机率概论及机率分配文档格式.docx

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機率，p：

不合格率p（x）：

機率密度函數（離散型）f（x）：

機率密度函數（連續型）F（x）：

累積機率分配函數（連續型、離散型）EX=（期望值），VX=2（變異數）：

母體平均值，2：

母體變異數：

樣本平均值，S2：

樣本變異數*3.2機率的概念機率論是現代統計學的基礎。

機率是為了衡量不確定結果，而建構出來的一種測度。

其中基本的概念為：

機率空間（ProbabilitySpace）：

系統中，集合所有可能出現的事件而構成的一個抽象空間，通常以表示。

有時亦稱樣本空間（SampleSpace）或結果空間（OutcomeSpace）。

事件（Events）：

系統中我們所要討論合理且可能發生的現象，是機率空間的基本元素。

隨機實驗（RandomExperiment）：

可能出現的結果有很多種，重複實驗時無法明確預知得到什麼結果的實驗方式。

隨機變數（RandomVariables）：

定義在機率空間的一個量測機率的工具，通常以一個一對多的不確定函數表示。

它對實驗的每一種結果指定一數值與之對應。

或將文字敘述轉換成數字敘述（將實驗結果以數值表示，省略一一列出可能實驗結果的煩雜）。

常以X表示之，且其結果常符合某一特定分配。

函數係針對定義域與對應域（值域）之間一對一或多對一的關係，即輸入某一數值就對應輸出另一數值，過程與結果均是確定的（Deterministic）。

但當輸入一事件卻可能出現好幾種其他情況時，如擲一骰子對應的是可能出現6種情況，此即隨機變數。

簡言之，隨機變數是一種多的廣義函數。

實數值x（事件）之機率P（X=x）決定機率分配函數p（x）。

範例、某品牌相同原子筆n支，內有不合格品，某同學任意選1支，試寫出樣本空間？

（合格品=G，不合格品=NG）=G，NG=21若以不格合品數目表示（隨機變數之概念，轉換成數字）X的可能值有0，1；

=X|0，1；

如x=1=NG（X：

隨機變數表選得不合格品數；

x：

事件）範例、承上題，某同學任意選2支，試寫出樣本空間?

=（G，G），（G，NG），（NG，G），（NG，NG）=22若以不格合品數目表示（隨機變數之概念，轉換成數字）X的可能值有0，1，2；

X=X|0，1，2如x=1=（G，NG），（NG，G）範例、承上題，某同學任意選3支，試寫出樣本空間?

=（G，G，G），（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G），（G，NG，NG），（NG，G，NG），（NG，NG，G），（NG，NG，NG）=23若以不格合品數目表示（隨機變數之概念，轉換成數字）X的可能值有0，1，2，3；

X=X|0，1，2，3如x=1=（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G）實驗檢驗真理，真理只有一個。

然隨機實驗中，其產生之結果是不確定的（Uncertainty）。

機率就是衡量此不確定結果，而建構出來的一種測度。

如何決定機率值-決定機率值的方法

（1）理論機率=古典機率=機會均等機率樣本空間內有n（）個元素，若事件A為之部份集合，含n（A）個元素，則事件A的機率為：

P（A）=n（A）/n（）範例、承上題，某同學任意選1支，為不合格品之機率?

n（）=21事件=NGn（A）=1P（A）=1/2若以不格合品數目表示（隨機變數之概念，轉換成數字）X的可能值有0，1；

則x=1=NGP（A）=n（A）/n（）P（x=1）=P（NG）=1/2範例、承上題，某同學任意選2支，有1不合格品之機率?

n（）=22事件=（G，NG），（NG，G）n（A）=2P（A）=2/22=1/2若以不格合品數目表示（隨機變數之概念，轉換成數字）X的可能值有0，1，2；

X=X|0，1，2x=1=（G，NG），（NG，G）；

P（x=1）=P（G，NG），（NG，G）=2/4=1/2範例、承上題，某同學任意選3支，有1不合格品之機率?

n（）=23事件=（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G）n（A）=3P（A）=3/23=3/8若以不格合品數目表示（隨機變數之概念，轉換成數字）X的可能值有0，1，2，3；

