现代控制理论课后知识题目解析文档格式.docx

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11

一一X.+—U厶厶

既得

•11

写成矢量矩阵形式为:

R}

■■

■

"

IT

r2

x2

=

~T.

c

~c

~XJ

y=[0

r2o]

x.

1-3有机械系统如图1.29所示,W和M2分别受外力fi和f2的作用.求以Mi和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.

fl⑴

以弹簧的伸长度yi/y2质量块Mi,M2的速率eg作为状态变

量

即Xl=yi,X2=y2,X3=C1,X4=C2

根据牛顿定律，对Ml有：

=fi-ki（yi-y2）-Bi（ci-C2）

对M2有:

M2^=f2+ki（yi-y2）+Bi（ci-C2）-k2y2-B2C2

将X1,X2,X3/X4代入上面两个式子,得MlX3=fl-kl（Xl-X2）-Bl（X3-X4）

M2j4=f2+kl（Xl-X2）+Bl（X3-X4）-k2X2-B2X4

整理得A=X3

X2=X4

X3=—fl--^-Xi+A.X2--^-X3+A.X4

A/】A/】A/】A/】A/】

x412+—^Xi-—X2+—X3-—X4

M2m2m2m2

输出状态空间表达式为yi=ci=X3

y2=C2=X4

1-4两输入y,两输出儿，儿的系统，其模拟结构图如图1-30

所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵。

系统的状态空间表达式如下所示:

X2

-a2

~a5

一5

U

001x2

5-10

-A）=

-1

Cl6

0a5a4s+a5

s

Clr

s+cik

a台

b{

o-

Wilx（s）=（sI-A）^B=

6

i

a4

$+。

3

b2

-i

_0

0_

o'

a2

s+aY

a

s+a^

b2_

Wiiy（S）=C（sI-AylB=

s-1

ci2s+q

-10

0Cl5

a6

s+a5

5詁

xj

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

（1）y+5y+7y+3y=u+2u

（2）y+5y+7y+3y=w+3h+2m

列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的的模拟结构图。

（1）解:

由微分方程得:

系统的传递函数为W（s）二—

S+5J+7S+3

则状态空间表达式为：

xl

£

兀「010]|■叩「0「

x2=001x2+0ii

-3-7-51

禺L」LJL」

y=[210]x2

相应的模拟结构图如下:

□[231]兀

1-6已知系统传递函数⑴w（s）=

1O（S-1）

S（S+l）（S+3）

⑵“站点怎'

试求出系统的约旦标准型的实现

并画出相

应的模拟结构图

⑴由W（s）=

10（5-1）

5（5+1）（5+3）

可得到系统表达式为

\r

x3

尸[-10

100「x2

求得A的特征矢量

pl=

，P2=

-3

，P3=

9

则可构成变换矩附

■110_

T=[plp2p3]=-1-30

190

求得丁的逆矩阵M

r

计算得到变换都各矩阵分别为

1O

-

=|

.3.

CxT=[-20-400]

101

⑵忤）=号：

1）吕+二+二+3

5（5+2）（5+3）（S+3）・5+35+2s

_A_

10

y=

—

4-

00_

O

00

-20

/4_

u

1-7给定下列状态空间表达式

（c）SUMS®

（I）

o

1CM

^ri

J

im

cc

CM

II

—<

・x

•#

Q+S）（I+S）

（E+SWI

匚）

（I+S）（Z+S）（E+S）

E+sI—I

0E+sZ（e）oils

除⑸七w“（*

（二）（屮

飞+3）'

5+3

0一

-2（5+3）

5（5+3）

-5-5

5-1

（54-1）（5+2）

2

1

（$+3）（5+2）（$+1）

（s+3）

5（5+3）（25+1）（5+3）

叱iy（s）=C（sl-AflB=\O0I

G+3）

（25+1）（5+3）

（5+3）（54-2）（5+1）

（2$+1）（$+2）（$+1）

1-8求下列矩阵的特征矢量:

