空间向量及其运算导学案参考答案.docx
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空间向量及其运算导学案参考答案
空间向量及其运算导学案参考答案
1.解析①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a
与b的方向不一定相同；
与A→1C1与A→1C1的方向相同，模也相等，应有A→C＝A→1C1；
④真命题．向量的相等满足递推规律；
⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C.
答案C
2.解方法一（ABCD）（ACBD）=ABCDAC+BD=AB+DC+CA+BD=（AB+BD）+（DC+CA）=AD+DA=0。
方法二（ABCD）（ACBD）=ABCDAC+BD=（ABAC）+（DCDB）=CB+BC=0。
3.解如图所示
BD=BA+AD=db,
BC=BA+AC=cb,
CD=CA+AD=dc,1
DM=1（DB+DC）
2
11
=（bd+cd）=（b+c2d）,
22
2
AQ=AD+DQ=d+DM,
3
11
=d+（b+c2d）=（b+c+d）.
33
4.证明∵E、H分别是AB、AD的中点
11
所以AE=1AB,AH=1AD,
22
1111
EH=AH-AE=ADAB=（ADAB）=BD
2222
1122
=（CD-CB）={CG-CF}
2233
33=（CGCF）=FG,∴四边形EFGH是梯形.
44
5.证明方法一如图所示.EF=EB+BA1+A1F
11
=B1BA1B+A1D1-
22
1
=（B1CA1B）。
方法二连结A1D、BD，取A1D中点G，
11
则有FGDD1，BEDD1，
22
∴FGBE.
∴四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD.
∴A1B，B1C，EF都与平面A1BD平行
∴A1B，B1C，EF共面.
6.解
（1）
EF·
11
BA=BD·|BD|BA=|BD|·|BA|·cos60
22
1
1,所以
4
EF·BA=1
4
1，
4
22
∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为32.
9.证明如图所示，设A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则a·b=0，b·c=0，c·a=0，
且|a|=|b|=|c|，
11
而A1O=A1A+AO=A1A+（AB+AD）=e+（a+b）,
22
BD=AD
AB=b–a,OG=OC+CG
1
12（a+b）-
11
=1（AB+AD）+1CC1
22
11
∴A1O·BD={c+a+b}·（b–a）
22
1
=c·（b–a）+（a+b）·（b–a）
=c·b-c·a+1（|b|2-|a|2
11111
A1O·OG={c+a+b}–{a+b-c}
22222
=41（|a|2+12|b|2）-21|c|2=0
A1OBD
∴A1OOGA1O平面BDG
BDOG=O
112
1）OP=21（ABAC）=12（6,3,4）={3,32,2},
223
则P点的坐标为{3，3，2）.
（2）设P（x,y,z）则，AP=（x–2,y+1,z–2）
1（AB-AC）=（3,3,-2）,22所以x=5,y=12,z=0,故P点坐标为（5，1，0）.
2
11.解
如图所示，建立空间直角坐标系
1，1）、G（0，34，0）
E（0，0，1）、F（1，1，0）、C（0，1，0）、C1（0，1，1）、B1（1，
222
1）EF
1
12，0）-（0，0，
11
12）={12，
1，
2，
1
12），
B1C=（0，1，0）-（1，1，1）=（-1，0，-1）
∴EF·B1C=1×（-1）+1×0+（-1）×（-1）=0
222
EF⊥B1C,即EF⊥B1C.
31
（2）∵C1G=（0,3,0）-（0,1,1）=（0,-1,-1）
44
∴|C1G|=417
又EF·C1G=1×0+1×（-1）
224
1+（-12）×（-1）=83,
|EF|=
cos〈EEF,C1G〉=EFC1G
|EF|?
|C1G|
51
17
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为51.
3）∵F（12，21，0）、H（0，78，21），
14
8
建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2），B1（2，3，2），E（1，3，0）.
∴AO1=（-2，0，2），
B1E=（1，0，2），
（2）由题意得O1D⊥AC，AD∥AC，∵C（0，3，0），设D（x,y,0）,
∴O1D=（x,y,2）,AD=（x2,y,0）,AC=（2,3,0）,
2x3y0,
∴x2y,23,
∴D（
18
13
13,0）∴|O1D|=|O1D|=（13）（13）413,
课后作业答案
1.答案B
解析如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；若a，b共线，则a，b,3a
－2b共线，当然也共面，故选B.
2.答案D
解析当a与b是共线向量时，A不正确，当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B不正确，若a、b不共线，则平面α内的向量都可用a、b表示，对空间向量不行，故C不正确，D正确，选D.
3.答案B
解析命题①③正确，命题②④不正确.因命题②中若a∥b，则p不能用a，b表示，命题④中，若M、A、B三点共线，则MP也不能用MA、MB表示.
4.答案B
5.答案C
解析因为PC=PA+AB+BC，所以PC2=PA2+AB2+BC2+2AB·BC=36+36+36+2×36cos60=144.
所以|PC|=12.
6.答案D
7.答案135
解析因为BA=（2，4，0），BC=（1，3，0），所以BA·BC=212+0=10，
|BA|=
（2）2（4）2025,
|BC|=
（1）232010,所以cos〈BA,BC〉=
BABC=10=2
|BA||BC|25102.所以∠ABC=135.
1
8.答案6
7
9.答案.
3
解析因为P、A、B、C四点共面，
所以OP=xOA+yOB+zOC，
47
且x+y+z=1，所以2++λ=1，得λ=
33
10.答案④
解析①中b为零向量时，a与c可以不共线，故①是假命题；②中a，b，c所在的直线其实不确定，故②是假命题；③中当a＝0，而b≠0时，则找不到实数λ，使b＝λa，故③是假命题；④中M是△ABC的重心，
故M在平面ABC上且在△ABC内，故④是真命题．
3
11.答案－2
解析由m⊥n，得（a＋b）·（a＋λb）＝0，a2＋λa·b＋a·b＋λb2＝0,18＋λ×32×4×cos135＋°32×4×cos1353
＋16λ＝0,4λ＋6＝0，λ＝－2.
111
12.答案2a＋4b＋4c
解析如下图由三角形法则，易得AB=OBOA=ba，
11
BC
=OC
OB=cb，
BD=
BC=（
cb），
22
1
1
AD=
AB+BD
=b
+
ca，
2
2
1
1
1
1
AE
=AD=
b+
c
a，
2
4
4
2
所以OE=OA
+AE=
a
+
11b+
1
ca=
1
a+
11
b+c.
44
2
2
44
13.解以直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A（0,0,0），B（2,0,0），C（2,2,0），D（0,2,0），P（0,0,2）．
∵E为AD中点，∴E（0，1，0）.
又F为PC中点，
∴EF=（1，
又PB=（2，
∴F（1，
0，1）.
0，2），
1，1）.
cos〈EF，PB〉=
121
（2）0
1144
90
∴〈EF·PB〉=90.
∴异面直线EF和PB所成角的大小为
解AB=（2，
1，3），AC=
1，3，2），
236
AB
1）∵cosθ=·AC=
|AB|?
|AC|
sinθ=3
sinθ=
∴S=|AB|·|AC|sinθ=73.
（2）设a=（x，y，z），
由|]a|=3，a⊥AB，a⊥AC可得
x2＋y2＋z2＝3x＝1x＝－1，
－2x－y＋3z＝0?
y＝1或y＝－1，x－3y＋2z＝0z＝1z＝－1.
∴a＝（1,1,1）或（－1，－1，－1）.
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