X=X|0，1，2，3則x=1=（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G）P（x=1）=P（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G）=3/8計算理論機率的方法亦稱古典方法，此法依靠抽象的推理與邏輯分析，而不必進行實際的試驗。

（2）經驗機率=客觀機率一隨機實驗重複試行n次，其中A事件共發生fA次，則A事件發生之機率可視為發生次數與總次數比：

P（A）=fA/n當實驗的次數愈多，事件的相對次數比將愈趨穩定；

即P（A）=fA/n（3）主觀認定機率一事件發生之機率，常由人們對此事的經驗，或心理的感覺而決定。

此機率較有爭議。

機率公設在樣本空間中，事件A發生的機率記做P（A），機率必須符合以下公設：

（1）P（）=1，P（）=0

（2）P（A）0（3）P（A）=1-P（A），其中A=-A（4）若B，P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）樣本空間計算基本法則法則一（加法原理）：

完成一件事有二種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法，則完成此事件共有n1+n2種方法。

法則二（乘法原理）：

完成一件事有k個階段，第一階段有n1種方法，第二階段有n2種方法，第k階段有nk種方法，則完成此事件共n1n2nk種方法。

法則三：

在n個不同事物中，任取r個予以組合，其方法有C（n,r）=n!

/（n-r）!

r!

。

範例、甲、乙二人擲骰子，約定甲擲出點數是1,2時，甲可得2元；

點數是3,4時可得4元；

點數是5時可得10元；

點數是6時，則甲需付給乙20元。

令X表擲骰子後甲所得的錢，求X的機率分佈?

=1,2,3,4,5,6；

n（）=6X的可能值有2，4，10，-20；

X=X|2,4,10,-20P（x=2）=P（1,2）=n（A）/n（）=2/6P（x=4）=P（3,4）=n（A）/n（）=2/6P（x=10）=P（5）=n（A）/n（）=1/6P（x=-20）=P（6）=n（A）/n（）=1/6x2410-20p（x）2/62/61/61/6範例、甲擲一枚銅板2次，令X表出現正面的次數，求X的機率分佈?

=正正,正反,反正,反反；

n（）=4X的可能值有0,1,2；

X=X|0,1,2P（x=0）=P（反反）=n（A）/n（）=1/4P（x=1）=P（正反,反正）=n（A）/n（）=2/4P（x=2）=P（正正）=n（A）/n（）=1/4x012p（x）1/42/41/4上述二範例均為離散型資料係屬離散型隨機變數，即實驗結果其對應之數值只有可數的幾種可能值，且可一一列出此種情況，以機率P（X=x）決定機率分配函數p（x）（離散型）。

反之，連續型資料係屬連續型隨機變數，即實驗結果其對應之數值不能列出各種可能值，則以機率P（Xa）決定機率分配函數f（x）（連續型）。

3.3統計獨立與條件機率定義：

統計獨立（StatisticallyIndependent）在樣本空間中有兩事件A與B，若A發生的機率不受B影響，即P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與B為統計獨立。

範例：

（獨立無關聯）愛足球不愛足球合計男648252900女7228100P（男）=900/1000=0.9；

P（女）=100/1000=0.1=1-0.9P（愛足球）=（648+72）/1000=0.72P（不愛足球）=（252+28）/1000=0.28=1-0.72P（男愛足球）=648/1000=0.648P（男不愛足球）=252/1000=0.252P（女愛足球）=72/1000=0.072P（女不愛足球）=28/1000=0.028由於P（男愛足球）=0.648=P（男）P（愛足球）P（男不愛足球）=0.252=P（男）P（不愛足球）P（女愛足球）=0.072=P（女）P（愛足球）P（女不愛足球）=0.028=P（女）P（不愛足球）定義：

互斥事件（DisjointEvents）在樣本空間中有兩事件A與B，若其集合無共同元素，即AB=，則稱事件A與B互斥。

P（AB）=0。

定義：

條件機率在樣本空間中有兩事件A與B。

在事件A已發生的條件下，事件B發生的機率稱為條件機率，以P（B|A）表示，則P（B|A）=P（BA）/P（A）。

範例、擲一枚銅板2次，求2次均出現相同結果下，至少出現一次正面的機率?

n（）=4A：

2次均出現相同結果=正正,反反；

n（A）=2P（B|A）=P（BA）/P（A）=（1/4）/（1/2）=1/2範例、甲到玉市購玉，已知某玉店的10塊玉中有4塊為膺品。

甲欲買該店2塊玉，則2塊均為真品的機率?

