高中数学相似三角形的判定及有关性质章末评估验收 新人教A版选修41Word文件下载.docx
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8=24(cm2).
C
3.如图所示,△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,下列结论不正确的是( )
A.BC=2DEB.△ADE∽△ABC
C.=D.S△ABC=3S
△ADE
根据三角形中位线定义与性质可知,BC=2DE;
因DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,AD∶AB=AE∶AC,即AD∶AE=AB∶AC,S△ABC=4S△ADE,所以选项D错误.故选D.
D
4.如图所示,△ABC的三边互不相等,P是AB边上的一点,连接PC,下列条件中不能使△ACP∽△ABC成立的是( )
A.∠1=∠2B.AP·
BC=AC·
PC
C.∠2=∠ACBD.AC2=AP·
AB
因为∠A公共,所以由相似三角形的判定定理知,C,D项一定能使△ACP∽△ABC成立.若△ACP∽△ABC,
则=,即B成立,
所以加一条件B项能使△ACP∽△ABC成立,而A项则不能.
A
5.如图所示,AB∥GH∥EF∥DC,且BH=HF=FC,若MN=5cm,则BD等于( )
A.15cmB.20cm
C.cmD.不能确定
因为AB∥GH∥EF∥DC,且BH=HF=FC,所以由平行线等分线段定理得DM=MN=NB.
因为MN=5cm,
所以BD=3MN=15(cm).
6.如图所示,已知AD是△ABC的中线,E是AD上的一点,CE的延长线交AB于F,且=,则等于( )
A.B.C.D.
过D作DG∥CF,如图所示,
因为CD=BD,
所以FG=GB.
因为EF∥DG,
所以==.
7.两个三角形相似,其对应高的比为2∶3,其中一个三角形的周长是18cm,则另一个三角形的周长为( )
A.12cmB.27cm
C.12cm或27cmD.以上均不对
设另一个三角形的周长为xcm,由相似三角形的周长之比等于相似比,也等于对应高的比.
所以=或=.
解得x=27cm或x=12cm.
8.如图所示,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=CD.有下列结论:
①∠BAE=30°
,②△ABE∽△AEF,③AE⊥EF,④△ADF∽△
ECF.其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
②③正确,①④不正确.
9.如图所示,在△ABC中,EF∥BC,EF交AB于E,交AC于F,AD⊥BC于D,交EF于M,若BC=36,AD=30,MD=10,则EF的长是( )
A.12B.30C.24D.18
因为EF∥BC,
所以=,所以EF=24.
10.如图所示,在△ABC中,D,E分别在边AB,AC上,CD平分∠ACB,DE∥BC.若AC=6,AE=2,则BC的长为( )
A.10B.12C.14D.8
因为DE∥BC,所以∠1=∠2.
又∠1=∠3,所以∠2=∠3,
所以DE=EC=AC-AE=6-2=4,
因为DE∥BC,所以=,
所以BC===12.
11.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB,垂足为D,
AC
=12,BC=5,则CD的长为( )
A. B. C. D.
AB===13.
因为S△ABC=AC·
BC=AB·
CD.
所以CD===.
12.
如图所示,已知四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件,不能推出△ABP与△ECP相似的是( )
A.∠APB=∠EPC
B.∠APE=90°
C.P是BC的中点
D.BP∶BC=2∶3
因为四边形ABCD是正方形,
所以AB=BC=CD=AD,
∠B=∠C=90°
,
当A成立时,∠APB=∠EPC,
有△ABP∽△ECP.
当∠APE=90°
时,
也可证出∠APB=∠PEC.
所以△ABP∽△ECP也成立.
当BP∶BC=2∶3时,可以推出PC∶BP=1∶2,
而EC∶AB=1∶2,又∠B=∠C=90°
所以△ABP∽△ECP.
当P是BC的中点时,
无法推出△ABP∽△ECP.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的线上)
13.若两个相似三角形的周长之比为3∶4,则这两个三角形的内切圆的面积之比为________.
两相似三角形的相似比等于周长之比3∶4,而其内切圆的面积之比为相似比的平方,故为9∶16.
9∶16
14.如图所示,在▱ABCD中,BC=24,E,F为BD的三等分点,则BM=________,DN=________.
由题意知==,
所以BM=BC=12,==,
所以DN=BM=6
.
