光信息教学大纲文档格式.docx
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教学内容
教学
时数
教学方式
或手段
课后作业
思考题
练习题
一
函数与极限
14
讲授
√
二
导数与微分
12
三
中值定理与导数的应用
16
四
不定积分
五
定积分
10
六
定积分的应用
8
七
空间解析几何与向量代数
八
多元函数微分方法及其应用
九
重积分
十
曲线积分与曲面积分
十一
无穷级数
十二
微分方程
*
机动
3
合计
153
注:
第一学期第1-6章;
第二学期第7-12章
第一章函数与极限
【教学目的】
1.了解数列、函数的概念，了解函数主要特性以及基本初等函数的主要特性。
2.理解极限的概念，了解极限的ε-N，ε-δ，ε-X定义的含义，理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系，会利用极限定义证明某些简单的极限。
3.掌握极限的性质及四则运算法则。
4.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握用两个重要极限求极限的方法，知道Cauchy收敛准则。
5.理解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小替换求极限。
6.理解函数在一点处连续和间断的概念，知道函数的一致连续性概念。
7.了解初等函数的连续性，掌握讨论连续性的方法，会判别间断点的类型。
8.了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最值定理和介值定理），会用介值定理讨论方程根的存在性。
【重点难点】
重点：
极限概念，无穷小量，极限的四则运算，函数的连续性。
难点：
极限的定义，函数的一致连续性概念。
第一节函数
一、集合常量与变量
二、函数概念
三、函数的几种特性 四、反函数
第二节 初等函数
一、幂函数
二、指数函数与对数函数
三、三角函数与反三角函数
四、复合函数初等函数
五、双曲函数与反双曲函数
第三节数列的极限
一、数列的定义
二、数列的极限
三、数列极限的性质
第四节函数的极限
一、自变量趋于有限值时函数的极限
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
第五节无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大
第六节极限运算法则
一、无穷小的运算性质
二、极限运算法则
三、求极限方法举例
第七节极限存在准则两个重要极限
一、极限存在准则
二、两个重要极限
第八节无穷小的比较
一、无穷小的比较
二、等价无穷小代换
第九节函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
第十节连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的和、积及商的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
三、初等函数的连续性
第十一节 闭区间上连续函数的性质
一、最大值和最小值定理
二、介值定理
第二章导数与微分
1.理解导数与微分概念、导数几何意义及可微、可导与连续性之间的关系；
会用导数描述某些物理量。
2.掌握导数运算法则、求导基本公式；
理解高阶导数概念，熟练掌握计算初等函数的一、二阶导数（包括隐函数和参数式表示的函数）；
会求分段函数的导数和一些简单函数的n阶导数。
3.了解微分运算法则、一阶微分形式不变性和微分在近似计算中的应用；
会计算函数的微分。
导数和微分的概念；
复合函数微分法。
微分的概念；
隐函数及参数式二阶导数。
第一节 导数概念
一、引例
二、导数的定义
三、求导数举例
四、导数的几何意义
五、函数的可导性与连续性的关系
第二节函数的和、差、积、商的求导法则
一、函数和差的求导法则
二、函数积的求导法则
三、函数商的求导法则
第三节反函数的导数复合函数的求导法则
一、反函数的导数
二、复合函数的求导法则
第四节初等函数的求导问题双曲函数与反双曲函数的导数
一、初等函数的求导问题
二、双曲函数与反双曲函数的导数
第五节高阶导数
一、高阶导数概念
二、常用的高阶导数公式
第六节隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
一、隐函数的导数
二、由参数方程所确定的函数的导数
三、曲线的切线与切点和极点的连线间的夹角
四、相关变化率
第七节函数的微分
一、微分的定义
二、微分的几何意义
三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
第八节微分在近似计算中的应用
一、近似计算
二、微分在误差估计中的应用
第三章中值定理与导数的应用
1.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理；
