Dijkstra算法寻找有向图中最短路径Word格式.docx
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拓展边的操作一直执行到所有的d[v]都代表从s到v最短路径的花费。
这个算法经过适当的组织因而当d[u]达到它最终的值的时候，每条边（u,v）都只被拓展一次。
算法维护两个顶点集S和Q。
集合S保留了我们已知的所有d[v]的值已经是最短路径的值顶点，而集合Q则保留其他所有顶点。
集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从Q移动到S。
这个被选择的顶点是Q中拥有最小的d[u]值的顶点。
当一个顶点u从Q中转移到了S中，算法对每条外接边（u,v）进行拓展。
算法思想
设S为最短距离已确定的顶点集（看作红点集），V-S是最短距离尚未确定的顶点集（看作蓝点集）。
①初始化
初始化时，只有源点s的最短距离是已知的（SD（s）=0），故红点集S={s}，蓝点集为空。
②重复以下工作，按路径长度递增次序产生各顶点最短路径
在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证按路径权重递增的次序来产生各顶点的最短路径。
当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。
注意：
①若从源点到蓝点的路径不存在，则可假设该蓝点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。
②从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径；
s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，并记为SD（v）。
（3）在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集
根据按长度递增序产生最短路径的思想，当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是：
源点，红点1，红点2，…，红点n，蓝点k
距离为：
源点到红点n最短距离+<
红点n,蓝点k>
边长
为求解方便，设置一个向量D[0．．n-1]，对于每个蓝点v∈V-S，用D[v]记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点（若有中间点，则必为红点）的"
最短"
路径长度（简称估计距离）。
若k是蓝点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距离，即若D[k]=min{D[i]i∈V-S}，则D[k]=SD（k）。
初始时，每个蓝点v的D[c]值应为权w<
s，v>
，且从s到v的路径上没有中间点，因为该路径仅含一条边<
。
在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集是Dijkstra算法的关键
（4）k扩充红点集s后，蓝点集估计距离的修改
将k扩充到红点后，剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小，此时必须调整相应蓝点的估计距离。
对于任意的蓝点j，若k由蓝变红后使D[j]变小，则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径：
P=<
s，…，k，j>
且D[j]减小的新路径P只可能是由于路径<
s，…，k>
和边<
k，j>
组成。
所以，当length（P）=D[k]+w<
小于D[j]时，应该用P的长度来修改D[j]的值。
（5）Dijkstra算法
Dijkstra（G，D，s）{
//用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度
//以下是初始化操作
S={s}；
D[s]=0；
//设置初始的红点集及最短距离
for（alli∈V-S）do//对蓝点集中每个顶点i
D[i]=G[s][i]；
//设置i初始的估计距离为w<
s，i>
//以下是扩充红点集
for（i=0;
i<
n-1;
i++）do{//最多扩充n-1个蓝点到红点集
D[k]=min{D[i]：
alliV-S}；
//在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k
if（D[k]等于∞）
return；
//蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时，
//表示这些顶点的最短路径不存在。
S=S∪{k}；
//将蓝点k涂红后扩充到红点集
for（allj∈V-S）do//调整剩余蓝点的估计距离
if（D[j]>
D[k]+G[k][j]）
//新红点k使原D[j]值变小时，用新路径的长度修改D[j]，
//使j离s更近。
D[j]=D[k]+G[k][j]；
}
已经利用优先队列实现了查找最短路径长度的dijkstra算法，怎么回溯出最短距离路线上经过的点呢？
2011-5-2520:
47
提问者：
帝星卡卡22|浏览次数：
291次
//此程序成功找到了邻接矩阵中两点的最短距离长度，但是没有实现路径中经过的点的显示
#include<
iostream>
queue>
algorithm>
usingnamespacestd;
#defineINF200//最大距离表示节点之间不通
#defineMAXN1100
structway//放入优先队列Q中的结构体
{
ints;
//v->
s=d
intd;
//distance
booloperator<
（constwayk）const
returnk.d<
d;
//sortfromsmalltobig
}
};
intn;
intmap[MAXN][MAXN];
//存储邻接矩阵中节点间距离的数组
intpoint[MAXN][MAXN];
//point[i][j]存储节找到的点间最短距离的数组
voiddijk（intv）//找到节点v到每个点的最短距离point[v][i]
priority_queue<
way>
Q;
boolflag[MAXN]={false};
//flag[i]==1meansitisintheendpointset
waytemp,now;
now.s=v;
//初始化way的实例now，并将节点加入队列
now.d=0;
Q.push（now）;
point[v][v]=0;
//初始化最短距离
//prev[v]=0;
while（!