12 6
15.如图所示,已知直线l1,l2,l3,且l1∥l2∥l3,直线AC与l1,l2,l3分别交于A,B,C,直线FD与l1,l2,l3分别交于F,E,D,AB∶BC=3∶2,DF=20,则DE=________.
由题意知EF∶DE=AB∶BC=,
所以=.又DF=20,所以DE=8.
8
16.在△ABC中,AB=9,AC=6,点M在AB上且AM=3,点N在AC上,连接MN,使△AMN与△ABC相似,则AN=________.
如图①所示,当MN∥BC时,
△AMN∽△ABC
,可得=,
即=,故AN=2.
如图②所示,
当MN与BC不平行
且∠AMN=∠C时,△AMN∽△ACB.
图① 图②
可得=,即=,
得AN=,故AN=2或.
2或
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°
,M是BC的中点,CD⊥AM交AM于D,
求证:
△AMB∽△BMD.
证明:
因为∠ACM=90°
,CD⊥MA,
所以△CMD∽△AMC.
所以=.
因为CM=BM,所以=.
又因为∠AMB=∠AMB,
所以△AMB∽△BMD.
18.(本题满分10分)如图所示,已知在△ABC中,∠ACB=
90°
,CD⊥AB于D,DE⊥BC于E.求证:
=.
因为∠ACB=90°
,CD⊥AB,
所以由射影定理,得BC2=BD·
AB,
AC2=AD·
AB.
又DE⊥BC,AC⊥BC.
所以DE∥AC,所以=.
19.(本题满分12分)如图所示,已知在△ABC中,AB=3AC,AD平分∠A,BE⊥AD于E.求证:
AD=DE.
延长AC交BE的延长线于G.
过E作EH∥BC交AG于H,
则△ABE≌△AGE.
所以EB=EG,AB=AG.
在△GCB中,因为EH∥BC,EB=EG,
所以CG=2CH.
因为AB=3AC,AB=AG.
所以AG=3AC.所以CH=CA.
在△AEH中,因为DC∥EH,AC=CH,
所以AD=DE.
20.(本题满分12分)在△ABC中,∠B=25°
,AD是BC边上的高,并且AD2=BD·
DC,求∠BCA的度数.
解:
(1)当AD在△ABC内部时,如图①所示,由AD2=BD·
DC,
可得△ABD∽△CAD.
所以∠BCA=∠BAD=65°
(2)当AD在△ABC外部时,如图②所示,
由AD2=BD·
DC,得△ABD∽△CAD,
所以∠B=∠CAD=25°
所以∠BCA=∠CAD+∠ADC=25°
+90°
=115°
故∠BCA等于65°
或115°
21.(本题满分12分)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上一点,且满足AB2=DB·
CE.
(1)求证:
△ADB∽△EAC;
(2)若∠BAC=40°
,求∠DAE的度数.
(1)证明:
因为AB2=DB·
CE,AB=AC,
由题可知∠ABC=∠ACB,
所以∠ABD=∠ACE,
所以△ADB∽△
EAC.
(2)解:
△ADB∽△EAC,
所以∠DAB=∠E.
因为∠D=∠D,所以△ADB∽△EDA,
所以∠DAE=∠ABD,
因为∠ABC==70°
所以∠DAE=∠ABD=180°
-70°
=110°
22.(本题满分14分)如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°
,AD是BC边上的高,E是BC边上的一个动点(不与B,C重合),EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F,G.
(2)FD与DG是否垂直?
若垂直,请给出证明;
若不垂直,请说明理由.
(3)当AB=AC时,△FDG为等腰直角三角形吗?
并说明理由.
在四边形AFEG中,
因
为∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°
所以四边形AFEG为矩形.
所以AF=EG.
根据题意,易证△EGC∽△ADC,
所以=.所以=.
FD⊥DG.证明过程如下:
因为△ABC为直角三角形,AD⊥BC,
因为∠FAD=∠C.
又由
(1)可知=,
所以△AFD∽△CGD.
所以∠ADF=∠CDG.
又因为∠CDG+∠ADG=90°
所以∠ADF+∠ADG=90°
即∠FDG=90°
.所以FD⊥DG.
(3)解:
当AB=AC时,△FDG是等腰直角三角形,理由如下:
因为AB=AC,∠BAC=90°
所以AD=DC.
又因为△AFD∽△CGD,
所以==1,即FD=DG.
又因为∠FDG=90°
,所以△FDG为等腰直角三角形.