設設A為第一塊玉為真品的事件，為第一塊玉為真品的事件，B為第二塊玉為真品的事件，則為第二塊玉為真品的事件，則P（BA）=P（A）P（B|A）=（6/10）*（5/9）=1/3定理：

貝氏定理設B1,B2,Bn為互斥事件，且事件A為含有各種事件Bi某種共同特性之任意事件。

在事件A已發生情況下，則事件Bk發生之機率為P（Bk|A）=P（Bk）P（A|Bk）/P（Bi）P（A|Bi）範例、甲製造車廠有二條生產線B1,B2，分別各佔60%和40%的生產量。

已知生產線B1有2%的不合格率，生產線B2有3%的不合格率，茲某人購買該車廠乙部車有瑕疵，則此車為生產線B1之產品的機率？

P（B1）=0.6，P（A|B1）=0.02；

P（B2）=0.4，P（A|B2）=0.03P（B1）=P（B1）P（A|B1）/P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=（0.6）（0.02）/（0.6）（0.02）+（0.4）（0.03）=0.53.4機率分配函數及其特徵值機率分配函數（ProbabilityDistributionFunction）可了解事件在機率空間中，其密度分佈的情況，或樣本在母體中出現的頻率的情形。

機率分配函數通常指累積機率分配函數（cdf,CumulativeProbabilityDistribution）以F（x）表示之，或機率密度函數（pdf,ProbabilityDensityFunction）分別以p（x）-離散型與f（x）-連續型表示之。

機率分配之性質x離散型：

（1）0p（xi）1所有xi值

（2）P（X=xi）=p（xi）所有xi值（3）p（xi）=1所有xi值x連續型：

（1）0f（x）

（2）P（axb）=f（x）dx（3）f（x）dx=1一個隨機變數X之累積機率分配函數F（x）定義為：

F（x）=P（Xx）F（x）表示隨機變數X之值小於或等於x的機率。

x1Xx2時P（x1Xx2）=F（x2）-F（x1）F（x）具有下列性質（a）F（x）是遞增函數，即若ab，則F（a）F（b）（b）limx-F（x）=0,limxF（x）=1（c）F（x）是右連續函數擲1骰子2次，令隨機變數X為2次點數之和x23456789101112p（x）1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36F（x）1/363/366/3610/3615/3621/3626/3630/3633/3635/361P（5X9）=F（9）F（5）=30/3610/36=20/36平均值、變異數與期望值一個機率分配的平均值是其集中趨勢。

其定義為=xf（x）dx連續型=xp（x）（所有x值）離散型亦可將平均值表示為隨機變數X的期望值（ExpectedValue）。

其定義為=EX=xf（x）dx連續型=EX=xp（x）（所有x值）離散型其中E代表為期望值運算子（ExpectedValueOperator）。

一個機率分配的變異數是其離散趨勢。

其定義為2=（x-）2f（x）dx連續型2=（x-）2p（x）（所有x值）離散型亦可將變異數以期望值表示。

其定義為2=E（x-）2另變異數的使用亦可定義為變異數運算子（VarianceOperator）V表示VX=E（x-）2=2有關隨機變數X之平均值與變異數2與常數c，則

（1）Ec=c

（2）EX=（3）EcX=cEX=c（4）Vc=0（5）VX=2=EX2-2（6）VcX=c22（7）EX1+X2=EX1+EX2=1+2（8）VX1+X2=VX1+VX2+2CovX1,X2其中CovX1,X2=E（X1-1）（X2-2）為隨機變數X1與X2之共變異數（Covariance）。

如X1與X2是獨立的，則CovX1,X2=0。

（9）VX1-X2=VX1-VX2+2CovX1,X2倘X1與X2是獨立的，則（10）VX1-X2=VX1+VX2=21+22（11）EX1X2=EX1EX2=12一般而言，X1與X2是否獨立（12）EX1/X2EX1/EX2範例：

