典型题高考数学二轮复习知识点总结空间中的平行与垂直文档格式.docx

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B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

答案　

（1）D　

（2）D

解析　

（1）A中，m与n可垂直、可异面、可平行；

B中m与n可平行、可异面；

C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；

故D正确．

（2）若α∩β＝

l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.

若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.

若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.

考点二　线线、线面的位置关系

例2　

如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°

，∠BAC＝

∠CAD＝60°

，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB.

（1）若F为PC的中点，求证：

PC⊥平面AEF；

（2）求证：

EC∥平面PAB.

证明　

（1）由题意得PA＝CA，∵F为PC的中点，

∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，

∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点，

∴EF∥CD，∴EF⊥PC.

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF.

（2）方法一　

如图，取AD的中点M，

连接EM，CM.

则EM∥PA.

∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴EM∥平面PAB.

在Rt△A

CD中，∠CAD＝60°

，MC＝AM，

∴∠ACM＝60°

.而∠BAC＝60°

，∴MC∥AB.

∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB.

∵EC⊂平面EMC，

∴EC∥平面PAB.

方法二　

如图，延长DC、AB，设它们交于点N，连接PN.

∵∠NAC＝∠DAC＝60°

，

AC⊥CD，∴C为ND的中点．

∵E为PD的中点，∴EC∥PN.

∵EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，

（1）立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线．要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得．

（2）证明立体几何问题，要紧密结合图

形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用．

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，D

为AC的中点．

（1）求证：

B1C∥平面A1BD；

（2）若AC1⊥平面A1BD，求证：

B1C1⊥平面ABB1A1；

（3）在

（2）的条件下，设AB＝1，求三棱锥B－A1C1D的体积．

（1）证明　

如图所示，连接AB1交A1B于E，连接ED.

∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，且AB＝BB1，

∴侧面ABB1A1是正方形，

∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点，

∴在△AB1C中，ED是中位线，

∴B1C∥ED，∴B1C∥平面A1BD.

（2）证明　∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B.

∵侧面ABB1A1是正方形，∴A1B⊥AB1.

又AC1∩AB1＝A，

∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.

又∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，

∴BB1⊥B1C1，

∴B1C1⊥平面ABB1A1.

（3）解　∵AB＝BC，D为AC的中点，

∴BD⊥AC，∴BD⊥平面DC1A1.

∴BD是三棱锥B－A1C1D的高．

由

（2）知B1C1⊥平面ABB1A1，

∴BC⊥平面ABB1A1.

∴BC⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．

又∵AB＝BC＝1，∴BD＝

∴AC＝A1C1＝

.

∴三棱锥B－A1C1D的体积V＝

·

BD·

S△A1C1D＝

×

A1C1·

AA1＝

1＝

考点三　面面的位置关系

例3　如图，

在几何体ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥

平面ABD.M为线段BD的中点，MC∥AE，AE＝MC＝

平面BCD⊥平面CDE；

（2）若N为线段DE的中点，求证：

平面AMN∥平面BEC.

证明　

（1）∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M为线段BD的中点，

∴AM＝

BD＝

，AM⊥BD.

∵AE＝MC＝

∴AE＝MC＝

，∴BC⊥CD.

∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，

∴MC⊥平面ABD.

∴平面ABD⊥平面CBD，

∴AM⊥平面CBD.

又MC綊AE，

∴四边形AMCE为平行四边形，

∴EC∥AM，

∴EC⊥平面CBD，∴BC⊥EC，

∵EC∩CD＝C，∴BC⊥平面CDE，

∴平面BCD⊥平面CDE.

（2）∵M为BD中点，N为ED中点，

∴MN∥BE且BE∩EC＝E，

由

（1）知EC∥AM且AM∩MN＝M，

∴平面AMN∥平面BEC.

（1）证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．

（2）证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决．

如图所示，

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

求证：

（1）AF∥平面BCE；

（2）平面BCE⊥平面CDE.

证明　

（1）如图，取CE的中点G，连接FG，BG.

∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝

DE.

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB.

又AB＝

DE，∴GF＝AB.

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.

∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE.

（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，

∴AF⊥CD.

∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.

又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.

∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

考点四　图形的折叠问题

例4　（2012·

北京）如图

（1），在Rt△ABC中，∠C＝90

°

，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图

（2）．

DE∥平面A1CB；

A1F⊥BE；

（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？

说明理由．

折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第

（1）问证明线面平行，可以证明DE∥BC；

第

（2）问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；

第（3）问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ.