-21

-1-2

A的特征方程:

A+2-1

12+2

解之得:

A=-2+jz='

2-j;

当A=-2+j时z

-2

Pn

P21

=（・2+j）

Ph

P12

P22

解得:

P22令P12=1#得匕=

■J

（2）A=

01

-6-5

=才+52+6二0

\—"

2#=-3;

当心2时,北:

］吨:

P22=-3pi2/*^P12=1/得卩产［；

］

p2i=~2pn,令Pn=l,得P］=

解得：

010

（3）4=302

-12-7-6

A的特征方程

-2=才+6才+11/1+6=0

127

^5之^彳导：

A=—1,人=—2仏=—3

■0

o・

当A=-i时，

P2L

=

PZL

—12

-7-6

/Ai

Aiir1

Pzi=Pn=-Pn令A1=1

>

11'

■-f

（或令九=-1,得片=

Pzi

P31

（或令Pl2=1/得笃=

P32

L2J

0_

■/A：

'

Pq

=-2

-12

-7

-6

_Pn_

_lhi_

当A=-2时

p22=-2p12,p32=|p12

12'

■2'

P2=

-4

当人=-3时，

化3

=—3

P1Z

几3

p23=-3p13,p33=3p13

令“3=1

1・

p、=

P25

P33

（4）A=

12-1

-10-1

445

2-1-2

|2Z-A|=1A

-4-4

1=才-6才+152-10=0

A-5

OUE+y寸+&

UT長sfg皐g<

-謹

0X

-X

ex

□

諒迪怎[nls定芒托凶赧叵{（H頤荽屁KMS.6丄

驱匚舁d<

l>

-1

「£

I/S+E」

当心1时，

解之得P11=P21冷Pll=l,得Pl=；

1-2

=-3

解之得P21=-P22,令P21=l,得P2=

1一2-1一2

1-21-2

Lb=

故约旦标准型为Z二

（2）i

一1

T

zCT=[i

1]，

y二[1

i]Z

_41-2'

_xl_

■3r

102

27

1-13

53

X1

yl

120

二

_y2_

_011

A的特征方程囚-4|二才-7才+152-9=（几-3X/l-3）U-l）=O

解得人2=3/久3=1

当人=3时特征向量:

41-2

P"

=3

解之得P12=P21=P31,令Pll=l,得Pl=1

当肥二3时的广义特征向量，

+1

A_

|_i

解之得P12=P22+1,P22二P32,令P12=l,得P2=0

当人“时

解之得P13=0zP23=2P33,令P33=lz的Ps=2

「11

「010_

故T二

10

T~l=

-111

2-2-1

「310]

T_1B=

4

CT=

-15

■310_

_2

7■

030

X+

001

-3-

LAT二030

14'

03

Y=1—10.已知两子系统的传递函数阵叱⑸和光⑸分别为：

H〔（s）二s+1

巴⑸二芍3

S+1

试求两子系统串联连接时系统的传递函数,并讨论所得结果。

两子系统串联联接时,系统的传递函数阵W⑸二吧（S）叱⑸，得

W⑸二

■1

1■

s2+5s+l

5+3

5+4

54-1

5+2

（5+1）（5+3）

（5+2）（54-3）（5+4）

5+1

_s+l

s+2.

（5+1/

（5+1）（5+2）

两子系统并联联接时,系统的传递函数阵w⑸二叫（S）+巴（S）,得

5+15+2

5+35+4

cS+1

1c

0

——0

_5+2,

.s+1.

2s+4

（5+1）（5+3）（5+2）（5+4）

15+1

2s+6

串联联接时,由于前环节的输出为后一环节的输入,串联后等

效非线性环节特性与两环节的先后次序有关，故改变向后次序等效特性会发生改变。

并联联接时，系统的传递函数阵为两系统单独作用后的叠加。

1-11已知如图1-22（见教材47页）所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为

rii]

5+1S

o1

W2（s）=

5+2.

