初三数第3讲 圆教师版Word文件下载.docx
《初三数第3讲 圆教师版Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初三数第3讲 圆教师版Word文件下载.docx(31页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![初三数第3讲 圆教师版Word文件下载.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-2/2/5518273b-8a07-4041-aa31-e90cebf9ccd1/5518273b-8a07-4041-aa31-e90cebf9ccd11.gif)
圆的切线垂直于过切点的半径.
知识点五、切线长定理
1.切线长:
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长,不是“切线的长”的简称.切线是直线,而非线段.
2.切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
切线长定理包含两个结论:
线段相等和角相等.
知识点六、三角形的内切圆
1.三角形的内切圆:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形的内心:
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆,但任意一个圆都有无数个外切三角形;
(2)解决三角形内心的有关问题时,面积法是常用的,即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半,即
(S为三角形的面积,P为三角形的周长,r为内切圆的半径).
(3)三角形的外心与内心的区别:
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC;
(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等;
(2)OA、OB、OC分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB;
(3)内心在三角形内部
知识点七、圆和圆的位置关系
1.圆与圆的五种位置关系的定义
两圆外离:
两个圆没有公共点,且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.
两圆外切:
两个圆有唯一公共点,并且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆相交:
两个圆有两个公共点时,叫做这两圆相交.
两圆内切:
两个圆有唯一公共点,并且除了这个公共点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆内含:
两个圆没有公共点,且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.
(1)圆与圆的位置关系,既考虑它们公共点的个数,又注意到位置的不同,若以两圆的公共点个数分
类,又可以分为:
相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交;
(2)内切、外切统称为相切,唯一的公共点叫作切点;
(3)具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等,否则两圆重合.
2.两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系:
设⊙O1的半径为r1,⊙O2半径为r2,两圆心O1O2的距离为d,则:
两圆外离
d>r1+r2
两圆外切
d=r1+r2
两圆相交
r1-r2<d<r1+r2(r1≥r2)
两圆内切
d=r1-r2(r1>r2)
两圆内含
d<r1-r2(r1>r2)
注意:
(1)这种数量关系既是性质又是判定;
(2)注意判定两圆相交时必须具备r1-r2<d<r1+r2,缺一不可;
(3)d=0时,两圆是同心圆;
(4)判定两圆位置关系的方法有二,定义或d与r1、r2的关系.
3.两圆相切的性质
思考:
相切两圆的连心线与两圆的切点有何关系?
因为圆是轴对称图形,对称轴是过圆心的直线,而对于两个圆来说,连心线是它们公共的对称轴,因此两圆组成的图形关于连心线对称,于是得到:
相切两圆性质:
若两圆相切,则切点一定在连心线上.
(1)区别“连心线”(形——直线)与“圆心距”(数量);
(2)也可以认为是:
相切两圆的圆心、切点在同一直线上;
(3)常见辅助线的方法是作连心线.
三、规律方法指导
对于本节的学习,应注意下面几个问题:
1.首先要掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的得出过程,结合相应图形得出各位置关系下的
d与r(R与r)之间的关系;
2.理解好切线的性质及判定,总结出判定切线常添加的辅助线:
(1)过圆心作切线的垂线;
(2)作出过
切点的半径;
3.明确“反证法”与一般证明方法的不同之外,掌握好用反证法证明问题的一般步骤;
4.每个知识点只有在真正理解的基础上才能够掌握并灵活应用.
经典例题讲解
【例题1】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:
AC平分∠DAB.
〖难度分级〗A类
〖试题来源〗经典例题
〖选题意图〗运用切线的性质定理解题
〖解题思路〗因为CD和⊙O切于C,可考虑连接OC.利用切线的性质定理可知OC⊥CD,由AD⊥CD,易知OC∥AD,于是有∠1=∠2,又∠1=∠3,因此有∠2=∠3.
〖参考答案〗
总结升华:
在解有关圆的切线问题时,常常连接过切点的半径,以便利用“圆的切线垂直于过切点的半径”这一性质.
【例题2】如图,P点是∠AOB的平分线OC上一点,PE⊥OA于E,以P为圆心,PE为半径作⊙P.求证:
⊙P与OB相切.
〖选题意图〗切线判定的练习
〖解题思路〗要证OB是⊙P的切线,且不知道是否有公共点,所以作PF⊥OB于F,只需证PF=PE即可.
证明:
如图,作PF⊥OB于F
∵OP平分∠AOB,且PE⊥OA
∴PF=PE,∴OB是⊙P的切线.