（1）证明　因为D，E分别为AC，AB的中点，

所以DE∥BC.

又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，

所以DE∥平面A1CB.

（2）证明　由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

所以DE⊥AC.

所以DE⊥A1D，DE⊥CD.

所以DE⊥平面A1DC.

而A1F⊂平面A1DC，

所以DE⊥A1F.

又因为A1F⊥CD，

所以A1F⊥平面BCDE，

所以A1F⊥BE.

（3）解　线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：

如图，

分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.

又因为DE∥BC，

所以DE∥PQ.

所以平面DEQ即为平面DEP.

由

（2）知，DE⊥平面A1DC，

所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，

所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.

从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.

（1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．

（2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．

（2013·

广东）如图

（1），在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图

（2）所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝

（1）证明：

DE∥平面BCF；

（2）证明：

CF⊥平面ABF；

（3）当AD＝

时，求三棱锥F－DEG的体积VF－DEG.

（1）证明　在等边△ABC中，AD＝AE，∴

＝

在折叠后的三棱锥A－BCF中也成立．∴DE∥BC，

又DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.

（2）证明　在等边△ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥CF.

∵在三棱锥A－BCF中，BC＝

∴BC2＝BF2＋CF2＝

＋

，∴CF⊥BF.

又BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.

（3）解　VF－DEG＝VE－DFG＝

DG×

FG×

GE＝

1．证明线线平行的常用方法

（1）利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；

（2）利用平行四边形进行转换；

（3）利用三角形中位线定理证明；

（4）利用线面平行、面面平行的性质定理证明．

2．证明线面平行的常用方法

（1）利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；

（2）利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行．

3．证明面面平行的方法

证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行．

4．证明线线垂直的常用方法

（1）利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；

（2）利用勾股定理逆定理；

（3）利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．

5．证明线面垂直的常用方法

（1）利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；

（2）利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；

（3）利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．

6．证明面面垂直的方法

证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决．

1．

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点

E，F，且EF＝

，则下列结论中错误的是（　　）

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A－BEF的体积为定值

D．△AEF的距离与△BEF的面积相等

答案　D

解析　∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，

∴AC⊥BE，故A正确．

∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在线段B1D1上运动，

故EF∥平面ABCD.故B正确．

C中由于点B到直线EF的距离是定值，故△BEF的面积为定值，

又点A到平面BEF的距离为定值，故VA－BEF不变．故C正确．

由于点A到B1D1的距离与点B到B1D1的距离不相等，因此△AEF与△BEF的面积不相等，故D错误．

2．

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中

点．

平面ADC1B1⊥平面A1BE；

（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？

证明你

的结论．

（1）证明　如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，

所以B1C1⊥面ABB1A1.

因为A1B⊂面ABB1A1，

所以B1C1⊥A1B.

又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，

所以A1B⊥面ADC1B1.

因为A1B⊂面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.

（2）解　当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE.

证明如下：

易知：

EF∥C1D，且EF＝

C1D.

设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝

C1D，

所以EF∥B1O且EF＝B1O，

所以四边形B1OEF为平行四边形．

所以B1F∥OE.

又因为B1F⊄面A1BE，OE⊂面A1BE.

所以B1F∥面

A1BE.

（推荐时间：

60分钟）

一、选择题

1．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确的是（　　）

A．若α⊥β，l⊥β，则l∥α

B．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α

C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β

D．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β

答案　C

解析　当α⊥β，l⊥β时，l可以在α内，∴选项A不正确；

如果α过l上两点A，B的中点，则A，B到α的距离相等，

∴选项B不正确；

当α⊥β，α⊥γ时，可以有β∥γ，∴选项D不正确，∴正确选项为C.

2．已知直线m，n和平面α，则m∥n的必要不充分条件是（　　）

A．m∥α且n∥αB．m⊥α且n⊥α

C．m∥α且n⊂αD．m，n与α成等角

解析　m∥n不能推出m∥α且n∥α，m∥α，n∥α时，m，n可能相交或异面，为即不充分也不必要条件，A不正确；

m⊥α，n⊥α时，m∥n，为充分条件，但m∥n不能推出m⊥α，n⊥α，故B不正确；

m∥n不能推出m∥α且n⊂α，m∥α，且n⊂α时，m和n可能异面，为即不充分也不必要条件，故C不正确；

m∥n时，m，n与α成等角，必要性成立，但充分性不成立，故选D.

