概率论与数理统计习题库第三章.docx
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概率论与数理统计习题库第三章
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#00001
已知随机变量X与Y独立，其分布律分别为
X
1
0
Y
-1
0
1
pX
0.4
0.6
PY
0.2
0.3
0.5
分别求随机变量Z=max（X,Y），与W=X-Y的分布律。
并求（Z,W）的分布律。
*00001
解:
作下表，表中第一行是自变量（X,Y）的全部可能取值点；第二行是第一行各取值相应的概率；第三、第四行分别是第一行各取值点相应的Z、W的取值。
（X，Y）
（1,-1）
（0,-1）
（1,0）
（0,0）
（1,1）
（0,1）
Pi,j
0.08
0.12,
0.12
0.18
0.2
0.3
Z=max（X,Y）
1
0
1
0
1
1
W=X+Y
0
-1
1
0
2
1
从上表可以确定Z的取值域为{0,1},W的取值域为{-1,0,1,函数变量取某值的概率等于该值在表中相应概率之和。
例如
P{Z=0}=0.12+0.18=0.3
于是，Z、W的分布律分别为：
Z
0
1
W
-1
0
1
2
PZ
0.3
0.7
PW
0.12
0.26
0.42
0.2
#00002
袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令
（1）求（X,Y）的分布律。
（2）求X与Y的相关系数
*00002
解：
（1）显然X、Y的全部可能取值为X=1，0；Y=1，0
而P{X=1，Y=1}=P{两次均摸到红球}=，同理计长沙理工大学二手货QQ交易群146808417
算其它的Pij，故有（X,Y）的分布律为：
1
0
1
1/10
3/10
0
3/10
3/10
（2）
#00003
设（X,Y）具有概率密度，1）求常数c；2）求P{Y>2X}；3）求F（0.5,0.5）
*00003
解：
1）如图所示区域D为（X,Y）的非0定义域
由归一性图
3）由F（x,y）的几何意义，可将F（0.5,0.5）理*00004解为（X,Y）落在{X0.5,Y0.5}区域（见如图G1）上的概率。
故有
#00004
已知（X,Y）的分布函数为
（1）求X与Y的边缘概率密度。
（2）问X与Y是否相互独立？
*00004
解：
（1）
（2）
#00005
（X,Y）的分布函数为.
（1）求X与Y的联合概率密度及边缘概率密度。
（2）问X与Y是否不相关？
*00005
解：
（1）先求出（X,Y）的概率密度
（2）
#00006
已知（X,Y）的分布律为
x\y
1
0
1
1/10
3/10
0
1/10
3/10
（1）边缘分布律。
（2）求X、Y的相关系数，（3）问X与Y是否不相关？
*00006
解：
（1）
x\y
1
0
pi.
1
1/10
3/10
2/5
0
3/10
3/10
3/5
p.j
2/5
3/5
0
3/10
3/10
（2）
（3）
#00007
已知（X,Y）的概率密度为，
（1）求X、Y的边缘分布函数
（2）问X与Y独立吗？
*00007
解：
（1）
故Ｘ与Ｙ不独立。
#00008
已知随机变量（X,Y）的分布律为
XY
1
2
0
0.15
0.15
1
且知X与Y独立，
（1）求、的值。
（2）令，求X与Z的相关系数
*00008
解：
（1）首先，+=1-0.15-0.15=0.7
又X与Y独立，由定理3.2.3.=（+）（0.15+）=0.35
=0.7-0.35=0.35
（2）
#00009
甲乙约定8:
009:
00在某地会面。
设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟，过时不候。
求两人能见面的概率。
*00009
解：
设甲于8点零Ｘ分钟到达、乙于8点另Ｙ分钟到达。
由题意，Ｘ与Ｙ独立且ＸU（0,60）（分）,YU（0,60）（分）,两人能见面等价于｜Ｘ－Ｙ｜<15。
为求p{|X-Y|<15}需求出（X,Y）的概率密度。
由定理3.2.2.
