初三数第3讲 圆教师版Word文件下载.docx

初三数第3讲 圆教师版Word文件下载.docx

《初三数第3讲 圆教师版Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三数第3讲 圆教师版Word文件下载.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

圆的切线垂直于过切点的半径.

知识点五、切线长定理

1．切线长：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.

2．切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

切线长定理包含两个结论：

线段相等和角相等.

知识点六、三角形的内切圆

1．三角形的内切圆：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

2．三角形的内心：

三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.

（1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

（2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即

（S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径）.

（3）三角形的外心与内心的区别：

名称

确定方法

图形

性质

外心（三角形外接圆的圆心）

三角形三边中垂线的交点

（1）OA=OB=OC；

（2）外心不一定在三角形内部

内心（三角形内切圆的圆心）

三角形三条角平分线的交点

（1）到三角形三边距离相等；

（2）OA、OB、OC分别平分

∠BAC、∠ABC、∠ACB；

（3）内心在三角形内部

知识点七、圆和圆的位置关系

1．圆与圆的五种位置关系的定义

两圆外离：

两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.

两圆外切：

两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.

两圆相交：

两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.

两圆内切：

两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.

两圆内含：

两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.

（1）圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分

类，又可以分为：

相离（含外离、内含）、相切（含内切、外切）、相交；

（2）内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；

（3）具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.

2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：

设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：

两圆外离

d＞r1+r2

两圆外切

d=r1+r2

两圆相交

r1-r2＜d＜r1+r2（r1≥r2）

两圆内切

d=r1-r2（r1＞r2）

两圆内含

d＜r1-r2（r1＞r2）

注意：

（1）这种数量关系既是性质又是判定；

（2）注意判定两圆相交时必须具备r1-r2＜d＜r1+r2，缺一不可；

（3）d=0时，两圆是同心圆；

（4）判定两圆位置关系的方法有二，定义或d与r1、r2的关系.

3．两圆相切的性质

思考：

相切两圆的连心线与两圆的切点有何关系？

因为圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线，而对于两个圆来说，连心线是它们公共的对称轴，因此两圆组成的图形关于连心线对称，于是得到：

相切两圆性质：

若两圆相切，则切点一定在连心线上.

（1）区别“连心线”（形——直线）与“圆心距”（数量）；

（2）也可以认为是：

相切两圆的圆心、切点在同一直线上；

（3）常见辅助线的方法是作连心线.

三、规律方法指导

对于本节的学习，应注意下面几个问题：

1．首先要掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的得出过程，结合相应图形得出各位置关系下的

d与r（R与r）之间的关系；

2．理解好切线的性质及判定，总结出判定切线常添加的辅助线：

（1）过圆心作切线的垂线；

（2）作出过

切点的半径；

3．明确“反证法”与一般证明方法的不同之外，掌握好用反证法证明问题的一般步骤；

4．每个知识点只有在真正理解的基础上才能够掌握并灵活应用.

经典例题讲解

【例题1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：

AC平分∠DAB．

〖难度分级〗A类

〖试题来源〗经典例题

〖选题意图〗运用切线的性质定理解题

〖解题思路〗因为CD和⊙O切于C，可考虑连接OC．利用切线的性质定理可知OC⊥CD，由AD⊥CD，易知OC∥AD，于是有∠1=∠2，又∠1=∠3，因此有∠2=∠3．

〖参考答案〗

总结升华：

在解有关圆的切线问题时，常常连接过切点的半径，以便利用“圆的切线垂直于过切点的半径”这一性质．

【例题2】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P.求证：

⊙P与OB相切.

〖选题意图〗切线判定的练习

〖解题思路〗要证OB是⊙P的切线，且不知道是否有公共点，所以作PF⊥OB于F，只需证PF=PE即可.

证明：

如图，作PF⊥OB于F

∵OP平分∠AOB，且PE⊥OA

∴PF=PE，∴OB是⊙P的切线.

举一反三：

【变式1】已知：

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°

，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：

BC和⊙O相切．

思路点拨：

从已知条件不易判断直线BC与⊙O有没有公共点，所以不便利用判定定理“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”．联想到“和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”，考虑作辅助线OE⊥BC，垂足为E，只要证明OE等于⊙O的半径

AD即可.根据梯形中位线的性质定理和已知条件，这点不难证明.