举一反三:
【变式1】已知:
如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°
,AD=AB+DC,AD是⊙O的直径.求证:
BC和⊙O相切.
思路点拨:
从已知条件不易判断直线BC与⊙O有没有公共点,所以不便利用判定定理“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”.联想到“和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”,考虑作辅助线OE⊥BC,垂足为E,只要证明OE等于⊙O的半径
AD即可.根据梯形中位线的性质定理和已知条件,这点不难证明.
如图,作OE⊥BC,垂足为E,
∵AB∥DC,∠B=90°
,
∴OE∥AB∥DC,
∵OA=OD,
∴EB=EC,
∴OE=
(AB+CD)=
AD
∴BC是⊙O的切线.
【变式2】如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB和CD相等,且AB与小圆切于点E.求证:
CD与小圆相切.
因为AB与小圆切于点E,联想切线的性质定理,若连接OE,则AB⊥OE.要证CD与小圆相切,而已知条件中并未明确CD和小圆是否有公共点,所以可作OF⊥CD,垂足为F.只要证明OF等于小圆的半径即可.因为AB、CD为大圆的弦,而且相等,而OE、OF分别为两弦的弦心距,因此有OE=OF,即OF等于小圆的半径.于是可得出证法.
连接OE,过O作OF⊥CD,垂足为F.
∵AB与小圆切于点E,∴OE⊥AB.
∵AB=CD,∴OE=OF.
也就是圆心O到CD的距离等于小圆的半径.
∴CD与小圆相切.
【例题3】.△ABC内接于⊙O,D为AB延长线上一点,且∠DCB=∠A,求证:
CD是⊙O的切线.
〖难度分级〗B类
〖解题思路〗要证CD是⊙O切线,且已知公共点C,所以连接OC,用判定定理,只需OC⊥CD,即证:
∠OCB+∠DCB=90°
.
方法一:
要证直角可利用直径所对圆周角是直角.
作直径CE,连接BE,则∠CBE=90°
∴∠E+∠OCB=90°
∵∠A=∠E,∠DCB=∠A
∴∠DCB+∠OCB=90°
∴OC⊥CD
∴CD是⊙O切线.
方法二:
此题也可采用圆周角定理.
连接OC、OB,设∠A=∠DCB=x,则
∠BOC=2x
∵OB=OC
∴∠OCB+∠DCB=90°
∴OC⊥CD,即CD是⊙O切线.
【变式1】如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,DE⊥AC于E,求证:
DE是⊙O的切线.
思路点拨:
要证DE是⊙O切线,且已知公共点D,所以连接OD,只需证OD⊥DE即可,又已知DE⊥AE,所以需证:
OD∥AC.
连接OD
∵OB=OD
∴∠B=∠ODB
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠ODB=∠C
∴OD∥AC
又∵DE⊥AC
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线.
此题中证明OD∥AC,还有另外方法:
连接OD、AD,∵AB是⊙O直径,∴AD⊥BC
∴BD=CD
又∵OB=OA
∴OD∥AC
∴DE是⊙O切线.
【变式2】如图,△ABC中,∠ACB=90°
,以AC为直径的⊙O,交AB于D,E为BC中点.求证:
DE是
⊙O切线.
要证DE是⊙O切线,且已知公共点D,所以连接OD,只需证∠ODE=∠OCB=90°
即可.
需证△ODE≌△OCE.
连接OD,OE
∵OA=OC,E为BC中点
∴OE∥AB
∴∠DOE=∠ADO
∠COE=∠A
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∴∠DOE=∠COE
∵OD=OCOE=OE
∴Rt△DOE≌Rt△COE
∴∠ODE=∠OCE
∵∠ACB=90°
∴∠ODE=90°
∴DE是⊙O的切线.
此题证明∠ODE=∠OCE还有另外证法
连接OD,CD
∵AC是⊙O直径
∴CD⊥AB
∵E为BC中点
∴ED=EC
∴∠EDC=∠ECD
又∵OD=OC
∴∠ODC=∠OCD
∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD
∴∠ODE=∠OCE=90°
【变式3】已知:
如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,求证:
DC是⊙O的切线.
因为AB是直径,BC切⊙O于B,所以BC⊥AB.要证明DC是⊙O的切线,而DC和⊙O有公共点D,所以可连接OD,只要证明DC⊥OD.也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角,所以只要证△ODC≌△OBC.这是不难证明的.
证
明:
连接OD.
∵OA=OD,∴∠1=∠2.
∵AD∥OC,∴∠1=∠3,∠2=∠4.
因此∠3=∠4.
