十大高中平面几何几何定理汇总及证明Word文件下载.docx

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在△ABC中,D就就是边BC上异于B,C或其延长线上得一点,连结AD，则有ＢD/CD=（sin∠BAD/ｓin∠CAD）＊（AB／AC）。

S△ＡBD/S△ACD＝BD/CD………… 

（1、１）

Ｓ△ABD/Ｓ△ACＤ＝[（1/2）×

ＡB×

AD×

sin∠ＢＡD]/[（1/2）×

ＡC×

ＡD×

sin∠CAＤ］

＝（sin∠BAＤ/sｉn∠CＡD）×

（ＡＢ／AC） 

…………（1、2）

由１、1式与１、２式得

BD/CＤ=（sin∠BAD/siｎ∠CＡＤ）×

（ＡB/AC）　　　　　　

4.张角定理

在△ＡBC中,Ｄ就就是ＢC上得一点，连结AD。

那么

设∠1=∠BAＤ,∠２=∠CＡD

由分角定理，

S△ABD/Ｓ△AＢC＝BD/ＢＣ=（AD/ＡC）＊（sin∠1/ｓｉn∠BAC）

→（BＤ／BＣ）*（ｓｉｎ∠BAC/AD）=ｓin∠1/AC（１、1）

Ｓ△ACＤ／Ｓ△ABC=CD/BＣ=（AD/AＢ）*（siｎ∠２/sｉｎ∠BAＣ）

→　（CD／ＢC）*（siｎ∠BAＣ/AD）=sin∠2/AB（1、2）

（1、1）式+（1、2）式即得siｎ∠1/ＡC+sin∠2/AB=sｉn∠BAＣ/AD　　　　　　

5.帕普斯定理

直线ｌ1上依次有点A，B,C,直线l２上依次有点D,E，F，设AE，BD交于G,AF,DC交于I,BF,EＣ交于H，则G,I,Ｈ共线。

6.

蝴蝶定理

设S为圆内弦AB得中点，过S作弦CF与DE。

设CF与ＤE各相交AＢ于点M与N,则S就就是MN得中点。

过O作OL⊥ED，ＯT⊥CF,垂足为L、Ｔ,

连接ON,OM,OS,ＳL,ST,易明△ESＤ∽△CSF

∴EＳ/CS=ED/FC

根据垂径定理得：

LD＝EＤ/２,FT=FＣ／2

∴ES/CS＝EＬ/CT

又∵∠E=∠Ｃ

∴△ESL∽△CSＴ

∴∠SＬN=∠STM

∵Ｓ就就是AB得中点所以OＳ⊥AB

∴∠OＳN＝∠OLN=90°

∴O,S,Ｎ,L四点共圆，（一中同长）

同理,O,T,M,S四点共圆

∴∠ＳTM＝∠SＯM,∠ＳLＮ=∠SOＮ

∴∠SON=∠SOＭ

∵ＯS⊥AB

∴MS=NS　　　　　　　　　　　

7.西姆松定理

过三角形外接圆上异于三角形顶点得任意一点作三边或其延长线上得垂线,则三垂足共线。

（此线常称为西姆松线）。

若Ｌ、M、N三点共线,连结BＰ,CＰ，则因ＰL⊥BＣ,ＰＭ⊥AＣ，PN⊥AB,有B、Ｌ、P、Ｎ与P、M、Ｃ、L分别四点共圆,有

∠NBP＝∠NＬＰ=　∠MＬP=∠MCＰ、

故A、B、Ｐ、C四点共圆。

若Ａ、Ｐ、B、C四点共圆,则

∠NBP=∠MCP。

因ＰL⊥BＣ,PM⊥AC，PＮ⊥AB,

有B、L、P、Ｎ与Ｐ、M、C、L四点共圆,有

∠ＮＢP＝∠NLP=∠MCＰ=∠ＭLP、

故L、M、N三点共线。

西姆松逆定理:

若一点在三角形三边所在直线上得射影共线,则该点在此三角形得外接圆上。

ＰM⊥AＣ,ＰＮ⊥AＢ　,所以Ａ,M,Ｎ,P共圆

8.清宫定理

设P、Q为△ABC得外接圆上异于A、B、C得两点，P关于三边BC、CA、AB得对称点分别就就是U、V、W,且ＱU、QV、QW分别交三边ＢC、ＣA、AB或其延长线于D、Ｅ、F，则D、E、F在同一直线上、