如图，作OE⊥BC，垂足为E，

∵AB∥DC，∠B=90°

，

∴OE∥AB∥DC，

∵OA=OD，

∴EB=EC，

∴OE=

（AB+CD）=

AD

∴BC是⊙O的切线．

【变式2】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆切于点E．求证：

CD与小圆相切．

因为AB与小圆切于点E，联想切线的性质定理，若连接OE，则AB⊥OE．要证CD与小圆相切，而已知条件中并未明确CD和小圆是否有公共点，所以可作OF⊥CD，垂足为F．只要证明OF等于小圆的半径即可．因为AB、CD为大圆的弦，而且相等，而OE、OF分别为两弦的弦心距，因此有OE=OF，即OF等于小圆的半径．于是可得出证法．

连接OE，过O作OF⊥CD，垂足为F．

∵AB与小圆切于点E，∴OE⊥AB．

∵AB=CD，∴OE=OF．

也就是圆心O到CD的距离等于小圆的半径．

∴CD与小圆相切．

【例题3】．△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，且∠DCB=∠A，求证：

CD是⊙O的切线.

〖难度分级〗B类

〖解题思路〗要证CD是⊙O切线，且已知公共点C，所以连接OC，用判定定理，只需OC⊥CD，即证：

∠OCB+∠DCB=90°

.

方法一：

要证直角可利用直径所对圆周角是直角.

作直径CE，连接BE，则∠CBE=90°

∴∠E+∠OCB=90°

∵∠A=∠E，∠DCB=∠A

∴∠DCB+∠OCB=90°

∴OC⊥CD

∴CD是⊙O切线.

方法二：

此题也可采用圆周角定理.

连接OC、OB，设∠A=∠DCB=x，则

∠BOC=2x

∵OB=OC

∴∠OCB+∠DCB=90°

∴OC⊥CD，即CD是⊙O切线.

【变式1】如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，求证：

DE是⊙O的切线.

思路点拨：

要证DE是⊙O切线，且已知公共点D，所以连接OD，只需证OD⊥DE即可，又已知DE⊥AE，所以需证：

OD∥AC.

连接OD

∵OB=OD

∴∠B=∠ODB

∵AB=AC

∴∠B=∠C

∴∠ODB=∠C

∴OD∥AC

又∵DE⊥AC

∴OD⊥DE

∴DE是⊙O的切线.

此题中证明OD∥AC，还有另外方法：

连接OD、AD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC

∴BD=CD

又∵OB=OA

∴OD∥AC

∴DE是⊙O切线.

【变式2】如图，△ABC中，∠ACB=90°

，以AC为直径的⊙O，交AB于D，E为BC中点.求证：

DE是

⊙O切线.

要证DE是⊙O切线，且已知公共点D，所以连接OD，只需证∠ODE=∠OCB=90°

即可.

需证△ODE≌△OCE.

连接OD，OE

∵OA=OC，E为BC中点

∴OE∥AB

∴∠DOE=∠ADO

∠COE=∠A

∵OA=OD

∴∠A=∠ADO

∴∠DOE=∠COE

∵OD=OCOE=OE

∴Rt△DOE≌Rt△COE

∴∠ODE=∠OCE

∵∠ACB=90°

∴∠ODE=90°

∴DE是⊙O的切线.

此题证明∠ODE=∠OCE还有另外证法

连接OD，CD

∵AC是⊙O直径

∴CD⊥AB

∵E为BC中点

∴ED=EC

∴∠EDC=∠ECD

又∵OD=OC

∴∠ODC=∠OCD

∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD

∴∠ODE=∠OCE=90°

【变式3】已知：

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：

DC是⊙O的切线．

因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．

证

明：

连接OD．

∵OA=OD，∴∠1=∠2．

∵AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．

因此∠3=∠4．

又∵OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．

∴∠OBC=∠ODC．

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°

∴∠ODC=90°

．∴DC是⊙O的切线．

【例题4】．已知，如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若AB=7，AC=8，BC=9，求AD、BE、CF的长.

〖选题意图〗切线长定理的应用

〖解题思路〗AD、BE、CF的长都是⊙O的切线长，可以通过切线长定理建立方程而求解：

设AD=x，则BD=7-x.