又∵OB=OD,OC=OC,∴△OBC≌△ODC.
∴∠OBC=∠ODC.
∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°
∴∠ODC=90°
.∴DC是⊙O的切线.
【例题4】.已知,如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,若AB=7,AC=8,BC=9,求AD、BE、CF的长.
〖选题意图〗切线长定理的应用
〖解题思路〗AD、BE、CF的长都是⊙O的切线长,可以通过切线长定理建立方程而求解:
设AD=x,则BD=7-x.
解:
∵⊙O是△ABC的内切圆
∴AD=AF=x,BD=BE=7-x,CE=CF=8-x
∵BC=BE+CE
∴7-x+8-x=9
∴x=3
∴AD=3,BE=4,CF=5.
举一反三:
如图,PA,PB是⊙O的切线,A、B为切点,过
上的一点C作⊙O的切线,交PA于D,交PB于E.
(1)若∠P=70°
,求∠DOE的度数;
(2)若PA=4cm,求△PDE的周长.
根据切线长定理,要求∠DOE只需要求出∠AOB,而∠AOB+∠P=180°
.
连接OA、OB、OC
∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C
∴OA⊥PA,OB⊥PB,OC⊥DE,AD=CD,BE=CE
∴OD平分∠AOC,OE平分∠BOC
∵∠P+∠AOB=180°
,∠P=70°
∴∠DOE=55°
△PDE的周长=PD+PE+DE
=PD+AD+BE+PE
=PA+PB=8cm
此题的解答中推出两个重要结论:
(1)∠DOE=90°
-
∠P;
(2)△PDE的周长=PA+PB=2PA.
【变式2】已知:
如图,△ABC中,∠C=90°
,BC=4,AC=3,求△ABC的内切圆⊙O的半径r.
把⊙O的半径r与△ABC的边联系起来,可以通过切线的性质证明四边形ODCF是正方形,再利用切线长定理可求解.
解:
连接OD、OF
∵⊙O切△ABC的边BC、AC于点D、F
∴OD⊥BC,OF⊥AC
又∵∠C=90°
∴四边形ODCF是矩形
∵OD=OF
∴矩形ODCF是正方形
∴CD=CF=OD=r
∴BD=4-r,AF=3-r
∵AB切⊙O于E
∴BE=BD,AE=AF
∴BD+AF=AB
∴4-r+3-r=5
∴r=1
此题亦可采用:
面积变换求解.
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF
∵⊙O是△ABC的内切圆,
∴OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC
∵∠C=90°
,BC=4,AC=3
∴AB=5
∵S△AOB+S△BOC+S△AOC=S△ABC
即(3+4+5)r=3×
4
总结升华:
通过此题的求解过程,总结如下结论:
在Rt△ABC中,∠C=90°
,设BC=a,AC=b,AB=c,三角形内切圆半径为r
由第一种解法可知:
a-r+b-r=c
由第二种解法可知:
(a+b+c)r=a·
b
这均是计算直角三角形内切圆半径的重要结论.
那么由此两种表达式你可以验证一个什么重要定理呢?
请同学们试一试.
【变式3】已知:
如图,△ABC的内切圆⊙O切边AB、BC、AC于点D、E、F,且∠A=50°
,求∠DEF的度数.
因为∠DEF是圆周角,可以先求相应的圆心角∠DOF,由切线的性质,知OD⊥AB,
OF⊥AC,从而可求出∠DOF.
连接OD,OF
∵⊙O切AB于D,切AC于F
∴OD⊥AB,OF⊥AC
∴∠A+∠DOF=180°
∵∠A=50°
∴∠DOF=130°
此题还可由切线长定理和内心性质求解.
连接OB、OC
∵⊙O是△ABC的内切圆
∴OB平分∠ABC,BD=BE
∴OB⊥DE,∠OBC=
∠ABC
同理:
OC⊥EF,∠OCB=
∠ACB
∴∠BOC+∠DEF=180°
又∵∠BOC=180°
-(∠OBC+∠OCB)
∴∠DEF=65°
事实上,在此求解过程中可以得到如下结论:
(1)∠BOC=90°
+
∠A
(2)∠DEF=90°
【例题5】.已知相交两圆的半径分别为
和
,圆心距为d,试求d的整数值.
〖难度分级〗C类
〖选题意图〗利用两圆的位置关系的性质定理解题
〖解题思路〗对于半径分别为r1,r2的两圆相交,若圆心距为d,则|r1-r2|<d<r1+r2.
由已知:
即2<d<2
=
,而d为正整数
∴3≤d≤5
∴d的整数值为3,4,5.