3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°

，∠BAD＝90°

，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面ABCB．平面A

DC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC

解析　∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°

，∴BD⊥CD，

又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，

所以CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，

又AD⊥AB，AD∩CD

＝D，所以AB⊥平面ADC，

又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故选D

4．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；

②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；

④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.

正确的命题是（　　）

A．①③B．②③C．①④D．②④

解析　②平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线．故②③错，选C.

5．

一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，

使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为（　　）

A.

B.

C.

D.

解析　

如图，在面VAC内过点P作AC的平行线PD交VC于点D，在

面VAB内作VB的平行线交AB于点F，过点D作VB的平行线交BC于

点E.连接EF，易知PF∥DE，故P，D，E，F共面，且面PDEF与VB

和AC都平行，易知四边形PDEF是边长为

的正方形，故其面积为

，故选C.

6．

在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，

若侧棱SA＝2

，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是（　　）

A．12πB．32π

C．36πD．48π

解析　由MN⊥AM且MN是△BSC的中位线得BS⊥AM，

又由正三棱锥的性质得BS⊥AC，所

以BS⊥面ASC.

即正三棱锥S－ABC的三侧棱SA、SB、SC两两垂直，外接球直径为

SA＝6.

∴球的表面积S＝4πR2＝4π×

32＝36π.选C.

二、填空题

7．设x，y，z是空间中

的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________（填出所有正确条件的代号）．

①x为直线，y，z为平面；

②x，y，z为平面；

③x，y为直线，z为平面；

④x，y为平面，z为直线；

⑤x，y，z为直线．

答案　③④

解析　因为垂直于同一个平面的两条直线平行，所以③正确；

因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以④正确；

若直线x⊥平面z，平面y⊥平面z，则可能有直线x在平面y内的情况，所以①不正确；

若平面x⊥平面z，平面y⊥平面z，则平面x与平面y可能相交，所以②不正确；

若直线x⊥直线z，直线y⊥直线z，则直线x与直线y可能相交、异面、平行，所以⑤不正确．

8．

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC

为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F

在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

答案　a或2a

解析　由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.

要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．

令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x.

易知Rt△CAF∽Rt△FA1D，

得

，即

整理得x2－3ax＋2a2＝0，

解得x＝a或x＝2a.

9．

如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂

直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：

①PA∥平面MOB；

②MO∥平面PAC；

③OC⊥平面PAC；

④平面PAC⊥平面PBC.

其中正确的命题是________（填上所有正确命题的序号）．

答案　②④

解析　①错误，PA⊂平面MOB；

②正确；

③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；

④正确，因为BC⊥平面PAC.

三、解答题

10．（2013·

重庆）

如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2

BC＝CD＝2

，∠ACB＝∠ACD＝

BD⊥平面PAC；

（2）若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．

（1）证明　因为BC＝CD，所以△BCD为等腰三角形，

又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.

因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.

从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，

所以BD⊥平面PAC.

（2）解　三棱锥P－BCD的底面BCD的面积

S△BCD＝

BC·

CD·

sin∠BCD＝

2×

sin

由PA⊥底面ABCD，得

VP－BCD＝

S△BCD·

PA＝

2

＝2.

由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为

PA，

故VF－BCD＝

所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－

11．（2012·

广东）如图所示，

在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，

AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝

AB，

PH为△PAD中AD边上的高．

PH⊥平面ABCD；

（2）若PH＝1，AD＝

，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；

（3）证明：

EF⊥平面P

AB.

（1）证明　因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，

所以PH⊥AB.

因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.

因为PH⊄平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，

所以PH⊥平面ABCD.

（2）解　

如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.

因为E是PB的中点，

所以EG∥PH，

且EG＝

PH＝

因为PH⊥平面ABCD，

所以EG⊥平面ABCD.

因为AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以AB⊥AD，所以底面ABCD为直角梯形，

所以VE－BCF＝

S△BCF·

EG

FC·

AD·

EG＝

（3）证明　取PA中点M，连接MD，ME.

因为E是PB的中点，所以ME綊

又因为DF綊

AB，所以ME綊DF，

所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.

因为PD＝AD