Q.empty（））
now=Q.top（）;
//队列重排列
Q.pop（）;
//使用优先队列的pop功能使已找到的最短距离节点出队列
if（flag[now.s]）
continue;
flag[now.s]=1;
for（inti=1;
=n;
i++）
if（!
flag[i]&
&
map[now.s][i]!
=INF&
point[v][i]>
point[v][now.s]+map[now.s][i]）//修改经过now.s到集合任意点上可达的最短距离
temp.s=i;
temp.d=point[v][now.s]+map[now.s][i];
point[v][i]=temp.d;
prev[v]=temp.s;
Q.push（temp）;
voidinit（）//初始化
inti,j;
inta,b,c;
prev=（int*）malloc（sizeof（int）*n）;
cout<
<
"
请输入邻接矩阵，权值间以空格分隔"
endl;
for（i=1;
i++）
for（j=1;
j<
j++）
point[i][j]=INF;
//初始化最短路径
scanf（"
%d"
&
map[i][j]）;
//输入邻接矩阵，200表示不通
intmain（）
intm;
请输入节点个数"
while（scanf（"
n）!
=EOF&
n!
=0）//输入节点个数
init（）;
dijk（i）;
//findminimaldistancebetweenvtoeachpointi
inta,b;
请输入起点a和终点b，以空格间隔"
%d%d"
a,&
b））
if（a==0&
b==0）
break;
else
printf（"
%d\n"
point[a][b]）;
//显示两点ab间最短路径距离
#include<
usingnamespacestd;
#defineINF200//最大距离表示节点之间不通
#defineMAXN1100
structway//放入优先队列Q中的结构体
{
s=d
//distance
（constwayk）const
{
//sortfromsmalltobig
}
};
intn;
intmap[MAXN][MAXN];
intpoint[MAXN][MAXN];
voiddijk（intv）//找到节点v到每个点的最短距离point[v][i]
//flag[i]==1meansitisintheendpointset
Q.empty（））
//使用优先队列的pop功能使已找到的最短距离节点出队列
if（flag[now.s]）
}
voidinit（）//初始化
i++）
j++）
//输入邻接矩阵，200表示不通
}
intmain（）
//findminimaldistancebetweenvtoeachpointi
b））
b==0）
else
return0;
这个算法是通过为每个顶点v保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。
Dijstra算法的基础操作是边的拓展：
初始化时，只有源点s的最短距离是已知的（SD（s）=0），故红点集S={s}，蓝点集为空。
在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证按路径权重递增的次序来产生各顶点的最短路径。
当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。
注意：
①若从源点到蓝点的路径不存在，则可假设该蓝点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。
②从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径；
根据按长度递增序产生最短路径的思想，当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是：
源点，红点1，红点2，…，红点n，蓝点k
为求解方便，设置一个向量D[0．．n-1]，对于每个蓝点v∈V-S，用D[v]记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点（若有中间点，则必为红点）的"
若k是蓝点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距离，即若D[k]=min{D[i]i∈V-S}，则D[k]=SD（k）。
初始时，每个蓝点v的D[c]值应为权w<
在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集是Dijkstra算法的关键
将k扩充到红点后，剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小，此时必须调整相应蓝点的估计距离。
对于任意的蓝点j，若k由蓝变红后使D[j]变小，则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径：
所以，当length（P）=D[k]+w<
//用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度
//以下是初始化操作
S={s}；
for（alli∈V-S）do//对蓝点集中每个顶点i
D[i]=G[s][i]；
//以下是扩充红点集
for（i=0;
D[k]=min{D[i]：
if（D[k]等于∞）
return；
//表示这些顶点的最短路径不存在。
S=S∪{k}；
for（allj∈V-S）do//调整剩余蓝点的估计距离
if（D[j]>
//新红点k使原D[j]值变小时，用新路径的长度修改D[j]，
//使j离s更近。
D[j]=D[k]+G[k][j]；
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