解：

∵⊙O是△ABC的内切圆

∴AD=AF=x，BD=BE=7-x，CE=CF=8-x

∵BC=BE+CE

∴7-x+8-x=9

∴x=3

∴AD=3，BE=4，CF=5.

举一反三：

如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过

上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.

（1）若∠P=70°

，求∠DOE的度数；

（2）若PA=4cm，求△PDE的周长.

根据切线长定理，要求∠DOE只需要求出∠AOB，而∠AOB+∠P=180°

.

连接OA、OB、OC

∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C

∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD=CD，BE=CE

∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC

∵∠P+∠AOB=180°

，∠P=70°

∴∠DOE=55°

△PDE的周长=PD+PE+DE

=PD+AD+BE+PE

=PA+PB=8cm

此题的解答中推出两个重要结论：

（1）∠DOE=90°

-

∠P；

（2）△PDE的周长=PA+PB=2PA.

【变式2】已知：

如图，△ABC中，∠C=90°

，BC=4，AC=3，求△ABC的内切圆⊙O的半径r.

把⊙O的半径r与△ABC的边联系起来，可以通过切线的性质证明四边形ODCF是正方形，再利用切线长定理可求解.

解：

连接OD、OF

∵⊙O切△ABC的边BC、AC于点D、F

∴OD⊥BC，OF⊥AC

又∵∠C=90°

∴四边形ODCF是矩形

∵OD=OF

∴矩形ODCF是正方形

∴CD=CF=OD=r

∴BD=4-r，AF=3-r

∵AB切⊙O于E

∴BE=BD，AE=AF

∴BD+AF=AB

∴4-r+3-r=5

∴r=1

此题亦可采用：

面积变换求解.

连接OA、OB、OC、OD、OE、OF

∵⊙O是△ABC的内切圆，

∴OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC

∵∠C=90°

，BC=4，AC=3

∴AB=5

∵S△AOB+S△BOC+S△AOC=S△ABC

即（3+4+5）r=3×

4

总结升华：

通过此题的求解过程，总结如下结论：

在Rt△ABC中，∠C=90°

，设BC=a，AC=b，AB=c，三角形内切圆半径为r

由第一种解法可知：

a-r+b-r=c

由第二种解法可知：

（a+b+c）r=a·

b

这均是计算直角三角形内切圆半径的重要结论.

那么由此两种表达式你可以验证一个什么重要定理呢？

请同学们试一试.

【变式3】已知：

如图，△ABC的内切圆⊙O切边AB、BC、AC于点D、E、F，且∠A=50°

，求∠DEF的度数.

因为∠DEF是圆周角，可以先求相应的圆心角∠DOF，由切线的性质，知OD⊥AB，

OF⊥AC，从而可求出∠DOF.

连接OD，OF

∵⊙O切AB于D，切AC于F

∴OD⊥AB，OF⊥AC

∴∠A+∠DOF=180°

∵∠A=50°

∴∠DOF=130°

此题还可由切线长定理和内心性质求解.

连接OB、OC

∵⊙O是△ABC的内切圆

∴OB平分∠ABC，BD=BE

∴OB⊥DE，∠OBC=

∠ABC

同理：

OC⊥EF，∠OCB=

∠ACB

∴∠BOC+∠DEF=180°

又∵∠BOC=180°

-（∠OBC+∠OCB）

∴∠DEF=65°

事实上，在此求解过程中可以得到如下结论：

（1）∠BOC=90°

+

∠A

（2）∠DEF=90°

【例题5】．已知相交两圆的半径分别为

和

，圆心距为d，试求d的整数值.

〖难度分级〗C类

〖选题意图〗利用两圆的位置关系的性质定理解题

〖解题思路〗对于半径分别为r1，r2的两圆相交，若圆心距为d，则|r1-r2|＜d＜r1+r2.

由已知：

即2＜d＜2

=

，而d为正整数

∴3≤d≤5

∴d的整数值为3，4，5.

【变式1】已知两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，且满足r12-r22-2dr1+d2=0（r1＞r2），试确定这两圆的位置关系.

