矩阵运算Word下载.docx
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347843503146
（b）令x和y为：
X=（123）y=
命令s=x*y，M=y*x，结果为：
S=M=
321123
102030
100200300
MATLAB也包含其他乘积。
命令dot（x，y）得到具有相同元素数量的两个向量x和y的点
积，也称为标量积或内积。
如果点积为零，则两个向量是正交的。
如果A和B具有相同的维数，则定义两个矩阵A和B的点积，在MATLAB中定义列方式。
其结果是一个行向量，其元素是第1列、第2列等的点积，可参见附录B。
命令集23点积
dot（x,y）得到向量x和y的点积
dot（A,B）得到一个长度为n的行向量，这里的元素是A和B对应列的点积。
矩
阵A和B必须是具有相同的维数m×
n。
多维矩阵可参见helpdesk。
dot（A,B,dim）在dim数组中给出A和B的点积。
38MATLAB5手册下载
■对于各具三个元素的两个向量x和y，命令cross（x,y）给出向量积或叉积，即：
X×
y=（x2y3-x3y2x3y1-x1y3x1y2-x2y1）
对向量x和y，向量x×
y是正交的。
cross命令也可以应用于3×
n矩阵，其结果是一个3×
n矩阵，这里的第i列是A和B中的第i列的叉积。
命令集24叉积
cross（x,y）得到向量x和y的叉积。
cross（A,B）得到一个3×
n矩阵，其中的列是A和B对应列的叉积。
阵A和B必须具有相同的维数3×
cross（A,B,dim）在dim数组中给出向量A和B的叉积。
A和B必须具有相同
的维数，size（A,dim）和size（B,dim）必须是3。
■例3.3
假设：
x=（100）y=（010）
命令crossprod=cross（x,y），得到：
crossprod=
001
对x和y，它是正交的，即：
scalar1=dot（x,crossprod）,scalar2=dot（y,crossprod）
得：
Scalar1=scalar2=
10
在MATLAB中，有一个完成二维矩阵卷积的函数。
可以使用FIR滤波器（有限脉冲响应）作为一个自变量，这部分内容在helpdesk中描述。
命令集25矩阵的卷积
conv2（A,B）返回矩阵A和B的二维卷积
conv2（hcol,hrow,A）矩阵A与向量hcol列方式和向量hrow行方式的卷积。
conv2（…,format）得到一个卷积的特殊形式。
参数format必须是下列
字符串之一：
‘same’返回最接近中心的部分卷积，其维数与A相同。
‘valid’仅返回不考虑边缘补零计算的部分卷积。
convn（A,B）返回矩阵A和B的多维卷积。
convn（…,format）得到卷积的一个特殊形式，如上所示。
第3章矩阵运算39下载
■Kronecker张量积可以用于创建大的矩阵，它由命令kron（A,B）得到。
如果A是一个m×
n矩阵，B是一个k×
r矩阵，那么这个命令就返回一个m·
k×
r·
n的矩阵。
命令集26张量积
kron（A,B）得到A和B的Kronecker张量积。
■例3.4
命令K=kron（A,B）的结果为：
K=
246000
202000
-1-2-3123
-10-1101
3.3除法
在MATLAB中，有两个矩阵除法的符号，左除\和右除/。
如果A是一个非奇异方阵，那么A\B和B/A对应A的逆与B的左乘和右乘，即分别等价于命令inv（A）*B和B*inv（A）。
可是，MATLAB执行它们时是不同的，如例3.5所示。
A的逆，inv（A）或A－1在第7.1节中介绍。
如果A是一个方阵，那么X=A\B是矩阵方程AX=B的解A－1B，这里的X具有与B相同的维数。
在B=b是一个列向量这样一个特殊情况下，x=A\b是线性系统AX=b的解。
参见第7.2节。
如果A是一个m>
n的m×
n矩阵，X=A\B得到矩阵方程AX=B的最小二乘解，参见第7.7节。
矩阵方程XA=B的解是X=B/A，它等同于（A′\B′）′,即右除可以由左除定义。
这里，撇号′表示转置，这将在第3.4节中进行说明。
■例3.5
（a）设A和B如例3.1一样定义，命令
A，B，Right=B/A,Left=A\B得到：
