函数模型及其应用 单元测试训练Word文档格式.docx

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100，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（　　）

A．55B．65C．75D．80

3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图292甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．

图292

给出以下3个论断：

①0点到3点只进水不出水；

②3点到4点不进水只出水；

③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是（　　）

A．①B．①②C．①③D．①②③

4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为（　　）

A．85元B．90元C．95元D．100元

5．将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin甲桶中的水只有

L，则m的值为（　　）

A．5　　　　B．8C．9　　　　D．10

二、填空题

6．在如图293所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为________m.

图293

7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1，若初时含杂质2，每过滤一次可使杂质含量减少

，至少应过滤________次才能达到市场要求．（已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）

8．某食品的保鲜时间y（单位：

小时）与储藏温度x（单位：

℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．

三、解答题

9．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：

万元）满足P＝80＋4

，Q＝

a＋120，设甲大棚的投入为x（单位：

万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：

万元）．

（1）求f（50）的值；

（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？

10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；

若每团人数多于30人，则给予优惠：

每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．

（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；

（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

B组　能力提升

15分钟）

1．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站（　　）

A．5km处B．4km处C．3km处D．2km处

2．某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x小时后，病毒个数y与时间x（小时）的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个．

3．已知某物体的温度θ（单位：

℃）随时间t（单位：

min）的变化规律是θ＝m·

2t＋

21－t（t≥0且m>

0）．

（1）如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5℃；

（2）若物体的温度总不低于2℃，求m的取值范围．

函数模型及其应用单元测试训练答案

D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；

根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；

将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．]

2.某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×

B　[当购买标价为2700元的商品时，

产品的八折后价格为：

2700×

0.8＝2160，

故实际付款：

2160－400＝1760，

故购买某商品的实际折扣率为：

100≈65，故选B.]

3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图292甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．

A　[由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的

，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]

6．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为（　　）

C　[设每个售价定为x元，则利润y＝（x－80）·

[400－（x－90）·

20]＝－20[（x－95）2－225]，

∴当x＝95时，y最大．]　

7．将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin甲桶中的水只有

A　[∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，

∴函数y＝f（t）＝aent满足f（5）＝ae5n＝

a，

可得n＝

ln

，∴f（t）＝a·

，

因此，当kmin后甲桶中的水只有

L时，

f（k）＝a·

＝

a，即

∴k＝10，

由题可知m＝k－5＝5，故选A．]

二、填空题

20　[设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得

，解得y＝40－x，所以面积S＝x（40－x）＝－x2＋40x＝－（x－20）2＋400（0＜x＜40），当x＝20时，Smax＝400.]

7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1，若初时含杂质2，每过滤一次可使杂质含量减少

8　[设过滤n次才能达到市场要求，

则2

n≤0.1，即

n≤

所以nlg

≤－1－lg2，所以n≥7.39，所以n＝8.]

8．某食品的保鲜时间y（单位：

24　[由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192（e11k）2，∴e11k＝

.设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192（e11k）3＝192×

3＝24.]

三、解答题

[解]　

（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，1分

∴f（50）＝80＋4

＋

150＋120＝277.5万元.3分

（2）f（x）＝80＋4

（200－x）＋120＝－

x＋4

＋250，4分

依题意得

⇒20≤x≤180，6分

故f（x）＝－

＋250（20≤x≤180）.7分

令t＝

∈[2

，6

]，则f（x）＝－

t2＋4

t＋250＝－

（t－8

）2＋282，

9分

当t＝8

，即x＝128时，f（x）max＝282万元.11分

所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.12分

[解]　

（1）设旅行团人数为x，由题得0<

x≤75（x∈N*），

2分

飞机票价格为y元，

则y＝

即y＝

5分

（2）设旅行社获利S元，

则S＝

即S＝

8分

因为S＝900x－15000在区间（0,30]上为单调增函数，

故当x＝30时，S取最大值12000元，

又S＝－10（x－60）2＋21000在区间（30,75]上，

当x＝60时，取得最大值21000.

故当x＝60时，旅行社可获得最大利润.12分

A　[设仓库与车站距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，于是y1＝

，y2＝k2x，

∴

，解得k1＝20，k2＝

.

设总费用为y，则y＝

x≥2

＝8.

当且仅当

，即x＝5时取等号，故选A．]

y＝4x　1024　[设原有1个病毒，

经过1个30分钟有2＝21个病毒；

经过2个30分钟有2×

2＝4＝22个病毒；

经过3个30分钟有4×

2＝8＝23个病毒；

……

经过

个30分钟有22x＝4x个病毒，

∴病毒个数y与时间x（小时）的函数关系式为y＝4x，

∴经过5小时，1个病毒能分裂成45＝1024个．]

[解]　

（1）若m＝2，则θ＝2·

2t＋21－t＝2

当θ＝5时，2t＋

，2分

令2t＝x（x≥1），则x＋

即2x2－5x＋2＝0，

解得x＝2或x＝

（舍去），

∴2t＝2，即t＝1，

∴经过1min，物体的温度为5℃.5分

（2）物体的温度总不低于2℃，即θ≥2恒成立，

即m·

≥2恒成立，

亦即m≥2

恒成立.7分

令

＝x，则0<

x≤1，

∴m≥2（x－x2）.10分

∵x－x2＝－

2＋

≤

，∴m≥

因此，当物体的温度总不低于2℃时，m的取值范围是

.12分