中考二次函数压轴题专题分类训练Word格式文档下载.docx

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A（－4，0）、B

（2，0），与

轴交于点，顶点为

．（1，2）为线段

的中点，

的垂直平分线与

轴、

轴分别交于、．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点

D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当

K运动到什么位置时，

△EFK的面积最大？

并求出最大面积．

3．（2012铜仁）如图，已知：

直线yx3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c

经过A、B、C（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线yx3上有一点P,使ABO与ADP相似，

求出点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ADE的面积等于四边形APCE的面积？

如果存在，请求出点E的坐标；

如果不存在，请说明理由．

题型二：

构造直角三角形

【例2】

（2010山东聊城）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛

物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，

并求此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90o的点P的坐标．

1．（2012广州）如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左

侧），与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

2.（2009成都）在平面直角坐标系

xOy中，已知抛物线y=a（x1）2

c（a0）与x轴交于

A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为

M,若直线MC的函数表达式为

ykx3,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝

310。

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）在此抛物线上是否存在异于点

C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条

直角边的直角三角形？

若存在，求出点

P的坐标：

若不存在，请说明理由；

（3）过点A作x轴的垂线，交直线

MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线

与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度

向下最多可平移多少个单

位长度?

O1x

3.（2012杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点

A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．

（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的

取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值

4.如图

（1），抛物线yx2

x4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的

直线

与抛物线交于点

、.

（1）求点A的坐标；

（2）当b=0时（如图

（2）），

ABE与

ACE的面积大小关系如何？

当b

4时，上述关

系还成立吗，为什么？

（3）是否存在这样的b，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；

若不存在，说明理由.

图

（1）

图

（2）

第26题

题型三：

构造等腰三角形

【例3】如图，已知抛物线

）与x轴交于点

yaxbx

A（1

，

0）

B（

（

≠

和点

－，

与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上是否存在一点Q使得△ACQ为等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；

（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三

角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；

1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线

经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别

是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

2.如图，抛物线yax25ax4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴

上，点C在y轴上，且AC=BC．

（1）写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；

（2）探究：

若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；

不存在，请说明理由．

3．（2010黄冈）已知抛物线

yax2

bxc（a

0）顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线

上一点P（x，y）向直线y

M，连FM（如图）.

作垂线，垂足为

（1）求字母a，b，c的值；

（2）在直线x＝1上有一点F（1,3），求以PM为底边的等腰三角形

PFM的P点的坐标，并证

明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.

题型四：

构造相似三角形

【例4】

（2011临沂）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使

得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？

若存在，求出点P的坐标；

1.（2012天水）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？

点D的坐标及△DCA面积的最大值；

（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，

使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；

若

2.如图，二次函数的图象经过点D（0，73），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截

得的线段AB的长为6.

（1）求二次函数的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？

如果存在，求出点Q的坐标；

如果

【例5】

（2012苏州）如图，已知抛物线y=错误！

未找到引用源。

x2-错误！

（b+1）x+错误！

（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以

点P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，求出点P的坐标；

如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两

个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？

如果不存在，

请说明理由．

1.（2012上海宝山）如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），线段AB垂直于y轴，

垂足为B，将线段AB绕点A逆时针方向旋转

90°

，点B落在点C处，直线BC与x轴的交

于点D．

（1）试求出点

（2）试求经过

A、B、D三点的抛物线的表达式，

并写出其顶点E的坐标；

（3）在

（2）中所求抛物线的对称轴上找点F，使得

以点A、E、F为顶点的三角形与

△ACD相似．

（图7）

2．（

2012上海杨浦区）已知直线

1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕

点

顺时针旋转

，使点

落在点

yax

bxc过点A、D、

，点

，抛物线

，其对称轴与直线

交于点

（1）求抛物线的表达式；

（2）求∠POC的正切值；

（3）点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M的坐标。

3．（2012宁波）如图，二次函数

y=ax2

+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y

轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．

（2）点P在x轴正半轴上，且

PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以

M为圆心的圆与直线

AC相切，切点为H．

①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；

②若⊙M的半径为

，求点M的坐标．

题型五：

构造梯形

【例6】已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为（4,0），点C

的坐标为

，直线

（0，

2）

与边

相交于点

．

（1）求点D的坐标；

（2）抛物线y

ax2

c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；

（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？

若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；

1.已知平面直角坐标系

xOy

中，抛物线

＝

2－（＋1）

与直线

的一个公共点为

A（4，

8）．

（1）求此抛物线和直线的解析式；

（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交

（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；

（3）记

（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N

的坐标及梯形AOMN的面积．

2.（2011义乌）已知二次函数的图象经过

（2，0）、（0，12）

两点，且对称轴为直线

4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得

到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．

3.如图1，二次函数yx2

pxq（p0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C

（0，－1），△ABC的面积为5

（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？

若存在，求出点D的坐标；

题型六：

构造平行四边形

【例7】

（2010陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（—1，0），B（3，0），C

（0，—1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。

1．（2012成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象

与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．

（1）求m的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在

这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点E的坐标

及相应的平行四边形的面积；

（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不

平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，

并写出探究过程．

2.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过

（－4,0）

、（0,

－4）、（2,0）三点．

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点

M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关

于m的函数关系式，并求出

S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点

P、

、、

为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点

的坐标．

3.（2011威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），交y轴于

点E（0，﹣3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=﹣x+m过点C，交y轴于D点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；

（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

【例8】已知平面直角坐标系

（如图1），一次函数

的图像与

轴交于点

yx3

点M在正比例函数y3x的图像上，且MO＝MA．二次函数

y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函

数的图像上，点D在一次函数y

3x3的图像上，且四边形

ABCD是菱形，求点C的坐标．

1.将抛物线c1：

3x2

3沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．

（1）请直接写出抛物线c2的表达式；

（2）现将抛物线

1向左平移

个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为

，与

轴的交

点从左到右依次为

A、B；

将抛物线

c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶

点为，与

轴的交点从左到右依次为

、．

①当B、D是线段AE的三等分点时，求

m的值；

②在平移过程中，是否存在以点

、、、

为顶点的四边形是矩形的情形？

若存在，

ANE

请求出此时m的值；

题型七：

线段最值问题

【例9】

（2011菏泽）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，

且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

1.（2009山东省菏泽市）如图，已知抛物线

与

（0，3），与

y＝ax

＋bx＋c

轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的

坐标，并求出这个最短总路径的长．

OBCx

2.（2011广东深圳）如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）

（1）求抛物线的解析式

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若

直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H

四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；

若不存在，请说明理

由.

（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN

∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；

若不存在，

说明理由.

【能力提升】

1.（2011福州）

已知,如图11,二次函数yax2

2ax

（a0）

图象的顶点为H,与x轴

交于A、B两点（B在A点右侧）,点H、B关于直线l

3对称.

（1）求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;

（2）求二次函数解析式;

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动

点,连接HN、NM、MK,

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