A=B=Right=Left=
1256-12-3-4
3478-2345
下载
■如果输入Right=B*inv（A）和Left=inv（A）*B，则得到
Right=Left=
-1.00002.0000-3.0000-4.0000
-2.00003.00004.00005.0000
这分别与用/和\计算的矩阵结果是一致的，但浮点格式表明它们的计算过程是不一样的。
（b）设下列A和b：
b=
系统Ax=b的解在MATLAB中写作x=A\b，得到：
X=1.00002.00003.0000
（c）使用如上的A和b,检查求解系统Ax=b的运算次数。
命令flops（0）;
x=inv（A）*b;
flops给出结果：
ans=
109
命令flops（0）;
X=A\b;
flops给出结果：
72
因此，在MATLAB中求解一个系统用左除比用逆和乘法所需的运算次数要少。
命令
flops的定义参见第2.5节。
3.4转置和共轭
一个重要的运算是转置和共轭转置，它在MATLAB中用撇´
表示。
在课本中，这种运算经
常用*和H表示
如果A是一个实数，那么它被转置时，第1行变成第1列，第2行变成第2列，依此类推，一个m×
n矩阵变为一个n×
m矩阵。
如果矩阵是方阵，那么这个矩阵在主对角线反映出来。
如果矩阵A的元素aij是复数，那么所有元素也是共轭的。
矩阵A´
在项（i,j）上含有。
如果仅希望转置，在撇号之前输入一点.´
，A.´
表示转置，其结果与conj（A´
）相同。
如果A是实数，那么A´
与A.´
相同。
■例3.6
假设A和b与例3.5（b）相同。
Transp=A´
Transpb=b´
得到：
Transp=Transpb=
110221713
325
541
aji
第3章矩阵运算41下载
■3.5元素操作算术运算
算术运算也可以元素与元素逐次进行。
矩阵的维数要相同，可以是多维的。
如果运算是
由一点进行的，那么这个运算实行的是元素方式。
对于加法和减法，数组运算和矩阵运算没有差别。
数组运算符是：
+－.*./.\.^
注意，.并没有列出，这个点在那种情况下具有不同的含义。
这个操作符仅给出转置，
与¢
相反，¢
给出了共轭转置，详见第3.4节。
■例3.7
假设定义如下矩阵：
C=
（a）A.*B得：
ans=74-10
（b）B./A得：
ans=71-10
（c）B.^2得：
ans=49410
（d）A.^B得：
ans=14-10
（e）基数是标量，而指数是一个矩阵，2.^[1234]得：
24816
（e）C.´
ans=1.0000+2.0000i3.0000+1.0000i
5.0000-2.0000i1.0000+3.0000i
42MATLAB5手册
■可参见例13.1，它也使用了数组运算。
3.6元素操作函数
在MATLAB中预定义的数学标准函数（见第2.4节）是基于矩阵对元素的运算。
如果f是这样一个函数，A是带元素aij的一个矩阵，那么f（A）ij=f（aij）。
如果元素是复数，那么根据这个函数产生的矩阵也可以是复数，矩阵的维数没有改变。
■例3.8
令A、B和C为：
（a）abs（A）得：
ans=035146
（b）cos（B）得：
ans=-1.00001.00000.00000.7071
（c）sin（abs（C））得：
ans=0.98780.000000.7867
数组运算符和数组函数在MATLAB中十分有用，用户可以定义自己的数组函数，并把它
们存放在M文件中，可参见第2.9节。
■例3.9
函数sincos（x）=sin（x）cos（x）是一个非标准MATLAB函数，可是，你可以定义自己的函数sincos并存放在文件sincos.m中。
functiony=sincos（x）
y=sin（x）.*cos（x）;
可如下调用sincos:
Y1=sincos（pi）,y2=sincos（[0pi/4pi/2]）
Y1=-1.2246e-16
Y2=00.50000.0000
第3章矩阵运算43下载
■看到，应该为0值的y1是一个十分小的数。
事实上，eps是较大的。
如果用一个向量作为一个自变量来调用sincos，因为sin和cos返回向量，所以其结果是一个向量。
当绘制函数图形时，这是十分有用的。