每天大型生日蛋糕銷售量（X）銷售量012345機率0.10.10.20.30.20.1EX00.10.40.90.80.52.7EX200.10.82.73.22.59.3VX9.32.72=2.01範例：

投資電子股股票的投資報酬率（X）可能投資報酬率-10-6515機率0.10.30.40.2EX-1-1.8232.2E2X+32EX+3=2*2.2+3=7.4EX21010.8104575.8V2X+34（75.82.22）=283.84習題1、下列何種抽樣方法，抽樣作為估計群體誤差為最小

（1）單純隨機抽樣法

（2）系統抽樣法（3）分層隨機抽樣法（4）集體抽樣法（5）視情形。

2、亂數表0392182746579916965630，若在50件（編號0049）要抽5件時，則抽樣第5件之編號為（16）。

3、進貨50件，系統抽樣，要抽5件，若第一件為編號3，則第四件之編號為（33）。

4、一班學生50人之重量（群體/樣本）一桶溶液取一杯量來分析，一杯量為（群體/樣本）每批中取30個量測尺寸（群體/樣本）100箱（當抽樣數為5）該箱可視為（無限群體/有限群體）30箱（當抽樣數為5時）該箱可視為（無限群體/有限群體）5、亂數表0392182746579916965630，若在1000件（編號000999）要抽五件時，則抽樣第3件之編號為（274）6、不良品A類10件，B類3件，C類6件，D類2件，E類4件，繪製柏拉圖，則於柏拉圖內第三要項之累積不良比率（80%）。

A:

10/25=40%,B:

3/25=12%,C:

6/25=24%,D:

2/25=8%,E:

4/25=16%,（40+24+16）%=80%7、不良品A類10件，B類3件，C類6件，D類2件，E類4件，B類在百分比圖中之%為（12）。

8、同上，扇形圖A類之圖心角度（144）。

9、次數分配表之組中點為3.5，5.5，7.5，9.5，11.5試求組距

（2）。

10、直方圖向規格上下限伸展時，表示變異過大平均數過小平均數過大變異過小平均數過小，變異也變小。

11、一組數字1，4，7，9，Y其R值10求Y。

9-Y=10,Y=-1orY-1=10,Y=1112、23，21，22，20，X平均值23求X。

（23+21+22+20+X）/5=23,X=2913、1，3，5，7，9求樣本變異數及樣本標準差。

8,2

（2）0.514、某批取12個量測尺寸，其數據之特性必有（中位數/平均數/眾數）。

15、常態分配平均值3，標準差0.2，則2.63.4間之次數約佔全部次數之（95.45%）。

16、和中心值無關統計量（標準差/平方和/R值/平均偏差/變異數）。

17、寫出1至30中可被5整除之集合。

5,10,15,20,25,3018、集合B=XX2+6X+5=0求B=-1,-519、A=1，3B=3，5，6C=1，3，5，8AB=1,3,5,6AB=3A-B=120、樣本空間=1，2，3，4A=1，2B=3A=3,4A-B=1,2,（AB）=1,2,3=4,BA=33,4=321、某公司有五架同型電視機，內有二架故障，王小姐任意挑選二架，試寫出樣本空間=GG,GNG,NGG,NGNG22、一批製品有4個良品，3個疵品，自其中抽取二個時，其樣本空間以不良品數目表示時，其樣本空間為GG,GNG,NGG,NGNG=X|0,1,2。

23、一銅幣，其出現正反面之機會相等，擲一銅幣二次，樣本空間以正面出現次數表示，樣本空間為正正,正反,反正,反反=X|0,1,2。

24、某製程要控制溫度，原料及水份，今考慮有4種水準的溫度，5種原料及2種不同水份，則製造方法共有（4*5*2=40）種方法。

25、7題是非題總共有幾種答法。

26、求C（20，4）=4845；

C（100，3）=161700；

C（100，97）=16170027、從10件製品送驗批中，任取3件加以檢驗，選取的方法有多少種？

C（10,3）=12028、五男三女選4人組成委員會，可能組成若干委員會（2男2女）。

C（5,2）*C（3,2）=3029、撲克牌52張中，隨機取出4個，全部均為紅磚的機率（C（13,4）C（39,0）/C（52,4）=0.00264）。

30、投一個六面骰子，出現偶數的機率=（1/2）。

31、投二個六面骰子，出現和大於10機率=（1/12）。

32、P（A-B）=0.4P（AB）=0.7求P（B）=？

P（B）=0.333、設A，B為互斥事件P（A）=0.4P（B）=0.5P（AB）=（0.9）P（AB）=（0）P（A）=（0.6）P（AB）=（0.5）P（AB）=（0.4）。