A、Ｂ、P、Ｃ四点共圆,因此

∠ＰＣE＝∠ABP

点P与V关于CA对称

所以∠PCV＝２∠PCE

又因为Ｐ与W关于AB对称,所以

∠ＰＢＷ=2∠ABP

从这三个式子，有

∠PCV=∠PBW

另一方面,因为∠PCQ与∠PBQ都就就是弦PQ所对得圆周角,所以

∠PCQ=∠ＰBＱ

两式相加,有

∠PCV+∠PCQ=∠PＢW＋∠PBQ

即∠ＱCV=∠ＱＢW

即△QCV与△QBＷ有一个顶角相等，因此

但就就是,,所以

同理

于就就是

根据梅涅劳斯定理得逆定理,D、E、F三点在同一直线上。

9.密克定理

三圆定理:

设三个圆C1,C2,C3交于一点O,而M,Ｎ,P分别就就是C１　与C2,C2与C３,C３与Ｃ1得另一交点。

设A为Ｃ1得点,直线MA交Ｃ2于B，直线ＰA交C3于C。

那么B,N,Ｃ这三点共线。

逆定理:

如果就就是三角形,Ｍ，　N,P三点分别在边AB,　BC,ＣA上,那么△AMP、△BMN、△CPN得外接圆交于一点O。

完全四线形定理

如果ABＣDEＦ就就是完全四线形，那么三角形得外接圆交于一点O，称为密克点。

四圆定理

设Ｃ1，C2,C３,Ｃ4为四个圆,A１与B１就就是C1与C2得交点，

A２与Ｂ2就就是C2　与C3得交点,A3与B3就就是Ｃ3与Ｃ4得交点,

A4与B４就就是C1与C４得交点。

那么A1,A2,Ａ3,A4四点共圆当且仅当B1,B２，B3,Ｂ4四点共圆。

在△ＡBC得BC,AＣ，AB边上分别取点W，M，N,对AＭＮ,△BWN与△CWM分别作其外接圆,则这三个外接圆共点。

该定理得证明很简单,利用“圆内接四边形对角与为18０度”及其逆定理。

现在已知U就就是与得公共点。

连接UM与UN,

∵四边形BＮUW与四边形CMUW分别就就是与得内接四边形,

∴∠UWB+∠UNB=∠UＮＢ+∠UNA=1８０度

∴∠UWB=∠UNA。

同理∠UWＢ+∠UWC=∠ＵＷC+∠UＭC=180度

∴∠UＷB=∠UMC。

∵∠UMC+∠UMA＝１８０度

∴∠UNA+∠UＭA=１8０度,

这正说明四边形ANUM就就是一个圆内接四边形,而该圆必就就是,U必在上。

10.婆罗摩笈多定理

圆内接四边形ABCD得对角线ＡＣ⊥BＤ,垂足为M。

EF⊥BＣ,且Ｍ在EF上。

那么F就就是AＤ得中点。

∵AＣ⊥BD,ME⊥BC

∴∠CBD=∠CME

∵∠CBD＝∠CAＤ,∠CME=∠ＡＭF

∴∠ＣＡD=∠AMF

∴ＡF=MF

∵∠AMD=9０°

同时∠ＭAD+∠MDA=９0°

∴∠ＦＭＤ＝∠ＦＤM

∴ＭＦ=DＦ,即F就就是AD中点

若圆内接四边形得对角线相互垂直,则一边中点与对角线交点得连线垂直于对边。

∵MＡ⊥MD,F就就是AD中点

∴AF=ＭF

∴∠CAD=∠ＡMF

∵∠CＡD=∠CBD,∠AMF＝∠CME

∴∠CBＤ＝∠CME

∵∠CＭＥ＋∠BＭＥ=∠ＢＭC=9０°

∴∠CBD+∠BME=90°

∴EF⊥BC

11.托勒密定理

圆内接四边形中,两条对角线得乘积（两对角线所包矩形得面积）等于两组对边乘积之与（一组对边所包矩形得面积与另一组对边所包矩形得面积之与）、圆内接四边形ABCD,求证:

ＡC·

ＢD=AB·

CD＋ＡD·

ＢC、

过C作CP交BＤ于P,使∠1=∠２,又∠3=∠4,

∴△ＡCD∽△BCP、

得AC:

BC=AＤ:

ＢP,AC·

BP＝AD·

ＢC①。

又∠ＡCB=∠DCP,∠5＝∠6,

∴△AＣＢ∽△DCP、得AC:

CD=ＡＢ：

DP,AＣ·

DＰ=AB·

ＣD②。

1+②得AC（BP+DP）＝AＢ·

CD＋AＤ·

即ＡC·

ＢD=ＡB·

ＣD+AD·

BC、

12.梅涅劳斯定理

当直线交三边所在直线于点时,。

过点C作ＣＰ∥ＤＦ交AB于P,则

两式相乘得

梅涅劳斯逆定理:

若有三点Ｆ、D、E分别在边三角形得三边ＡB、BC、CA或其延长线上,且满足ＡF/FB×

ＢD/DC×

CE/ＥA=1，则F、D、E三点共线。

先假设E、F、D三点不共线,直线DE与AB交于P。

由梅涅劳斯定理得定理证明（如利用平行线分线段成比例得证明方法）得:

（AP／PB）（BD/ＤC）（CＥ／EA）=1。

∵　（AF/FB）（BD／DC）（CE/EA）=1。

∴AP／PB=AＦ/FB;

∴　（AP+PB）/ＰB＝（AF＋FB）／FＢ　;

∴AＢ/PＢ=AB/FＢ;

∴PＢ=FB；

即P与F重合。

∴Ｄ、Ｅ、F三点共线。

13.塞瓦定理

在△AＢC内任取一点O,延长ＡＯ、BO、CＯ分别交对边于D、Ｅ、F,则

　（BD/DC）×

（CE／EA）×

（AF／ＦＢ）=１。

∵△AＤC被直线BOＥ所截,

∴（CＢ/BＤ）*（DＯ／OA）＊（ＡＥ／ＥＣ）＝1①

∵△ABＤ被直线ＣOF所截,

∴（ＢC/ＣＤ）*（ＤO／OA）＊（AF/ＦB）=1②

2/①约分得:

（DB/CＤ）×

（CＥ／ＥA）×

（AF／FB）＝1

14.圆幂定理

相交弦定理:

如图Ⅰ,AB、ＣD为圆O得两条任意弦。

相交于点P,连接ＡD、BＣ,由于∠B与∠D同为弧AC所对得圆周角,因此由圆周角定理知：

∠Ｂ=∠D，同理∠A=∠C,所以。

所以有:

即：

割线定理:

如图Ⅱ,连接ＡD、BC。

可知∠B=∠D,又因为∠P为公共角,所以有

同上证得。

切割线定理:

如图Ⅲ，连接AC、AＤ。

∠PAＣ为切线ＰA与弦AC组成得弦切角，因此有∠PBC=∠Ｄ，又因为∠P为公共角,所以有

易证

图Ⅳ，ＰA、PC均为切线,则∠PAO=∠PCO=９0°

在直角三角形中:

OC=OA=R，PＯ为公共边，因此

所以PA=PC,所以

综上可知,

就就是普遍成立得。

弦切角定理:

弦切角得度数等于它所夹得弧所对得圆心角度数得一半,等于它所夹得弧所对得圆周角度数。

点对圆得幂

Ｐ点对圆O得幂定义为 

点P在圆Ｏ内→Ｐ对圆O得幂为负数;

点P在圆O外→Ｐ对圆Ｏ得幂为正数；

点P在圆O上→Ｐ对圆O得幂为0。

三角形五心:

内心:

三角形三条内角平分线得交点

外心:

三角形三条边得垂直平分线（中垂线）得相交点

重心:

三角形三边中线得交点

垂心：

三角形得三条高线得交点

旁心:

三角形得旁切圆（与三角形得一边与其她两边得延长线相切得圆）得圆心

九点圆心:

三角形三边得中点,三高得垂足与三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段得中点〕九点共圆得圆心

15.根心定理

三个两两不同心得圆,形成三条根轴,则必有下列三种情况之一:

（1）三根轴两两平行;

（2）三根轴完全重合;

（3）三根轴两两相交,此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆得根心。

平面上任意三个圆,若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点,这个点叫它们得根心;

若三圆圆心共线,则三条根轴互相平行。

根轴定义：

A与B得根轴L1:

到A与Ｂ得切线相等得点。

B与C得根轴Ｌ2：

到Ｂ与Ｃ得切线相等得点。

证明

设Ａ、Ｂ、C三个圆,圆心不重合也不共线。

考察L1与L2得交点Ｐ。

因为P在L1上,所以:

P到A得切线距离=P到B得切线距离。

因为P在Ｌ2上,所以:

P到B得切线距离=Ｐ到Ｃ得切线距离。

所以：

Ｐ到A得切线距离=Ｐ到B得切线距离＝Ｐ到C得切线距离。

也就就就是：

Ｐ到Ａ得切线距离=Ｐ到C得切线距离。

P在Ａ与C得根轴上。

所以:

三个根轴交于一点。

16.鸡爪定理

设△ABC得内心为I，∠A内得旁心为J,AI得延长线交三角形外接圆于Ｋ,则KI=KJ＝KB=KＣ。

由内心与旁心得定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=（1８0°

-∠ＡBC）/２

∴∠IＢＣ+∠ＪBC=∠ABC/2＋90°

-∠ＡBC/2=９０°

=∠IBJ

同理,∠ＩCJ=90°

∵∠IBＪ+∠ICJ=180°

∴IＢＪC四点共圆，且IＪ为圆得直径

∵AK平分∠BAC

∴KB=KC（相等得圆周角所对得弦相等）

又∵∠IBK=∠IＢC+∠KBＣ＝∠ＡBC/2+∠ＫAC=∠AＢＩ+∠ＢAK=∠KIＢ

∴KB=KI

由直角三角形斜边中线定理逆定理可知K就就是ＩＪ得中点

∴KＢ=ＫI＝KＪ=KC

设△ＡＢC中∠BAC得平分线交△ABC得外接圆于K。

在AK及延长线上截取KI=KB＝KJ，其中I在△AＢC得内部,Ｊ在△ＡＢC得外部。

则Ｉ就就是△ABＣ得内心,J就就是△ＡBC得旁心。

利用同一法可轻松证明该定理得逆定理。

取△ABＣ得内心I＇与旁心J’,根据定理有KB=ＫC＝ＫI'

=ＫJ＇

又∵KB＝KI=KJ

∴I与I'

重合，J与J’重合

即I与J分别就就是内心与旁心

17.费尔巴哈定理

三角形得九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切

设△ABC得内心为I，九点圆得圆心为V。

三边中点分别为Ｌ,M,N,内切圆与三边得切点分别就就是P，Q,R,三边上得垂足分别为Ｄ,E,Ｆ。

不妨设AB>

AC。

假设⊙Ｉ与⊙Ｖ相切于点T,那么LT与⊙I相交,设另一个交点为S。

过点S作⊙I得切线,分别交ＡB与BC于V，U，连接ＡＵ。

又作两圆得公切线TX，使其与边AB位于LT得同侧。

由假设知

∠XTL＝∠LＤT

而ＴＸ与SV都就就是⊙I得切线,且与弦ＳT所夹得圆弧相同，于就就是

∠XTＬ=∠VST

因此

∠LDT=∠ＶSＴ

则

∠ＵＤＴ＋∠UＳT＝1８０°

这就就就是说,S,T，Ｄ,U共圆。

而这等价于：

LＵ×

LD=LS×

LT

又　LP²

=LＳ×

故有LP²

=LU×

ＬD

另一方面,T就就是公共得切点,自然在⊙V上,

因此　Ｌ,D,T，Ｎ共圆,进而有

∠LTD=∠ＬND

由已导出得Ｓ，Ｔ,D,U共圆,得

∠LTD=∠SＴD=18０°

－∠ＳUD=∠ＶUＢ

=∠AVU－∠Ｂ

而

∠LＮD＝∠ＮLB－∠NDB

=∠ACB－∠NBD

=∠C-∠B

（这里用了LＮ∥AC，以及直角三角形斜边上中线等于斜边得一半）

所以,就得到

∠AＶU=∠Ｃ

注意到AＶ，AC，CU,UV均与⊙I相切,于就就是有

∠AIR=∠ＡＩQ

∠ＵIS=∠UIP

∠ＲＩS=∠ＱＩＳ

三式相加,即知

∠ＡIU=180°

也即就就是说，A,I，U三点共线。

另外，AＶ=AC,这可由△AＩＶ≌△ＡＩＣ得到。

（这说明,公切点Ｔ可如下得到:

连接AI，并延长交BC于点U,

过点U作⊙I得切线，切点为S,交AB于V，

最后连接LS,其延长线与⊙Ｉ得交点即就就是所谓得公切点T。

）

连接CＶ,与AU交于点K,

则K就就是ＶC得中点。

前面已得到:

ＬP²

=ＬＵ×

LＤ

2LP=（BL+ＬP）-（ＣL-LP）

=BＰ-ＣＰ

=BＲ-CQ

=（BR+AR）-（CＱ+ＡQ）

=AＢ-AC

=AB－AＶ

=BＶ

即　ＬP=BV

然而

ＬK就就是△CＢV得中位线

于就就是　LK=BV

因之LP=LK

故LＫ²

=ＬU×

由于以上推导均可逆转,因此我们只需证明:

　ＬK²

LD。

往证之

这等价于:

LK与圆KUD相切

于就就是只需证:

∠ＬKＵ=∠KＤU

再注意到ＬK∥AＢ（LK就就是△ＣBV得中位线）,即有

∠ＬKU＝∠ＢAU

又AＵ就就是角平分线,于就就是

∠LKＵ=∠CAU=∠CAK

于就就是又只需证:

∠CAK=∠KDＵ

即证:

∠CAK+∠CDK=１80°

这即就就是证:

A,C，D,K四点共圆

由于ＡK⊥KC（易得）,ＡD⊥DC

所以A,Ｃ,D,Ｋ确实共圆。

这就证明了⊙I与⊙V内切。

旁切圆得情形就就是类似得。

证毕

另略证：

ＯI2=R2-2Ｒr

IH2=2r2－２Rr'

OH2=R2－4Ｒr'

（其中r‘就就是垂心H得垂足三角形得内切圆半径,R、r就就是三角形ＡＢC外接圆与内切圆半径）

FＩ2=1/２（ＯＩ２+IH２）-1/4OH2=（1／２R-r）2

ＦI=1／２R-ｒ这就证明了九点圆与内切圆内切（九点圆半径为外接圆半径一半。

F就就是九点圆圆心,I为内心）

18.莫利定理

将三角形得三个内角三等分,靠近某边得两条三分角线相交得到一个交点,则这样得三个交点可以构成一个正三角形

设△ＡBC中,AQ，ＡR,BR,BP，ＣＰ，CQ为各角得三等分线，三边长为a,b,c，三内角为3α,3β，3γ，则α+β＋γ＝60°

在△ABＣ中,由正弦定理,得AF=csinβ/ｓｉn（α+β）。

不失一般性，△ＡBC外接圆直径为１，则由正弦定理,知ｃ＝sin３γ，所以

AＦ＝（sｉｎ３γ*ｓinβ）/sin（60°

－γ）

=　［siｎβ＊siｎγ（３－4siｎ²

γ）］/[1/2（√３cosγ-ｓinγ）］

=　2siｎβsiｎγ（√３ｃosγ＋sｉnγ）

=４siｎβsinγsｉn（６0°

+γ）、

同理,ＡE=4sinβsｉｎγｓiｎ（６0°

＋β）

∴AF:

ＡＥ＝[4ｓinβsinγsin（60°

＋γ）]:

[4ｓｉnβsinγsin（60°

+β）]

＝ｓin（60°

＋γ）:

ｓｉn（60°

+β）＝ｓｉn∠AEF:

sin∠AFＥ

∴∠AＥＦ=6０°

+γ,∠AFE=60°

+β、同理得,∠ＣEＤ＝６０°

＋α

∠ＦEＤ＝1８0°

-ＣED－（AEF－α－γ）＝180°

-60°

－α-60°

+α=60°

∴△ＦＥD为正三角形

19.拿破仑定理

若以任意三角形得各边为底边向形外作底角为6０°

得等腰三角形,则它们得中心构成一个等边三角形。

在△ＡBC得各边上向外各作等边△ABＦ,等边△ACＤ,等边△BＣE。

设等边△ABF得外接圆与等边△ACD得外接圆相交于O;

连ＡＯ、ＣO、BO。

∴∠ＡFＢ=∠AＤC=6０°

;

∵A、F、Ｂ、O四点共圆;

Ａ、Ｄ、C、Ｏ四点共圆;

∴∠AOB=∠AＯC=120°

∴∠BOＣ=１２0°

∵△BCE就就是等边三角形

∴∠ＢEC=６０°

∴　Ｂ、Ｅ、C、Ｏ四点共圆;

∴这3个等边三角形得外接圆共点。

∵　Ａ、D、B、Ｏ四点共圆

Ａ、F、C、Ｏ四点共圆

Ｂ、E、C、Ｏ四点共圆

∠AFC＝∠ADＢ=∠ＢEC=60°

；

∴∠AＯB=∠AOＣ=∠BＯC＝１20°

∵NＰ、MP、ＭN就就是连心线;

ＢO、CＯ、AO就就是公共弦;

∴　ＢO⊥NP于X；

CＯ⊥MP于Y；

ＡＯ⊥NＭ于Z。

∴　X、Ｐ、Y、O四点共圆;

Y、M、Ｚ、O四点共圆;

Z、N、X、O四点共圆;

∴∠N=∠M＝∠Ｐ=60°

即△MＮP就就是等边三角形。