M文件的应用可参见第12章和第13章。
3.7矩阵的乘方与函数
对于二维方阵，A的p次乘方可以用A^p实现。
如果p是一个正整数，那么这个幂可以由许多矩阵乘法运算定义。
对于p=0，得到与A维数相同的同一个矩阵；
当p<
0时，如果A-1存在，可定义A^p，它是与inv（A）^（-p）相同。
象exp（A）和sqrt（A）那样的MATLAB表达式可视为数组运算（参见第3.6节），即它们是对A中元素逐个运算。
MATLAB也能处理方阵函数。
例如
（A的平方根）或
。
举例如下：
=I+A+
+
+…
命令集27矩阵函数
expm（A）使用Pade近似法计算eA，这是一个内部函数。
expm1（A）使用一个M文件和与内部函数相同的算法计算eA。
expm2（A）使用泰勒级数计算eA。
expm3（A）使用特征值和特征向量计算eA。
logm（A）计算A的对数。
sqrtm（A）计算A1/2。
当A是对称正定阵时，平方根是唯一的。
funm（A,fcn）计算由字符串fcn指定的A的矩阵函数，参见第5.1.4节。
字符串fcn可以是任意的基本函数，如sin、cos等等，参见第2.4节。
例如，expm（A）=funm（A,‘exp’）。
[F,E]=funm（A,fcn）计算如上矩阵函数，但返回结果矩阵F和剩余近似值矩阵E。
polyvalm（p,A）估算矩阵A的一个多项式。
向量p含有多项式的系数。
详
见第10.1节。
很重要的一点是要区别expm和exp、logm和log等等。
■例3.10
比较exp和expm：
Elementwise=exp（A）,Operatorwise=expm（A）
Elementwise=2.71831.00001.00007.3891
Operatorwise=2.7183007.3891
44MATLAB5手册
■3.8关系运算符
MATLAB有用于比较矩阵的六个关系运算符，也可以对矩阵与一个标量进行比较，即矩
阵中的每个元素与标量进行比较。
关系运算符如下：
<
小于
=小于等于
>
大于
=大于等于
==等于
~=不等于
关系运算符比较对应的元素，产生一个仅包含1和0的具有相同维数的矩阵。
其元素是：
1比较结果是真
0比较结果是假
在一个表达式中，算术运算符优先级最高，其次是关系运算符，最低级别是逻辑运算符。
圆括号可以改变其顺序。
■例3.11
（a）对预定义变量pi的值和通过命令rat获得的pi的近似值进行比较。
[t,n]=rat（pi）,piapprox=t/n;
formatlong,piapprox,pi,piapprox==pi
t=355n=113piapprox=3.14159292035398ans=3.14159265358979ans=0
（b）假设：
A中的元素有大于B中对应的元素吗？
第3章矩阵运算45下载
■Greater=A>
B
Creater=001000010
即A中的项（1，3）和（3，2）的值大于B中对应项的值。
（c）令A如例（b）中假设，A中的元素有大于1的吗？
GreaterThanOne=A>
1
GreaterThanOne=011000110
3.9逻辑运算符
在MATLAB中有四种逻辑运算符：
&
与
|或
~非
xor异或
逻辑运算符的运算优先级最低。
在一个表达式中，关系运算符和算术运算符的运算级别
要高于逻辑运算符。
xor和or之间的差别在于：
表达式中至少有一个是真，那么or是真；
xor是表达式中有一个是真但不能两者均为真时才为真。
运算符&
和|比较两个相同维数的矩阵，如同前一节一样，它也能使一个标量与一个矩阵
进行比较。
逻辑运算符是按元素比较的。
零元素表示逻辑值假，任何其他值的元素表示逻辑
值真。
其结果是一个包含1和0的矩阵。
命令集28逻辑运算符
A&
B返回一个与A和B相同维数的矩阵。
在这个矩阵中，A和B对应元素
都为非零时，则对应项为1；
有一个为零的项则为0。
A|B返回一个与A和B相同维数的矩阵。
只要有一个为非零，则对应项为1；
两个矩阵均为零时，则为0。
˜A返回一个与A和B相同维数的矩阵。
在这个矩阵中，A是零时，则对
应项为1；
A是非零时，则对应项为0。
xor（A,B）返回一个与A和B相同维数的矩阵。
在这个矩阵中，如果A和B均为
