江苏省南京师大附中学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案Word下载.docx
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x-1
B.f(x)=
D.f(x)=x
g(t)=(
g(t)=
t)2
7.已知实数a>
0,b>
0,且1+1
=1,则a+2b的最小值为().
A.3+2
x3
ab+1
B.2+1
C.4D.3+35
22
8.函数f(x)=x2-1的图像大致为().
ABCD.
求,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.设集合A={xx2-2x=0},则下列表述不正确的是().
A.{0}∈A
B.2∉A
C.{2}∈A
D.0∈A
10.下列四个条件中,能成为x>
y的充分不必要条件的是()
A.xt2>
yt2B.xt>
yt
C.x>
y
D.0<
1<
1
xy
11.下列命题中是真命题的有().
A.若函数f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上都单调递增,则f(x)在R上单调递增;
B.
⎨0,x为无理数
狄利克雷函数f(x)=⎧1,x为有理数在任意一个区间都不单调;
⎩
C.若函数f(x)是奇函数,则一定有f(0)=0;
D.若函数f(x)是偶函数,则可能有f(0)=0;
12.已知a>
1,b>
1,且ab-(a+b)=1,那么下列结论正确的有().
A.a+b有最大值2+2B.a+b有最小值2+2
C.ab有最大值+1D.ab有最小值2+3
三、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上
⎧0,x>
13.已知f(x)=⎪-1,x=0
⎪3x-2,x<
,则f(f(f(6)))=.
14.已知函数f(x)=ax5+bx3+c+7,f(-3)=5,则f(3)=.
x
15.某水果店申报网上销售水果价格如下:
梨子60元/盒,桔子65元/盒,水蜜桃80元/盒,荔枝90元/盒,为增加销量,店主对这四种水果进行促销:
一次性购买水果总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,店主会得到支付的80%.
①x=10时,顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒,需要支付元;
②在促销活动中,为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折(即70%),则x的最大值是.
16.f(x)为定义在R上的偶函数,g(x)=f(x)-2x2在区间[0,+∞)上是增函数,则不等式
f(x+1)-f(x+2)>
-4x-6的解集为.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分,请把答案填写在答题卡相应位置上
17.(本小题满分10分)
2
已知a,b均为正数,证明:
a+b≥a+b.
ba
18.(本小题满分12分)计算:
-1
⑴eln2+⎛4⎫2+5-32;
⎝⎭
23
⑵(lg2)2+lg5⋅lg20+log3⋅log4.
19.(本小题满分12分)
已知二次函数f(x)的值域为[-4,+∞),且不等式f(x)<
0的解集为(-1,3).
⑴求f(x)的解析式;
⑵若对于任意的x∈[-2,2],都有f(x)>
2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
20.(本小题满分12分)
某小区为了扩大绿化面积,规划沿着围墙(足够长)边画出一DC
块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建花圃,规定ABCD的每条边长不超过20米.如图所示,要求矩形区域EFGH用来种花,且点A,B,E,F四点共线,阴影部分为1米宽的种草区域.设AB=x米,种花区域EFGH的面积为S平方米.
⑴将S表示为x的函数;
⑵求S的最大值.
21.(本小题满分12分)已知集合A={y|y=
4x-x2},集合B={x|x2-x+a-a2<
0}.
⑴若AB=A,求a的取值范围;
⑵在AB中有且仅有两个整数,求a的取值范围.
22.(本小题满分12分)
设f(x)=x+a(x>
0,a为大于0的常数)
⑴若f(x)的最小值为4,求a的值;
⎣
⑵用定义证明:
f(x)在⎡
a,+∞)上是增函数;
⑶在⑴的条件下,当x>
1时,都有f(x)>
m-m+1恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】A;
【解析】由补集定义知选A.2.
【答案】B;
【解析】因为{1}是{xx2-5x+4=0}的真子集,所以“x=1”是“x2-5x+4=0”的充分不必要条件.
3.