【变式1】已知两圆的半径分别为r1,r2,圆心距为d,且满足r12-r22-2dr1+d2=0(r1>r2),试确定这两圆的位置关系.
欲找到r1,r2,d之间的关系,需将已知的r1,r2,d之间的二次方程,利用分解因式法降次.
r12-r22-2dr1+d2=0
(r12-2dr1+d2)-r22=0
(r1-d)2-r22=0
(r1-d+r2)(r1-d-r2)=0
r1+r2-d=0或r1-r2-d=0
即r1+r2=d或r1-r2=d(r1>r2)
∴这两个圆外切或内切.
想一想,若两圆内切,圆心距为3cm,其中一个圆的半径为5cm,则另一个圆的半径为_____.
提示:
解这类题注意不要丢解,若设另一个圆的半径为rcm,列含绝对值的方程|r-5|=3为好,解得r=8或r=2.
【变式2】如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=10
,AD、BC的长是方程x2-20x+75=0的两根,以D为圆心,AD长为半径的圆,和以C为圆心,BC长为半径的圆之间有怎样的位置关系?
问题转化为比较AD+BC与DC之间的大小关系.
x2-20x+75=0
解之得x=15或x=5
∵AD<BC
∴由已知,AD=5,BC=15
如图,作DE⊥BC于点E,由已知,则四边形ABED是矩形,
∴DE=AB=10
EC=BC-BE=BC-AD=15-5=10
∴DC=
=20
∴AD+BC=DC=20
∴这两个圆外切.
【课堂训练题】
1.如图,在长为25cm,宽为18cm的矩形ABCD中截下一个最大的⊙O2后,若想在剩余的材料中再截去一个最大的⊙O1,试求⊙O1的半径.
〖解题思路〗可设⊙O1的半径为rcm,利用已知条件,将问题转化为解直角三角形.
如图,连接O1O2,作O1E⊥AB于点E,O2F⊥AB于点F,O1G⊥O2F于点G,则四边形O1EFG是矩形.
∵⊙O2与矩形ABCD的三边相切,BC=18cm
∴
r2=O2F=FB=9cm
又∵⊙O1与AD、AB边相切;
∴r1=O1E=AE
设r1=xcm,则
O1G=EF=AB-(AE+FB)=(16-x)cm
∵⊙O1与⊙O2外切,
∴O1O2=r1+r2=(x+9)cm
在Rt△O1GO2中,∵O1O22-O2G2=O1G2
∴(x+9)2-(x-9)2=(16-x)2
整理得x2-68x+256=0
解之得x=64或x=4
又∵r<9,∴只有x=4
答:
⊙O1的半径为4cm.
2.如图,要想在半径为R的圆铁片内剪下四个相等的圆片,那么其半径r的最大值是多少?
〖解题思路〗思路点拨:
欲使四个相等的圆片最大,只要使这相邻小圆片分别两两外切,且都内切于已知圆.
AC=2(R-r),AB=2r
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AC=
AB
∴2(R-r)=2
r
R-r=
(
+1)r=R
∴r=
r的最大值为(
-1)R.
想一想,若还要在剩下的空余剪下五个小圆(如图),半径最大值是多少?
2r小=AC-2r=(2R-2r)-2r=2R-4r
.∴r小=R-2r=R-(
-1)R=(3-2
)R
3.已知:
如图所示,半圆O的直径为2R,分别以AO、OB为直径在半圆O内分别作半圆C和半圆F,若⊙D与⊙O内切,且分别与⊙C、⊙F外切,试求⊙D的半径r.
〖解题思路〗仍需要依据各圆之间的位置关系,将问题转化为解直角三角形.
如图,过D点作半径OE,则E为⊙D与⊙O的切点,分别连接CD、FD,则
CD=
+r,OD=R-r,OC=
∵DC=DF,CO=OF,∴OD⊥CF
∴CO2+OD2=CD2
即(
)2+(R-r)2=(
+r)2
整理得R2=3Rr
R.
课后自我检测
A类题:
1.已知⊙O的半径为3,A为线段PO的中点,则当OP=6时,点A与⊙O的位置关系为()
A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆外D.不能确定
2.三角形外接圆的圆心是()
A.三个内角平分线的交点B.三条边的中线的交点
C.三条边垂直平分线的交点D.三边的三条高的交点
3.下列说法:
①三点确定一个圆;
②一个三角形有且只有一个外接圆;
③一个圆有且只有一个内接三角形;
④三角形的外心是各边垂直平分线