34、P（A）=0.3，P（B）=0.4，P（AB）=0.7則P（AB）=（0）。

35、P（A）=0.4P（AB）=0.7P（B）=Y若A及B互斥事件則Y=（0.3）36、P（ABCD）寫出上列公式。

37、P（AB）=0.8P（B）=0.6P（A）=0.2P（AB）=（0）。

38、P（B）=0.6P（AB）=0.4P（AB）=（0.4/0.6=2/3）。

39、A，B，C互斥事件，互斥事件，P（A）=0.2P（B）=0.4P（C）=0.1求求P（A（BC）=（0.5）。

=P（BC）=P（B）+P（C）-P（BC）=P（B）+P（C）=0.1+0.440、A，B，C互斥事件，P（A）=0.2P（B）=0.4P（C）=0.1P（ACB）=（0.2+0.1）/0.6=1/2）41、P（B）=0.6P（AB）=0.4P（AB）=（2/3）42、A，B二罐子，A罐裝50個甜糖果，40個酸糖果，B罐裝60個甜糖果，30個酸糖果，今拿出一糖果並試出其為甜者，試問此糖從A罐取出之機率為何？

A：

取A罐之事件B：

取B罐之事件；

D：

甜糖果之事件；

甜糖果，從A罐取出之機率，即求P（AD）=P（AD）/P（D）P（D）=P（AD）+P（BD）=P（A）P（DA）+P（B）P（DB）=（1/2*50/90+1/2*60/90=11/18）P（AD）=P（AD）P（D）=（1/2*50/90）/（11/18）=5/11）43、設A和B互相獨立，P（A）=0.4，P（AB）=0.9則P（B）=（5/6）P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（B）P（A）0.9=0.4+P（B）-0.4P（B）P（B）=5/644、A，B獨立P（A）=13P（B）=12，A和B同時發生之機率=（1/6）45、P（A）=0.4P（AB）=0.7P（B）=Y若A，B為獨立事件則Y=（1/2）P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（B）P（A）0.7=0.4+P（B）-0.4P（B）P（B）=1/246、A打靶命中率0.9，B打靶命中率0.8，若P（A）=0.9P（B）=0.8，P（AB）=（0.72），則P（AB）=（0.9+0.8-0.8*0.9=0.98）47、某校IQ平均值110，標準差9，契畢懈夫定理計算至少含3/4IQ之區間。

（92,128）48、某校IQ平均值110，標準差9，謝比雪夫定理計算，（78.5，141.5）區間內次數之%。

（91.8%）49、常態分配平均值3，標準差0.2，則2.63.4間之次數約佔全部次數之（95.45%）。

若未知其分配型態則2.53.5間之次數約佔全部次數最少為（84%）。

50、致遠工管統計學期末考，到考學生100人，平均分數為55分，標準差為5分，試問考生分數在4070分間有幾人？

（a）謝比雪夫不等式，（b）常態分配。

51、假設隨機變異X之機率密度函數如下：

，試求P（x2）、EX，VX52、某天麻豆空氣污染指數是75，試問（a）依馬可夫不等式求其空氣污染指數大於100之機率？

（b）已知標準差為5，依謝比雪夫不等式求其空氣污染指數大於50，小於100之機率？

常用的機率分配與統計分配當獲得母體的樣本資料時，須從各種機率分配當中，選擇出最接近該母體的機率分配，使樣本資料與母體參數有最佳的推論與檢定能力。

常用的機率分配有：

離散型與連續型二大類。

3.5離散型機率分配離散型機率分配（p）-常見有二項分配、卜氏分配、離散型均勻分配、超幾何分配。

若一隨機實驗只有成功和失敗兩種結果，事件成功發生的機率為p，事件失敗發生的機率為1-p。

令隨機變數x=1代表成功的事件，x=0代表失敗的事件，