+t
・•・S二丄APZAQ=丄（4^3-V3r）（4+r）=-—r+8V3
222
4吋,AP二屈一4希，AQ=4+t
S=-APOAQ=-（V3/-4V3）（4+1）=
（3）PQ2=BP2+CQ2
理由如下：
如图1,延长QM至D,使MD二MQ.连接BD、PD
VBC.DQ互相平分，.••四边形BDCQ是平行四边形，:
TZBAU90,・・・ZPBD=90f:
.PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2
TPM垂直平分DQ,:
.PQ二PD,:
.PQ2=BP2+CQ2
.3.（2011湖南郴州市,25,20分）如图,在RtAABC中,ZA=30°
BC=10cm,点Q在线段BC上从B运动到C,点P在线段BA上从B向A运动.Q、P两点同时出发，运动速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动.作PM丄PQ交CA于点M,过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分別为E、F.
（1）求证：
△PQEs/\pmF；
（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？
并证明你的猜想；
（3）设BP=x,APEM的面积为y,求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最人值，并将这个值求出來.
【解】证明：
（1）因为PE丄BC,PF丄AC,ZC二90°
⑵相等
因为PB二BQ,ZB=60°
所以ZPEQ二ZPEM二90°
ZEPF=90°
.
即ZEPQ+ZQPF二90°
乂ZEPM+ZQPF=90°
所以ZEPQ=ZEPM=90°
所以△pqes/\pmf；
所以ABPCl是等边三角形
所以ZBQP=60°
因为△PQE^APMF
所以ZPMF二ZBQP二60°
乂ZA+ZAPM二ZPMF,
所以ZA二ZAPM二30°
所以PM=MAo
（3）AB==-^=20
sin30°
1
BP=x,则AP=20-x,PE=xcos30°
=—兀
PF=（20-x）丄=:
空二
SCPEM=-PEPF
所以y=_L.匣x•凹二=亜（20_F）
2228
=-—（x-IO）2+—V3（0<
x<
10）
82
所以当归。
时,函数的最大值为邦.
4.己知：
如图15,四边形ABCD是等腰梯形，其AD//BC,AD=2fBC=4,AB二CD二真.点
M从点B开始,以每秒2个单位长的速度向点C运动；
点/V从点D开始，以每秒1个单位长的速度向点人运动，若点M,/V同时开始运动，点M与点C不重合，运动时间为"
r>
0）・过点N作/VP垂肓于BC,交BC于点P,交AC于点Q,连结MQ.
（1）用含t的代数式表示QP的长；
（2）设△CMQ的面积为S,求iWS^jt的函数关系式;
（3）求出t为何值时，△CMQ为等腰三角形.
（说明：
问题（3）是额外加分题，加分幅度为1-4分）
得AF=2.
•:
ND=t,:
.PC=l+t.
・PQ_PC_
99~ae~~ec'
即丝=111..
233
（2）J点M以每秒2个单位长运动，・・・BM=2r,CM=4—2t・
・・・Ssq=+cM・PQ斗（4_2f）—討+刁+吕.
223333
（12分）
2+2/13
②若CQ=CM,・.・CQ2=CP2+PQ2=（l+f）2+（―）2=—（1+r）2,
39
713713
•*.CQ=（1+/）•VC/V7=4—•••（1+/）=4—2匚
33
兰〜空卄㊈=（4_2沪，即专』一生°
999999
5.（2011云南省昆明市,25,12分）如图，在RtAABC中,ZC=90°
AB=10cm,AC:
BC=4:
3.点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为lcm/s,同时点Q从点B出发沿BTCTA方向向点A运动，速度为2cm/s.当一个动点到达终点吋.另一个动点也随Z停止运动.
⑴求AC、BC的长;
（2）设点P的运动时间为x（秒），APBQ的面积为y（cm）\当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式.并写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在CA上运动.使PQ丄AB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与AABC是否相似,请说明理由；
第25题图
⑷当x=5秒时.在直线PQ上是否存在一点M.使△BCM的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在.请说明理由.
【答案】解：
（1）设AC=4x,BC=3x
在RtZX&
BC中，AC2+BC2=AB2BP：
（4x）2+（3x）2=102解得：
x=2.\AC=8cm,BC=6cm
（2）①当点Q在边BC上运动，过点Q作QH丄A3于H,
9：
AP=x:
.BP=10-x,BQ=2x
•・•△QBHs△ABC：
.逖=坐・•・QH=-x
ACAB5
1|Q
:
.y=-BPQH=-（10-x）・—x
225
4?
/.y=——x+8x（0<
3）
②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH‘丄加于H'
TAP二x,.\BP=10-x,/AQ=14-2x
•・•△AQH'
s/\abc
.QHf_AQ
42-6x
1"
c1、42-6x
y=2BPQH=2（10-x）•—
，•尸|汪牛+42（3<
G
（3）不和似，理山是：
若相似，则对应ZQBP=ZA
•••△mq是等腰三角形，
则P在AB中点上，此时x=AP=BP=S
由⑵中②可知qp=427—
5）
，，JAC^~PB
・・・以点B、P、Q为顶点的三角形不相似
第25题图3
⑷存在
当x=5时，点P在AB边的中点上，
AP=BP=5cm,
・••由
（2）知AQ=4,点Q在AC边的中点上,PQ为RtAABC中位线,
・・・PQ丄AC,AQ=QC,
・•・点A与点C关于直线PQ对称,并且AP=PC=5cm.
则P点就是我们要找的M点
AABCM最小周长为BC+CP+PB=6+5+5=16cm
第25题图4
6.（2011r西梧州，26,12分）如图，在直角梯形ABCDAD//BC,ZB=90。
，＞4D=6cm,4B=8cm,BC=14cm.动点、P、Q都从点C出发，点P沿CTB方向做匀速运动，点Q沿CTDTA方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随Z停止运动.
（1）求CD的长；
（2）若点P以lcm/s速度运动，点Q以2血cm/s的速度运动，连接BQ、PQ,设ZXBQP面积为S（cm2），点、P、Q运动的时间为t（s）,求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）若点P的速度仍是lcm/s,点Q的速度为acm/s,要使在运动过程中出现PQ//DC,请你直接写出a的取值范围.
7.（2011新疆宁夏，26,10分）在等腰AABC中，AB=AC=5ZBC=6Z动点M、N分别在两腰AB、AC±
（171不与人、B重合，N不与人、C重合），且MN//BC,将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P。
⑴当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
⑵设MN=xzAMNP与等腰AABC重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，授大值是多少？
【答案】⑴点P恰好在BC上时,由对称性知MN是AABC的中位线,
・••当MN=-BC=3时，点P在BC上。
H
⑵由已知得：
AABC底边上的高h=a/52-33=4
I）
①当0<
3时，如图，连接AP并延长交BC于点D，AD与MN交于点6
Aamn<
^Aabc得，AO=-x
y=s、p^=s=^xxx^x=^x'
f即y=^x2f当X=3吋，y的值最大，最大值是3.
②当3<
6时，设ZXPMN与BC相交于点E、F,AP与BC相交于D,
24
由①中知'
"
P丁
・・・PD=AP・AD=《i4,
•.*APEF^AABC
s
°
AABC
PD
-X-4
4
S^PEF
x-3
y-Saamn-Saapef=t/冷（x-
当x=4吋，y的值最大，最大值是4.
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