了解柯西中值定理、泰勒中值定理；
会利用中值定理证明一些较为简单的数学问题。
2.掌握罗必达法则求极限的方法。
3.掌握利用导数判断函数单调性的方法；
会用导数判断函数图形（凹凸性、拐点、渐近线）。
4.理解极值概念；
掌握求函数极值的方法；
会求函数的最大值、最小值及其简单应用问题。
5.了解曲率和曲率半径概念，并会计算曲率和曲率半径。
拉格朗日中值定理，罗比达法则，极值及最大值、最小值。
泰勒定理，中值定理用于证明问题。
第一节中值定理
一、罗尔定理
二、拉格朗日中值定理
三、柯西中值定理
第二节洛必达法则
一、洛必达法则
二、未定式的极限
第三节泰勒公式
一、泰勒公式
二、麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
第四节函数单调性的判定法
一、函数单调性的判定法
二、函数单调性的应用
第五节函数的极值及其求法
一、函数的极值
二、函数极值的求法
第六节最大值、最小值问题
一、函数的最值
二、函数最值的应用
第七节曲线的凹凸与拐点
一、凹凸性的判别法
二、拐点的求法
第八节函数图形的描绘
一、曲线的渐近线
二、函数图形的描绘
第九节曲率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式
三、曲率圆与曲率半径
第十节方程的近似解
一、二分法
二、切线法
第四章不定积分
1.理解原函数、不定积分概念。
2.掌握不定积分性质及基本公式；
掌握用换元法及分部积分法计算有关函数的不定积分。
3.了解有理函数、简单无理函数、三角函数有理式的不定积分计算。
不定积分的概念，基本积分公式；
不定积分的换元积分法与分部积分法。
第一节不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
二、基本积分表
三、不定积分的性质
第二节换元积分法
一、第一类换元法
二、第二类换元法
第三节分部积分法
一、分部积分公式
二、分部积分举例
第四节几种特殊类型函数的积分
一、有理函数的积分
二、三角函数有理式的积分
三、简单无理函数的积分
第五节积分表的使用
一、积分表的结构
二、积分表的使用
第五章定积分
1.理解定积分概念及性质。
2.理解变上限的定积分函数及其求导公式；
掌握牛顿一莱布尼兹公式；
掌握用换元法及分部积分法计算有关函数的定积分。
3.了解两种类型的广义积分概念；
知道简单的广义积分的收敛问题；
会计算一些函数的广义积分。
4.了解定积分的近似计算方法。
定积分的概念，定积分的中值定理、牛顿—莱布尼兹公式；
积分上限函数及其导数、定积分的换元积分法。
第一节定积分概念
一、定积分问题举例
二、定积分定义
第二节定积分的性质中值定理
一、定积分的性质
二、中值定理
第三节微积分基本公式
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
二、积分上限的函数及其导数
三、牛顿—莱布尼茨公式
第四节定积分的换元法
一、定积分的换元公式
二、举例
第五节定积分的分部积分法
一、定积分的分部积分公式
第六节定积分的近似计算
一、矩形法
二、梯形法
三、抛物线法
第七节广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
第八节广义积分的审敛法
函数
一、无穷限的广义积分的审敛法
二、无界函数的广义积分的审敛法
三、
第六章定积分的应用
熟练掌握用定积分（微元法）表达和计算一些几何量（面积、某些体积、弧长等）及物理量（功、引力、水压力等）。
【重点难点】
定积分的元素法难点：
定积分应用问题。
第一节定积分的元素法
一、定积分的元素法
二、运用元素法的一般步骤
第二节平面图形的面积
一、直角坐标情形
二、极坐标情形
第三节体积
一、旋转体的体积
二、平行截面面积为已知的立体的体积
第四节平面曲线的弧长
一、平面曲线弧长的概念
二、直角坐标情形
三、参数方程情形
四、极坐标情形
第五节功水压力和引力
一、变力沿直线所作的功
二、水压力
三、引力
第六节平均值
一、函数的平均值
二、均方根
第七章空间解析几何与向量代数
1.理解空间直角坐标系和空间点的直角坐标；
理解向量概念，掌握向量的线性运算、点积、叉积、混合积运算及两个向量垂直、平行的条件；
理解向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式对向量作运算。
2.掌握平面及其方程和空间直线及其方程的求法；
掌握平面方程的三种形式；
点法式、一般式、截距式的相互转化方法，并能熟练地由平面方程写出平面的法线向量；
掌握直线方程的三种形式：
对称式、一般式、参数式的相互转化方法，并能熟练地由直线方程写出直线的方向向量。
3.理解曲面方程概念；
了解曲面及方程、空间曲线及方程；
掌握旋转曲面（以坐标轴为轴）、柱面（母线平行坐标轴）方程；
掌握常用二次曲面的方程及其图形。
向量的数量积与向量积、平面及其方程、空间直线及其方程。
平面和直线方程的建立，由平面、二次曲面围成的空间图形。
第一节空间直角坐标系
