数值分析插值上机报告含代码Word格式文档下载.docx
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多项式插值一般有两种方法，拉格朗日插值和牛顿插值。
个人认为，牛顿插值便于计算机实现，所以采用牛顿插值法来解决第一问。
但是牛顿插值公式并不十分直观，最好能将牛顿插值多项式化简。
为了化简多项式，我建立了一个多项式类，在进行多项加法和乘法时可以自动化简多项式，在逐步建立牛顿插值多项式时，该多项式会自动化为最简。
题目中还要
求在同一张图中画出原多项式和插值多项式，可以使用MFC进行画图，通过菜单选项来选择等分点的数量，然后程序会自动算出插值多项式并输出在屏幕上，接着会输出图形。
第二问：
第二问要求求出最大相对误差，本题较为特殊，其误差表达式恰好为一个多项式，所以求误差多项式后，逐点搜索该函数的绝对值的最大值。
第三问：
该问要求分析前两问所得结果，同时要求寻找更好的方法来插值。
本人使用了三次样条插值（边界条件为一阶导数相等）来求解该问题。
求三次样条函数的关键过程其实就是求解三对角方程，可以使用追赶法来求解该方程。
为了体现效果，也可以用MFC来画图，同时输出各段插值函数以及最大相对误差。
求解方法：
问题中用到的两个插值方法为牛顿插值和三次样条插值，解法与教科书中的一模一样，在此不再赘述。
程序设计：
1.牛顿插值
程序设计分为三步走：
设计多项式类在附录一的poly.h中设计牛顿插值函数在附录一的Newton_interpolation.h中设计MFC程序关键代码代码在附录一的MFC中
多项式类的声明如下：
typedefintdegree;
typedefdoublecoefficient;
//termrepresentspolynomialtermconsistingofitspowerandcoefficienttypedefstd:
:
pair<
degree,coefficient>
term;
classpolynomial{private:
//linerliststd:
list<
term>
poly;
public:
//defaultconstructorpolynomial（）{};
//copyconstructorpolynomial（constpolynomial//constructapolynomialconsistingofonlyonetermcoefficient*X^degree<
/term>
<
/degree,coefficient>
从声明中可以看到，该类使用STL中的list类型来存储多项式，还实现了多项式的加法和乘法，因为这两个运算在插值过程中大量使用。
类中最后一个操作是重载了（）运算符，该操作是计算多项式在x上的值，其实是为了计算最大相对误差和画图之用。
牛顿插值函数的过程大致为：
求出差商表
计算出插值公式
MFC设计过程中关键步骤有二，一为建立菜单供选择等分点数数目之用，在菜单处理函数中设置等分点个数并调用视图类的操作InValidate（）使当前画面无效，系统再自动调用OnDraw（）重绘图形。
其二为设计OnDraw（）函数，该函数为视图类的一个操作用于绘图，用户可以重载，在该函数中，输出插值函数，画出坐标系以及图形。
2.三次样条插值
三次样条插值函数基于以上的多项式类和线性方程组中的追赶法。
整个实现较为简单，在附录一中的Sample.h中。
为了考察插值效果，将样条插值的结果显示在MFC中，整个架构是也是通过菜单来选择等分点的数目，再显示图形及具体函数。
与牛顿插值一起整合在MFC中。
小程序的截图如下：
该图是牛顿插值法N=10时的情况，可通过菜单选择N的值
该图是三次样条插值N=10的情况，可通过菜单选择N的值
结果分析：
牛顿插值法的图如下：
N=2
N=4
N=6
N=8
N=10可以看到以下几点
1.随着N的增大，插值多项式的波动愈发剧烈，最后，除了插值点外，函数形状与原函数形状完全偏离。
此时发生了龙格（Runge）现象。
2.如果仔细观察最大相对误差（图中字太小，最好运行程序看一下）的话，发现误差不断增大，而且增速是变快的。
3.还可以看到，插值多项式只有偶次项，因为原函数函数是偶函数。
4.越偏离原点，插值函数与原函数的偏差越大。
这一点是多项式函数与原函数的性质造成的，原函数随着X的绝对值趋近无穷大而趋向于零，而多项式随着X的绝对值趋近无穷大而趋向于无穷大，所以两者的偏差会随着|X|的变大而变大。
这一点也反映在最大相对误差往往出现的靠近与?