求系统的闭环传递函数阵。

1+31'

5+15+1

5+2S

5+25（5+3）

05+2

5+1J

[I+W^S）W2（s）r=

S

$+2.

叱（$）%（$）=

I+W^s）W（$）=/+

5+2

5+1

■?

$+2

-.1

w（5）=[/+VV.（$）Wr（5）rW.（5）=——

5+1__

（5+2）（5+1）

0—

1-12已知差分方程为:

y（k+2）+3y（k+1）+2y（k）=2u（k+1）+3u（k）试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数U的系数b（即控制列阵）为

■"

f1f0

Q）b=]⑵b=]

由差分方程得传递函数叽沪仝\=二+土

疋+3?

+2z+1z+2

化为并联型：

X（R+1）=1°

X（灯+：

u（k）

v—L1

）,（灯=[1止伙）ro11「o]化为能控标准型：

锹点）]2-3严叫/⑹

y伙）=[32]心）

第二章控制系统状态空间表达式的解

2-1试证明同维方阵A和B,当AB=BA时,0訂二严”，而当ABhBA日寸，严・器工严

证明:

由矩阵指数函数eA,=1+At+丄4干+•••+丄人屮十…

2!

k!

可彳导:

严＞=I+（4+B）t+丄（4+3）2尸+丄（人+3）313+...

3!

=I+（A+B）t+丄（才+的+加+庆）t2+…

+-（A3+A2B+ABA+AB2+BA2+BAB+B2A+B^）T+…

3!

eA,eBt=（Z+At+—A2t2+丄AY十•…）（/+Bt+丄〃‘亡十丄B’t'

十•…）

2!

=/+（A+B）t+丄（A'

+A2?

+B4+庆）t2+…

+-（A3+A2B+ABA+AB2+BA2+BAB+B2A+B^）/，+・••3!

将以上两个式子相减”得：

（BA-AB）t2±

右（BA2+ABA+B~A+BAB-2A2B+2AB2）AV十•…

显然,只有当AB=财时，才有严「■严严二°

即严—严；

否则严b八工严•严。

2-2试证本童2.2节中几个特殊矩阵的矩阵扌旨数函数式（2.17）,式（2.18），式（2.19）和式（2.20）成立。

证明：

（1）式（2.17）

由矩阵指数函数m+加十+必+吕必十…

可得:

eA,=I+At+—A2t2+—A3t3+•••

即得证。

（2）式（2.18）

可知，若存在非奇异变换阵T使得厂曲=A,^]A=TAT~l，且人凡，人…

是特征根可知

艾1昂卅Jt=oK!

T~l=T

（3）式（2.19）

Q1、

A10

若4为约旦矩阵，A=J=?

•i

・・1

0A1

由矩阵指数函数eA,=I+At±

-A2f+丄A¥

+...

（*）/

则A，=

2人

A2

...0

…0

••.2&

…

fA3

3盂

3入

…0

V

32;

3&

A3

3/1；

晋

、0

…巧

将以上所求得的4、…、A”代M）式，令嘗於“则

nA；

fU；

咗-3...

0'

可

MJ2...

碍

咗T...

V…

••

0...

第j块的状态转移矩阵:

-ps

w-H

f'

li二J

•••

•■

•o

CN

-o

•♦

-o_/

z**"

ai

礼

7£

rn

1s

<

•.

■•

•*

•V3

■o

-r

Xl

rsj

I

•<

、、

0」

?

（m—ls

rll

gl<

i（ells

0（ZL=CO

—Peia—Is

l<

斜

—3

I§

6—s8.SIbl

-el

Id）

8-b—^

H（pI3

b8l>

一：

Tffl

（O0Z）托（寸）

ols

=Z71[（5/-Af1]=严

由欧拉公式得：

严二[cos£

yrsm£

yr>

\-smcotcoscot

（010]

2-3已知矩阵A二oo1

2-54?

试用拉氏反变换法求严。

（与例2・3、