【答案】C;
【解析】存在量词命题的否定,需要把存在量词改成全称量词,并否定后面的结论,故选C.4.
【解析】由(x+x-1)2=x2+x-2+2=5,知x+x-1=±
5.
【答案】D;
5,故选C.
【解析】当x<
0时,f(x)=1单调递减,范围为(-∞,0),当0≤x≤3时,f(x)=2x-x2在[0,1]上单调递
增,在[1,3]上单调递减,范围是[-3,1],所以函数值域为(-∞,1],故选D.
6.
【解析】A选项,f(x)=x,故错误;
B选项,定义域不同,故错误;
C选项,定义域不同,故错误;
D选项,是同一函数,故选D.
7.
【解析】a+2b=a+2(b+1)-2=⎛1+1⎫⎡a+2(b+1)⎤-2=3+2(b+1)+a-2≥22+1,当且仅当
a=1+
8.
2且b=
ç
ab+1⎪⎣⎦
2时等号成立,故选B.
ab+1
【解析】f(x)定义域为(-∞,-1)(-1,1)(1,+∞),是奇函数,当x→+∞时,f(x)→+∞,故选A.
【答案】ABC;
【解析】A={0,2},故选ABC.10.
【答案】ACD;
【解析】A选项,若xt2>
yt2,则t2≠0,则x>
y,反之不成立,A正确;
B选项,当t<
0时,x<
y,B错误;
C选项,若x>
y,由y≥y,则x>
y,反之不成立,C正确;
D选项,f(x)=1在(0,+∞)单调递减,若0<
1,则x>
y,反之不成立,D正确;
xxy
故选ACD.
11.
【答案】BD;
【解析】A选项,若f(x)=⎧
x,x≤0
是一个反例,A错误;
12.
⎨lnx,x>
B选项,在任意区间I上总可以取x1,x2∈Q,使f(x1)=f(x2),则f(x)在I上不单调,B正确;
C选项,f(x)=1是一个反例,C错误;
D选项,f(x)=x2符合要求,D正确;
故选BD.
【解析】法一:
令a+b=s,ab=t,由题意可得s>
2,t>
1,t-s=1,
由基本不等式s≥2t,
则t-1≥2
,由t>
1可得t2-2t+1≥4t,则t≥3+2
,a=b=
2+1取等;
s≥2
s+1,由s>
2可得s2-4s-4≥0,则s≥2+2
故选BD;
法二:
由ab-(a+b)=1可得(a-1)(b-1)=2,令m=a-1>
0,n=b-1>
0,
则a+b=m+n+2≥2+2
=2+2
,m=n=
2取等;
ab=(m+1)(n+1)=mn+m+n+1=3+m+n≥3+2
故选BD.
【答案】-5;
【解析】f(f(f(6)))=f(f(0))=f(-1)=-5.
14.
【答案】9;
【解析】f(3)+f(-3)=7+7=14,所以f(3)=14-5=9.
15.
【答案】130;
15.
【解析】①60+80-10=130;
②由题意可知,购买总价刚好为120元时,折扣比例最高,此时有0.8⨯(120-x)≥0.7⨯120,
解得x≤15.
16.
【答案】⎛-∞,-3⎫;
2⎪
【解析】由f(x)为偶函数,可知g(x)也为偶函数,且在R上先减再增,由f(x+1)-f(x+2)>
-4x-6,
可知f(x+1)-2(x+1)2>
f(x+2)-2(x+2)2,即g(x+1)>
g(x+2),
可知x+1>
x+2,解得x<
-3.
17.
【答案】详见解析.