1的地方。
由此看出，多项式插值时不宜选取次数太高的多项式，为了避免Runge现象，有效途径之一就是分段插值，其中效果比较好的是三次样条插值。
三次样条插值的图如下：
N=10
从上方五张图可以看到随着N的增大，样条插值多项式越来越接近原函数，到N=10的时候，两条曲线几乎难以分辨。
如果运行程序仔细看的话，最大相对误差也是逐渐趋向于零，实际上当N=10的时候，最大相对误差为0.033左右。
但是插值公式也越来越复杂，不易使用。
}
{v[i]=0.5/（2-0.5*v[i]）;
u[i]=（d[i]-u[i-1]*0.5）/（2-0.5*v[i-1]）;
for（inti=n-1;
ii--）m[i]=u[i]-v[i]*m[i+1];
m=dfp（low）;
m[n]=dfp（up）;
for（inti=1;
ii++）{polynomialtemp（0,fp（low+h*i-h）/h/h/h）;
temp*=（polynomial（0,-（low+h*i））+polynomial（1,1））;
temp*=（polynomial（1,2）+polynomial（0,h-2*（low+h*i-h）））;
S[i]+=temp;
temp=polynomial（0,fp（low+h*i）/h/h/h）;
temp*=（polynomial（0,-（low+h*i-h））+polynomial（1,1））;
temp*=（polynomial（1,-2）+polynomial（0,h+2*（low+h*i）））;
temp=polynomial（0,m[i-1]/h/h）;
temp*=（polynomial（1,-1）+polynomial（0,low+h*i））;
temp*=（polynomial（1,1）+polynomial（0,-（low+h*i-h）））;
temp=polynomial（0,m[i]/h/h）;
temp*=（polynomial（1,1）+polynomial（0,-（low+h*i）））;
MFC
voidCMFCView:
OnDraw（CDC*pDC）{CMFCDoc*pDoc=GetDocument（）;
ASSERT_VALID（pDoc）;
if（!
pDoc）return;
if（Newton）{polynomialp1;
p1=Newton_interpolation（f2,N,-1,1）;
CStringstr;
std:
stringss;
ostringstreamstrm;
strm
TextOutW（0,0,str）;
pDC-TextOut（0,25,str2）;
pDC-SetTextColor（RGB（255,0,0））;
str3.Format（L\最大相对误差在X=%f或%f时取得，RelativeError=%f\,p,-p,max）;
pDC-TextOut（0,50,str3）;
/p1;
>
pDC-SetTextColor（RGB（0,0,0））;
CRectrect;
GetClientRect（rect）;
pDC-SetViewportOrg（rect.Width（）/2,rect.Height（）*3/4）;
CRectrect1（420,110,-420,-410）;
pDC-Rectangle（rect1）;
pDC-MoveTo（-420,0）;
pDC-LineTo（420,0）;
pDC-MoveTo（0,110）;
pDC-LineTo（0,-410）;
for（doubled=-1;
dd+=0.1）{intposx=d*400,posy=0;
pDC-MoveTo（posx,posy）;
pDC-LineTo（posx,posy+4）;
str.Format（L\,d）;
pDC-TextOutW（posx,posy+6,str）;
for（doubled=-0.5;
dd+=0.1）{if（abs（d）0.01）{intposx=0,posy=-200*d;
pDC-LineTo（posx+4,posy）;
pDC-TextOutW（posx+6,posy,str）;
}}
CPenredpen,bluepen,greenpen;
CBrushgreenbrush;
redpen.CreatePen（PS_SOLID,2,RGB（255,0,0））;
bluepen.CreatePen（PS_SOLID,2,RGB（0,0,255））;
greenpen.CreatePen（PS_SOLID,1,RGB（0,255,0））;
greenbrush.CreateSolidBrush（RGB（0,255,0））;
pDC-SelectObject（redpen）;
doublex,y;
for（inti=0;
ii++）{x[i]=-1+0.02*i;
y[i]=-200/（1+25*x[i]*x[i]）;
x[i]*=400;
pDC-MoveTo（x,y）;
ii++）{pDC-LineTo（x[i],y[i]）;
pDC-MoveTo（x[i],y[i]）;
pDC-SelectObject（bluepen）;
y[i]=-200*p1（x[i]）;
}pDC-SelectObject（greenpen）;
pDC-SelectObject（greenbrush）;
for（doubleh=2.0/N,d=-1;
d1.05;
d+=h）{intposx=400*d,posy=-200*f2（d）;
pDC-Ellipse（CRect（posx-3,posy-3,posx+3,posy+3））;
