典型题高考数学二轮复习知识点总结空间中的平行与垂直文档格式.docx

1、B存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b答案（1）D（2）D解析（1）A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若，仍然满足mn，m，n，故C错误；故D正确（2）若l，al，a，a，则a，a，故排除A.若l，a，al，则a，故排除B.若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C.故选D.考点二线线、线面的位置关系例2如图，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB.（1）若F为PC的中点，求证：PC平面AEF；（2）求证：EC平面PAB.证明（1）

2、由题意得PACA，F为PC的中点，AFPC.PA平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC，CDPC.E为PD的中点，F为PC的中点，EFCD，EFPC.AFEFF，PC平面AEF.（2）方法一如图，取AD的中点M，连接EM，CM.则EMPA.EM平面PAB，PA平面PAB，EM平面PAB.在RtACD中，CAD60，MCAM，ACM60.而BAC60，MCAB.MC平面PAB，AB平面PAB，MC平面PAB.EMMCM，平面EMC平面PAB.EC平面EMC，EC平面PAB.方法二如图，延长DC、AB，设它们交于点N，连接PN.NACDAC60，ACCD，C为ND的中点E为P

3、D的中点，ECPN.EC平面PAB，PN平面PAB，（1）立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得（2）证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，D为AC的中点（1）求证：B1C平面A1BD；（2）若AC1平面A1BD，求证：B1C1平面ABB1A1；（3）在（2）的条件下，设AB1，求三棱锥BA1C1D的体积（1）证明如图所示，连接AB1交A1B于E，连接ED.ABCA1B1C1

4、是直三棱柱，且ABBB1，侧面ABB1A1是正方形，E是AB1的中点，又已知D为AC的中点，在AB1C中，ED是中位线，B1CED，B1C平面A1BD.（2）证明AC1平面A1BD，AC1A1B.侧面ABB1A1是正方形，A1BAB1.又AC1AB1A，A1B平面AB1C1，A1BB1C1.又ABCA1B1C1是直三棱柱，BB1B1C1，B1C1平面ABB1A1.（3）解ABBC，D为AC的中点，BDAC，BD平面DC1A1.BD是三棱锥BA1C1D的高由（2）知B1C1平面ABB1A1，BC平面ABB1A1.BCAB，ABC是等腰直角三角形又ABBC1，BDACA1C1.三棱锥BA1C1D的

5、体积VBDSA1C1DA1C1AA11考点三面面的位置关系例3如图，在几何体ABCDE中，ABAD2，ABAD，AE平面ABD.M为线段BD的中点，MCAE，AEMC平面BCD平面CDE；（2）若N为线段DE的中点，求证：平面AMN平面BEC.证明（1）ABAD2，ABAD，M为线段BD的中点，AMBD，AMBD.AEMCAEMC，BCCD.AE平面ABD，MCAE，MC平面ABD.平面ABD平面CBD，AM平面CBD.又MC綊AE，四边形AMCE为平行四边形，ECAM，EC平面CBD，BCEC，ECCDC，BC平面CDE，平面BCD平面CDE.（2）M为BD中点，N为ED中点，MNBE且BE

6、ECE，由（1）知ECAM且AMMNM，平面AMN平面BEC.（1）证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行（2）证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：（1）AF平面BCE；（2）平面BCE平面CDE.证明（1）如图，取CE的中点G，连接FG，BG.F为CD

7、的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.（2）ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.考点四图形的折叠问题例4（2012北京）如图（1），在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图（2）DE平面A1CB；A1FBE；

8、（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化第（1）问证明线面平行，可以证明DEBC；第（2）问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F平面BCDE；第（3）问取A1B的中点Q，再证明A1C平面DEQ.（1）证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.（2）证明由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.（3

9、）解线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由（2）知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.（1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口（2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的

10、图形（2013广东）如图（1），在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起，得到如图（2）所示的三棱锥ABCF，其中BC（1）证明：DE平面BCF；（2）证明：CF平面ABF；（3）当AD时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG.（1）证明在等边ABC中，ADAE，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立DEBC，又DE平面BCF，BC平面BCF，DE平面BCF.（2）证明在等边ABC中，F是BC的中点，AFCF.在三棱锥ABCF中，BCBC2BF2CF2，CFBF.又BFAFF，CF平面ABF.（3）解VFDEGVEDF

11、GDGFGGE1 证明线线平行的常用方法（1）利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；（2）利用平行四边形进行转换；（3）利用三角形中位线定理证明；（4）利用线面平行、面面平行的性质定理证明2 证明线面平行的常用方法（1）利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；（2）利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行3 证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行4 证明线线垂直的常用方法（1）利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到

12、线线垂直；（2）利用勾股定理逆定理；（3）利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可5 证明线面垂直的常用方法（1）利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；（2）利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；（3）利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等6 证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决1 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱

13、长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，则下列结论中错误的是 （）AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的距离与BEF的面积相等答案D解析AC平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D，ACBE，故A正确B1D1平面ABCD，又E、F在线段B1D1上运动，故EF平面ABCD.故B正确C中由于点B到直线EF的距离是定值，故BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为定值，故VABEF不变故C正确由于点A到B1D1的距离与点B到B1D1的距离不相等，因此AEF与BEF的面积不相等，故D错误2 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点平面AD

14、C1B1平面A1BE；（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论（1）证明如图，因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以B1C1面ABB1A1.因为A1B面ABB1A1，所以B1C1A1B.又因为A1BAB1，B1C1AB1B1，所以A1B面ADC1B1.因为A1B面A1BE，所以平面ADC1B1平面A1BE.（2）解当点F为C1D1中点时，可使B1F平面A1BE.证明如下：易知：EFC1D，且EFC1D.设AB1A1BO，则B1OC1D且B1OC1D，所以EFB1O且EFB1O，所以四边形B1OEF为平行四边形所以B1FOE.又因为B1F面A1BE，OE面A1B

15、E.所以B1F面A1BE.（推荐时间：60分钟）一、选择题1 已知，是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确的是 （）A若，l，则lB若l上有两个点到的距离相等，则lC若l，l，则D若，则答案C解析当，l时，l可以在内，选项A不正确；如果过l上两点A，B的中点，则A，B到的距离相等，选项B不正确；当，时，可以有，选项D不正确，正确选项为C.2 已知直线m，n和平面，则mn的必要不充分条件是 （）Am且n Bm且nCm且n Dm，n与成等角解析mn不能推出m且n，m，n时，m，n可能相交或异面，为即不充分也不必要条件，A不正确；m，n时，mn，为充分条件，但mn不能推出m，n，故B不正

16、确；mn不能推出m且n，m，且n时，m和n可能异面，为即不充分也不必要条件，故C不正确；mn时，m，n与成等角，必要性成立，但充分性不成立，故选D.3 如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是 （）A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC解析在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，则CDAB，又ADAB，ADCDD，所以A

17、B平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC，故选D4 下列命题中，m、n表示两条不同的直线，、表示三个不同的平面若m，n，则mn；若，则；若m，n，则mn；若，m，则m.正确的命题是 （）A B C D解析平面与可能相交，中m与n可以是相交直线或异面直线故错，选C.5 一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为（）A. B. C. D. 解析如图，在面VAC内过点P作AC的平行线PD交VC于点D，在面VAB内作VB的平行线交AB于点F，过点D作VB的平行线交BC于点E.连接EF，易知PFDE，故P，D，E

18、，F共面，且面PDEF与VB和AC都平行，易知四边形PDEF是边长为的正方形，故其面积为，故选C.6 在正三棱锥SABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MNAM，若侧棱SA2，则正三棱锥SABC外接球的表面积是 （）A12 B32C36 D48解析由MNAM且MN是BSC的中位线得BSAM，又由正三棱锥的性质得BSAC，所以BS面ASC.即正三棱锥SABC的三侧棱SA、SB、SC两两垂直，外接球直径为SA6.球的表面积S4R243236.选C.二、填空题7 设x，y，z是空间中的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若xz，且yz，则xy”为真命题的是_（填出所有正确条件的代号）x为直线，

19、y，z为平面；x，y，z为平面；x，y为直线，z为平面；x，y为平面，z为直线；x，y，z为直线答案 解析因为垂直于同一个平面的两条直线平行，所以正确；因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以正确；若直线x平面z，平面y平面z，则可能有直线x在平面y内的情况，所以不正确；若平面x平面z，平面y平面z，则平面x与平面y可能相交，所以不正确；若直线x直线z，直线y直线z，则直线x与直线y可能相交、异面、平行，所以不正确8 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面

20、B1DF.答案a或2a解析由题意易知，B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可令CFDF，设AFx，则A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.9 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点有以下四个命题：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_（填上所有正确命题的序号）答案解析错误，PA平面MOB；正确；错误，否则，有OCAC，这与BCAC矛盾；正确，因为BC平面PAC.三、解答题10（2013重

21、庆）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2BCCD2，ACBACDBD平面PAC；（2）若侧棱PC上的点F满足PF7FC，求三棱锥PBDF的体积（1）证明因为BCCD，所以BCD为等腰三角形，又ACBACD，故BDAC.因为PA底面ABCD，所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD平面PAC.（2）解三棱锥PBCD的底面BCD的面积SBCDBCCDsinBCD2sin由PA底面ABCD，得VPBCDSBCDPA22.由PF7FC，得三棱锥FBCD的高为PA，故VFBCD所以VPBDFVPBCDVFBCD211（2012广东）如图所示，在四棱锥PAB

22、CD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高PH平面ABCD；（2）若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；（3）证明：EF平面PAB.（1）证明因为AB平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB.因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD.因为PH平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.（2）解如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.因为E是PB的中点，所以EGPH，且EGPH因为PH平面ABCD，所以EG平面ABCD.因为AB平面PAD，AD平面PAD，所以ABAD，所以底面ABCD为直角梯形，所以VEBCFSBCFEGFCADEG（3）证明取PA中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊又因为DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EFMD.因为PDAD