一、空间点的直角坐标
二、空间两点间的距离
第二节向量及其加减法向量与数的乘法
一、向量概念
二、向量的加减法
三、向量与数的乘法
第三节向量的坐标
一、向量在轴上的投影
二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
第四节数量积向量积混合积
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
三、向量的混合积
第五节曲面及其方程
一、曲面方程的概念
二、旋转曲面
三、柱面
第六节空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
第七节平面及其方程
一、平面的点法式方程
二、平面的一般方程
三、两平面的夹角
第八节空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角
四、直线与平面的夹角
五、杂例
第九节二次曲面
一、椭球面
二、抛物面
三、双曲面
第八章多元函数微分方法及其应用
1.理解多元函数概念；
了解二元函数的极限、连续概念；
了解有界闭域上连续函数性质。
2.理解偏导数、全微分概念；
熟练掌握偏导数、全微分计算；
了解全微分存在的充分条件和必要条件以及全微分在近似计算中的应用。
3.掌握多元复合函数的微分法（包括隐函数以及高阶偏导数情况）。
4.理解方向导数及梯度概念，掌握其计算法。
5.了解偏导几何应用（曲线的切线及法平面、曲面的切平面及法线），会求曲线的切线及法平面和曲面的切平面及法线方程。
6.理解多元函数极值概念；
掌握多元函数极值存在的必要条件；
了解二元函数极值存在的充分条件；
会求二元函数的极值，（一般函数的无条件极值，用拉格朗日乘数法求条件极值）；
会求简单多元函数的最大值、最小值，会解决简单的有关应用问题。
多元函数的概念、导数与全微分的概念、多元复合函数的求导法则；
多元函数的极值问题、方向导数与梯度。
第一节 多元函数的基本概念
一、区域
二、多元函数概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
二、高阶偏导数
第三节 全微分及其应用
一、全微分的定义
二、全微分在近似计算中的应用
第四节 多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数的求导法则
第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
二、方程组的情形
第六节 微分法在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数
二、梯度
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最大值最小值
二、条件极值拉格朗日乘数法
第九节 二元函数的秦勒公式
一、二元函数的泰勒公式
二、极值充分条件的证明
第十节 最小二乘法
一、最小二乘法
第九章重积分
1.理解二、三重积分概念，了解重积分性质。
2.掌握二重积分计算方法（直角坐标下，极坐标下）；
会计算三重积分（直角坐标下，柱，球面坐标下）。
3.会用重积分表达一些几何量（面积、体积、曲面面积等）与物理量（质量、重心、引力等）。
黎曼积分的概念、二重、三重积分、第一型线面积分的计算。
重积分化为累次积分的定限。
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、二重积分的换元法
第三节 二重积分的应用
一、曲面的面积
二、平面薄片的重心
三、平面薄片的转动惯量
四、平面薄片对质点的引力
第四节 三重积分的概念及其计算法
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算方法
第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
第六节 含参变量的积分
一、含参变量的积分
二、应用举例
第十章曲线积分与曲面积分
1.理解两类曲线积分概念；
了解两类曲线积分性质及它们的关系；
掌握两类曲线积分的计算。
2.掌握格林公式，会利用格林公式及与路径无关的条件计算某些对坐标的曲面积分；
会计算二元函数的全微分求积。
3.了解两类曲面积分概念和性质；
掌握两类曲面积计算。
4.理解高斯公式；
了解斯托克斯公式；
会利用高斯公式计算某些对坐标的曲面积分。
5.了解通量、散度、环流量、旋度概念，并会计算。
6.了解曲线、曲面积分的某些几何、物理应用：
能用曲线积分与曲面积分表达一些几何量与物理量。
第二型曲线积分的概念与计算、格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件；
第二型曲面积分的概念与计算、高斯公式、散度与旋度。
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
二、对弧长的曲线积分的计算法