}}else{CStringstr;
doubleh=2.0/N;
str.Format（L\当N=%d时三次样条的各段插值函数为\,N）;
pDC-TextOutW（0,0,str）;
vector
S（N+1）;
Sample（f2,df,N,-1,1,S）;
ii++）{std:
strm<
s[i];
ss="
strm.str（）;
"
cstringstr2（ss.c_str（））;
str2.appendformat（l\其中x∈[%3.2f,%3.2f]\,-1+h*i-h,-1+h*i）;
pdc->
TextOut（0,20*i,str2）;
}CRectrect;
pDC-SetViewportOrg（rect.Width（）/2+250,rect.Height（）*3/4）;
}for（doubled=-0.5;
}}CPenredpen,bluepen,greenpen;
/s[i];
/polynomial>
doublemaxpos=-1,maxerr=0,temp;
temp=S[i*N/101+1]（x[i]）;
if（abs（temp-f2（x[i]））/f2（x[i]）maxerr）{maxpos=x[i];
maxerr=abs（temp-f2（x[i]））/f2（x[i]）;
}y[i]=-200*temp;
pDC-SelectObject（greenpen）;
pDC-SetViewportOrg（0,20*N+20）;
str.Format（L\最大相对误差在\）;
str.AppendFormat（L\或%4.2f时取得,为%f\,maxpos,-maxpos,maxerr）;
Matrix.h
#pragmaonce
#include<
iostream>
cmath>
iomanip>
template<
classt>
classMatrix<
/class>
/iomanip>
/cmath>
/iostream>
{
private:
T**mat;
introw;
intcolumn;
//usedindestructorandassignmentoperatorvoiddestroy（）;
//constructordestructorandassignment//defaultconstructorMatrix（）:
mat（NULL）,row（0）,column（0）{};
//constructan*nidentitymatrixexplicitMatrix（intn）;
//constructam*nzeromatrixMatrix（intm,intn,Tdef=0）;
//copyconstructorMatrix（constMatrix//assignmentoperatorMatrixoperator=（constMatrix//destructor~Matrix（）{destroy（）;
};
//miscellaneousprocedures//returnthenumberofrowintRow（）{returnrow;
}//returnthenumberofcolumnintColumn（）{returncolumn;
}//returnthereferenceofM[m][n].Thiskindofgrammarislikematlab.Toperator（）（intm,intn）;
//overloadtheostreamtemplate<
classtype>
friendstd:
ostreamoperator（std:
ostreamos,Matrix<
type>
h）;
};
/type>
template<
voidMatrix<
t>
:
destroy（）{if（mat!
=NULL）{for（inti=0;
i<
row;
i++）{delete[]mat[i];
}mat;
row="
0;
column="
p>
<
/row;
i++）>
/t>
Matrix<
Matrix（intn）:
mat（NULL）,row（0）,column（0）{if（n=0）std:
cerr\<
std:
endl;
else{mat="
new"
t*[n];
for（inti="
i<
n;
i++）"
mat[i]="
t[n];
mat[i][i]="
1;
}<
/std:
i++）for（intj="
j<
j++）"
if（i!
="
j）"
mat[i][j]="
/n;
Matrix（intm,intn,Tdef）:
mat（NULL）,row（0）,column（0）{if（m0n0）{row=m;
column=n;
mat=newT*[m];
m;
i++）mat[i]="
j="
def;
/m;
Matrix（constMatrixM）:
mat（NULL）,row（0）,column（0）{if（M.mat!
=NULL）{mat=newT*[M.row];
m.row;
i++）{mat[i]="
t[m.column];
for（intj="
M.column;
M.mat[i][j];
}row="
M.row;
/m.row;
operator=（constMatrixM）{if（this!
=M）{destroy（）;
if（M.mat!
elsemat="
NULL;
column=0;
}}retur
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