图
#00010
（X,Y）的概率密度为
（1）试判断（X,Y）的独立性。
（2）问X与Y是否不相关？
*00010
解：
（1）A=2
求各一维边缘密度函数
fX（x）=
类似可得
故X，Y相互独立。
（2）X与Y独立，故X与Y是不相关的。
#00011
设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与下一代只数Y的联合分布律。
*00011
解：
本题已知随机变量X的分布律Pi:
P{x=i}=
由题意易见，该昆虫下一代只数Y在X=i的条件下服从参数为i,0.8的二项分布，即Y|X=iB（I,0.8）,故有
又由式（3.3.2）,P{X=i,Y=j}=P（Y=yj|X=xi}P{X=xi},于是，（X,Y）的分布律为：
#00012
将一枚硬币连抛三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X，Y）的联合分布律、关于X和Y的边缘分布律
*00012
解：
设＝“第i次出现正面”（i＝1，2，3），则此随机试验共包含8个基本事件，它们及相应的（X，Y）取值为
从而，（X，Y）的联合分布律为
将其填入表格，进而得边缘分布律：
#00013
已知F（x,y）=A（B+arctg,
1）求常数A，B，C。
2）求P{0*00013
解：
#00014
设二维随机变量（X,Y）在矩形域G={（x,y）|0*00014
解：
此题显然是已知（X,Y）的分布，求S=XY的概率密度问题。
（X,Y）的概率密度为
图2.7
S的分布函数为FS（s）=P{Ss}=P{XYs}
当s0时，FS（s）=0
当s2时，FS（s）=1
现在，设0s,位于曲线xy=s下方的点满足xyFS（s）=P{Ss}=P{XYs}=1-P{XYs}
=
于是
#00015
设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求Z=X+Y的概率密度。
*00015
解：
由题意，随机变量X、Y的概率密度分别为：
，
随机变量Z=X+Y的概率密度为：
故ZN（0,2）
一般地，设X1,X2,…Xn独立，且XiN（i,i2）则
#00016
设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
（1）问X与Y是否独立？
（2）问X与Y是否不相关？
*00016
（1）
故X与Y不独立。
（2）
X与Y不是不相关的。
#00017
设两个相互独立的子系统L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为
其中>0，>0,
（1）
（1）若系统L由L1,L2串联而成试写出L的寿命Z的概率密度．
（2）
（2）若系统L由L1,L2并联而成试写出L的寿命Z的概率密度．
*00017
解：
（1）
由于当L1，L2中有一个损坏时，系统L就停止二作，所以这时L的寿命为
Z=min（X,Y）
由已知得，X、Y得分布函数分别为
Z＝min（X，Y）的分布函数为
于是，Z＝min（X，Y）的概率密度为
（2）由于当且仅当都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命Z为
Z=max（X,Y）
Z的分布函数为
FZ（z）=FX（z）FY（z）=
于是，Z=max（X,Y）的概率密度为
#00018
设（X，Y）服从二维正态分布，其概率密度函数为
试求P（X＜Y）．
*00018
#00019
（12分）设随机变量（X，Y）的联合密度函数为
（1）求常数C；
（2）求关于X和关于Y的边缘密度函数；（3）问X与Y是否相互独立？
*00019
解
（1）根据得
（4分）
（2） （8分）
（10分）
（3），X与Y不独立。
#00020
（12分）设随机变量（X，Y）的联合密度函数为
（1）求常数C；
（2）求；
*00020
解
（1）根据得
（4分）
（2） （8分）
（12分）
#00021
（12分）设随机变量（X，Y）的联合密度函数为
（1）求常数C；
（2）求Z=X+Y的密度函数
*00021
解
（1）根据得
（4分）
（2）根据两个随机变量和的密度函数公式
（6分）
得当z<0时，，而当z≥0时
（10分）
因此
（12分）
#00022
（14分）设随机变量（X，Y）的联合密度函数为
（1）求常数C；
（2）求M=max（X，Y）和m=max（X，Y）的密度函数
*00022
解
（1）根据得
（4分）
（2）当x<0时，。
当x≥0时，
（6分）
即
（8分）
所以随机变量M=max（X，Y）的密度函数为
当x<0时，
当x≥0时，
（12分）
因此m的密度函数为
（14分）
#00023
一台机器制造直径为X的轴，另一台机器制造内径为η的轴套。
设（X,Y）的密度函数为
如果轴套的内径比轴的直径大0.004但不大于0.036，则两者就能很好地配合成套。
现随机地选择轴和轴套，问两者能很好地配合的概率是多少？
*00023
解：
设A——轴与机器配套
#00024
一电子部件含两个主要元件，它们的寿命（以小时计）分别为X和Y。
设（X，Y）的分布函数为
（1）
（1） 求两元件寿命都超过120小时的概率。
（2）求至少有一元件寿命超过120小时的概率。
*00024
（2）
#00025
设X与Y的联合密度函数为
求P（X+2Y<1）
*00025
解：
注意到：
f（x，y）的表达式中含未知数A，先利用密度函数归一性求出A值。
f（x，y）的非零值定义域记为D，则
A=4.8
#00026
设随机变量X与Y相互独立，且同服从[0，1]上的均匀分布，试求：
Z=|X-Y|的分布函数与密度函数
*00026
解:
先求Z的分布函数
Z的密度函数为
（12分）
#00027
设某公司有100件产品进行拍卖，每件产品的成交价为服从正态分布N（1000,1002）
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