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
二、对坐标的曲线积分的计算法
三、两类曲线积分之间的联系
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
三、二元函数的全微分求积
第四节 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质
二、对面积的曲面积分的计算法
第五节 对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
二、对坐标的曲面积分的计算法
三、两类曲面积分之间的联系
第六节 高斯公式通量与散度
一、高斯公式
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
三、通量与散度
第七节 斯托克斯公式环流量与旋度
一、斯托克斯公式
二、空间曲线积分与路径无关的条件
三、环流量与旋度
四、向量微分算子
第十一章无穷级数
1.理解级数收敛、发散概念；
理解级数收敛必要条件和级数的基本性质；
掌握几何级数、调和级数、P级数收敛性。
2.掌握正项级数的比较判敛法、比值判敛法、根值判敛法；
会用交错级数的来不尼兹定理判断交错级数敛散性。
3.了解级数的绝对收敛与条件收敛概念以及绝对收敛与收敛的关系。
4.了解函数项级数的收敛域及和函数概念；
掌握幂级数的收敛半径及收敛区间的求法；
了解幂级数在其收敛区间上的性质；
会求一些简单幂级数的和函数。
5.了解将函数展开为泰勒级数的充要条件；
掌握
、sinx、cosx、ln（1+x）、（1+x）m的麦克劳林展式并会利用其对某些函数作用间接泰勒展开；
了解幂级数在近似计算中的简单应用。
6.了解函数展开为付立叶级数的狄氏收敛定理；
会将函数展开成付立叶级数，会对一些函数作正弦展开和余弦展开。
无穷级数收敛与发散的概念、正项级数的比值审敛法；
幂级数的收敛区间，泰勒级数，函数展开为幂级数、函数在[-
]上展开为傅立叶级数。
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
二、收敛级数的基本性质
三、柯西审敛原理
第二节 常数项级数的收敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
第三节 幂级数
一、函数项级数的概念
二、幂级数及其收敛性
三、幂级数的运算
第四节 函数展开成幂级数
一、泰勒级数
二、函数展开成幂级数
第五节 函数的幂级数展开式的应用
二、欧拉公式
第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
一、函数项级数的一致收敛性
二、一致收敛级数的基本性质
第七节 傅里叶级数
一、三角级数三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
第八节 正弦级数和余弦级数
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
第九节 周期为2l的周期函数的傅里叶级数
一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数公式
第十节 傅里叶级数的复数形式
一、傅里叶级数的复数形式
第十二章微分方程
1.了解微分方程、通解、初始条件和特解等基本概念；
会识别微分方程的类型。
2.掌握可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程的求解法；
会用变量代换解伯努利方程；
会解简单的全微分方程。
3.了解几种特殊的高阶方程的解法；
理解二阶线性微分方程解的结构定理；
掌握二阶常系数线性齐次方程的求解；
会解自由项为特殊的两种情况下的二阶常系数线性非齐次微分方程。
4.了解微分方程的幂级数解法；
了解用微分方程解一些简单的几何、物理问题。
微分方程的一般概念、一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程、微分方程的建立与初始条件的列出；
函数的线性相关与线性无关的概念、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。
第一节 微分方程的基本概念
一、微分方程的基本概念
二、微分方程的解
第二节 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程定义
二、可分离变量的微分方程解法
第三节 齐次方程
一、齐次方程
二、可化为齐次的方程
第四节 一阶线性微分方程
一、线性方程
二、伯努利方程
第五节 全微分方程
一、全微分方程的形式
二、全微分方程的解
第六节 欧拉—柯西近似法
一、欧拉—柯西近似法
第七节 可降阶的高阶微分方程
一、y（n）=f（x）型的微分方程
二、y=f（x,y）型的微
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