欲找到r1，r2，d之间的关系，需将已知的r1，r2，d之间的二次方程，利用分解因式法降次.

r12-r22-2dr1+d2=0

（r12-2dr1+d2）-r22=0

（r1-d）2-r22=0

（r1-d+r2）（r1-d-r2）=0

r1+r2-d=0或r1-r2-d=0

即r1+r2=d或r1-r2=d（r1＞r2）

∴这两个圆外切或内切.

想一想，若两圆内切，圆心距为3cm，其中一个圆的半径为5cm，则另一个圆的半径为_____.

提示：

解这类题注意不要丢解，若设另一个圆的半径为rcm，列含绝对值的方程|r-5|=3为好，解得r=8或r=2.

【变式2】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=10

，AD、BC的长是方程x2-20x+75=0的两根，以D为圆心，AD长为半径的圆，和以C为圆心，BC长为半径的圆之间有怎样的位置关系？

问题转化为比较AD+BC与DC之间的大小关系.

x2-20x+75=0

解之得x=15或x=5

∵AD＜BC

∴由已知，AD=5，BC=15

如图，作DE⊥BC于点E，由已知，则四边形ABED是矩形，

∴DE=AB=10

EC=BC-BE=BC-AD=15-5=10

∴DC=

=20

∴AD+BC=DC=20

∴这两个圆外切.

【课堂训练题】

1．如图，在长为25cm，宽为18cm的矩形ABCD中截下一个最大的⊙O2后，若想在剩余的材料中再截去一个最大的⊙O1，试求⊙O1的半径.

〖解题思路〗可设⊙O1的半径为rcm，利用已知条件，将问题转化为解直角三角形.

如图，连接O1O2，作O1E⊥AB于点E，O2F⊥AB于点F，O1G⊥O2F于点G，则四边形O1EFG是矩形.

∵⊙O2与矩形ABCD的三边相切，BC=18cm

∴

r2=O2F=FB=9cm

又∵⊙O1与AD、AB边相切；

∴r1=O1E=AE

设r1=xcm，则

O1G=EF=AB-（AE+FB）=（16-x）cm

∵⊙O1与⊙O2外切，

∴O1O2=r1+r2=（x+9）cm

在Rt△O1GO2中，∵O1O22-O2G2=O1G2

∴（x+9）2-（x-9）2=（16-x）2

整理得x2-68x+256=0

解之得x=64或x=4

又∵r＜9，∴只有x=4

答：

⊙O1的半径为4cm.

2.如图，要想在半径为R的圆铁片内剪下四个相等的圆片，那么其半径r的最大值是多少？

〖解题思路〗思路点拨：

欲使四个相等的圆片最大，只要使这相邻小圆片分别两两外切，且都内切于已知圆.

AC=2（R-r），AB=2r

∵△ABC是等腰直角三角形

∴AC=

AB

∴2（R-r）=2

r

R-r=

（

+1）r=R

∴r=

r的最大值为（

-1）R.

想一想，若还要在剩下的空余剪下五个小圆（如图），半径最大值是多少？

2r小=AC-2r=（2R-2r）-2r=2R-4r

.∴r小=R-2r=R-（

-1）R=（3-2

）R

3.已知：

如图所示，半圆O的直径为2R，分别以AO、OB为直径在半圆O内分别作半圆C和半圆F，若⊙D与⊙O内切，且分别与⊙C、⊙F外切，试求⊙D的半径r.

〖解题思路〗仍需要依据各圆之间的位置关系，将问题转化为解直角三角形.

如图，过D点作半径OE，则E为⊙D与⊙O的切点，分别连接CD、FD，则

CD=

+r,OD=R-r,OC=

∵DC=DF，CO=OF，∴OD⊥CF

∴CO2+OD2=CD2

即（

）2+（R-r）2=（

+r）2

整理得R2=3Rr

R.

课后自我检测

A类题：

1．已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP=6时，点A与⊙O的位置关系为（）

A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆外D.不能确定

2．三角形外接圆的圆心是（）

A.三个内角平分线的交点B.三条边的中线的交点

C.三条边垂直平分线的交点D.三边的三条高的交点

3．下列说法：

①三点确定一个圆；

②一个三角形有且只有一个外接圆；

③一个圆有且只有一个内接三角形；

④三角形的外心是各边垂直平分线