零或均为非零时，则对应项为0；
如果A或B是非零但不是两者同时
为非零时，则对应项为1。
46MATLAB5手册
■3.10逻辑函数
在MATLAB中有几个逻辑函数。
在以下定义的函数中，假设A是一个m×
n的矩阵，x是一个向量。
在一些计算中，很重要的一点是要在给定的矩阵中以一定的特征定位。
例如，在部分选主
元的高斯消去法中，必须在工作列中寻找最大的项。
MATLAB命令find可以用于这种情况。
命令集29查找非零元素
find（x）返回一个x中包含非零元素的下标的向量。
如果所有的元素
都是零，那么返回一个空矩阵，即[]。
find（A）返回一个长的列向量，表示A中包含非零元素的下标向量。
下述命令更可取。
[u,v]=find（A）返回向量u和v，它们包含A中的非零元素的下标，即A中元
素（uk,vk）为非零。
[u,v,b]=find（A）返回包含A中非零元素的下标向量u和v以及一个包含对应非
零元素的向量。
A中元素（uk,vk）为非零并且能在bk中找到。
■例3.12
假设x和A是：
X=（3-406.10）A=
y=
（a）ind=find（x）,indcol=find（A）得:
ind=124
indcl=14
即向量x中元素1、2和4是非零值。
要获得indcol，也可以输入：
find（y）
（b）命令find可以与关系运算符一起使用，这样使命令更有用。
例如，index=find（x>
0.5）返回：
index=
14
如果输入greaterThan=x（index）,得到：
greaterThan=
3.00006.1000
这就是用向量index寻找x中所有大于0.5的元素。
如果仅想知道x中有多少大于0.5的元素时，可以输入：
length（find（x>
0.5））。
针对上题数据，得到：
ans=2
第3章矩阵运算47下载
（c）要获得A中所有非零元素的索引，输入：
[index1,index2]=find（A）
Index1=12index=12
即元素（1，1）和（2，2）是非零值。
MATLAB有any和all两个函数，用于测试矩阵和向量的逻辑条件。
其结果是逻辑值，0
或1，真或假。
它们在if语句中有特殊的用途，详见第12.1节。
命令集30逻辑函数
（一）
any（x）如果x中的有一个元素为非零值，那么返回1；
否则，返回0。
any（A）对A进行列运算，根据相应列是否包含非零元素，返回一个带1和0的行向量。
all（x）如果所有的元素都是非零值，返回1；
all（A）对A进行列操作，根据相应列是否所有元素都为非零值，返回带1和0的一个行向量。
如果这两个函数之一对一个矩阵进行两次操作，例如any（any（A））和all（all（A））则
返回一个标量1或0。
■例3.13
（a）如果all（x<
=5）返回1，则实向量x中所有的元素都小于或等于5。
如果返回0，则至
少有一个元素大于5。
如果all（all（A<
=5））返回1，则一个矩阵A的所有元素小于或等于5。
（b）对一个实方阵A，如果all（all（A==A′））返回1，则A是对称的。
（c）如果any（any（tril（A,－1）））返回0，则方阵A是上三角阵。
否则，在A中的下三
角阵中至少有一个非零元素。
一个等价的命令是all（all（A==triu（A））），如果A是上三角阵，它就返回1。
也有下列逻辑函数：
命令集31逻辑函数
（二）
isnan（A）返回一个维数与A相同的矩阵，在这个矩阵中，对应A中有
‘NaN’处为1，其他地方为0。
48MATLAB5手册下载
■isinf（A）返回一个维数与A相同的矩阵，在这个矩阵中，对应A中有‘inf’处为1，其他地方为0。
isempty（A）如果A是一个空矩阵，返回1；
否则返回0。
isequal（A,B）如果A和B是相同的，即有相同的维数和相同的内容，则返回1。
isreal（A）如果A是一个不带虚部的实矩阵，则返回1；
否则，返回零。
isfinite（A）返回一个与A维数相同的矩阵。
在这个矩阵中，A中元素是
有限的，则对应元素为1；
否则，为零。
也有针对字符串和其他数据类型的逻辑函数，详见第5章。
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