由基本不等式可得,
b++a≥2
a
⨯b+2
=2(a+b),
bab
⎧a2=
当且仅当⎪b
b2
=
⎩a
则原式得证.
b
,即a=b时取等,
法二:
ç
⎪(a+b)=a
2+b2
+a3+b3
⎝ba⎭ba
由a>
0,可得a+b>
0,b0,a>
0,ab>
ab
⎛a2
则ç
+
⎪(a+b)≥a
2+b2+2
=a2+b2
+2ab=(a+b)2,
⎝ba⎭
由a+b>
0可得a+b≥a+
a2b2
a2-b2
b2-a2
(a-b)(a2-b2)(a-b)2(a+b)
法三:
+-(a+b)=+==,
babaabab
0可得a+b-(a+b)≥0即a+b≥a+b.
baba
18.
【答案】⑴3;
⑵3.
【解析】⑴
eln2+⎛4⎫2+
=2+3-2=3;
⑵(lg2)2+lg5⋅lg20+log3⋅log4=(lg2+lg5)2+2=3.
19.
【答案】⑴
f(x)=x2-2x-3;
⑵
m<
-7.
【解析】⑴设f(x)=ax2+bx+c,由题意可知:
⎧f(-1)=a-b+c=0
⎧a=1
⎪f(3)=9a+3b+c=0,解得⎪b=-2,即f(x)=x2-2x-3;
⎪f
(1)=a+b+c=-4
⎪c=-3
⑵m<
x2-4x-3对x∈[-2,2]恒成立,令g(x)=x2-4x-3,
当x∈[-2,2],可知g(x)∈[-7,9],
故m<
20.
S=102-200-x(5≤x≤20);
⑵S的最大值为102-202.
【解析】⑴因为AB=x,
所以AD=100,EF=x-2,FG=100-1;
xx
所以S=(x-2)⎛100-1⎫=102-200-x
x⎪x
因为0<
x≤20,0<
100≤20,解得5≤x≤20,所以S=102-200-x(5≤x≤20);
⑵S≤102-2
=102-20
,当且仅当x=102时取等
所以S的最大值为102-202.
21.
【答案】⑴0≤a≤1;
⑵[-1,0)(1,2];
【解析】⑴因为A
所以B⊆A,
因为4x-x2≤4,所以A=[0,2];
集合B的不等式可化为(x+a-1)(x-a)<
①B=∅,即∆≤0,解得a=1,符合;
②B≠∅,即a≠1时,此时0≤a≤2,0≤1-a≤2,解得0≤a≤1且a≠1;
综上0≤a≤1;
⑵集合A中有三个整数0,1,2,B={x|(x-a)(x+a-1)<
0};
由AB中有且仅有两个整数,可得B中有0,1,2中的两个整数;
a<
1-a即a<
1时,B=(a,1-a),
则B中整数仅有有0,1或仅有1,2,
若仅有0,1,则-1≤a<
0,1<
1-a≤2,解得-1≤a<
0;
若仅有1,2,则0≤a<
1,2<
1-a≤3,无解;
a=1-a即a=1时,B=∅,不满足题意;
a>
1-a即a>
1时,B=(1-a,a),
若仅有0,1,则-1≤1-a<
a≤2,解得1<
a≤2,若仅有1,2,则0≤1-a<
a≤3,无解;
综上,实数a的取值范围是[-1,0)(1,2].
22.
【答案】⑴4;
⑵证明见解析;
⑶
【解析】⑴由基本不等式f(x)≥2
2
+2.
当且仅当x=
解得a=4;
⑵任取x1,x2∈⎡
a时取等,所以2=4
a,+∞),设x1<
x2,
f(x)-f(x)=(x-x)+
a(x
-x)=(x
-x)x1x2-a,
xxxx
1212
因为≤x1<
x2;
2112
1212
所以x1x2>
a,x1x2-a>
0,又因为x1-x2<
所以f(x1)-f(x2)<
所以f(x1)<
f(x2)
所以f(x)在⎡
a,+∞)上是增函数
得证;
⑶原不等式可化为x2+4>
mx-m-1
x2+56
即m<
=x+1+
恒成立
因为x+1+
6
=x-1+
+2≥26+2,
当且仅当x-1=即x=1+
6时取等
所以m<
2+2.