人教A版高中数学同步辅导与检测选修44 模块综合评价.docx

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人教A版高中数学同步辅导与检测选修44模块综合评价

模块综合评价

（时间：

120分钟　满分：

150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．点M的直角坐标是（－1，），则点M的极坐标为（　　）

A.　　　　　　B.

C.D.（k∈Z）

解析：

点M的极径是2，点M在第二象限，故点M的极坐标是.

答案：

C

2．极坐标方程cosθ＝（ρ∈R）表示的曲线是（　　）

A．两条相交直线B．两条射线

C．一条直线D．一条射线

解析：

由cosθ＝，解得θ＝或θ＝π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线．

答案：

A

3．曲线ρcosθ＋1＝0关于直线θ＝对称的曲线的方程是（　　）

A．ρsinθ＋1＝0B．ρcosθ＋1＝0

C．ρsinθ＝2D．ρcosθ＝2

解析：

因为M（ρ，θ）关于直线θ＝的对称点是N，从而所求曲线方程为ρcos＋1＝0，即ρsinθ＋1＝0.

答案：

A

4．直线（t为参数）和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为（　　）

A．（3，－3）B．（－，3）

C．（，－3）D．（3，－）

解析：

将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，

得＋＝16，

所以t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，

因此AB的中点M对应参数t＝＝4，

所以x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，

故AB中点M的坐标为（3，－）．

答案：

D

5．化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程为（　　）

A．x2＋y2＝0或y＝1B．x＝1

C．x2＋y2＝0或x＝1D．y＝1

解析：

ρ（ρcosθ－1）＝0，ρ＝＝0或ρcosθ＝x＝1.

答案：

C

6．极坐标方程分别是ρ＝2cosθ和ρ＝4sinθ的两个圆的圆心距是（　　）

A．2　　　　B.　　　　C．5　　　　D.

解析：

ρ＝2cosθ是圆心为（1，0），半径为1的圆；ρ＝4sinθ是圆心为，半径为2的圆，所以两圆的圆心距是.

答案：

D

7．已知圆M：

x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M到直线（t为参数）的距离为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

由题意易知圆的圆心M（1，2），由直线的参数方程化为一般方程为3x－4y－5＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝2.

答案：

B

8．点M关于直线θ＝（ρ∈R）的对称点的极坐标为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

点M的直角坐标为＝，直线θ＝（ρ∈R），即直线y＝x，点关于直线y＝x的对称点为，再化为极坐标为.

答案：

A

9．极坐标方程（ρ－1）（θ－π）＝0（ρ≥0）和参数方程（θ为参数）所表示的图形分别是（　　）

A．直线、射线和圆B．圆、射线和双曲线

C．两直线和椭圆D．圆和抛物线

解析：

因为（ρ－1）（θ－π）＝0，所以ρ＝1或θ＝π（ρ≥0），ρ＝1表示圆，θ＝π（ρ≥0）表示一条射线，参数方程（θ为参数）化为普通方程为－x2＝1，表示双曲线．

答案：

B

10．已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），且它们总有公共点．则a的取值范围是（　　）

A.∪（0，＋∞）

B．（1，＋∞）

C.

D.

解析：

由已知得

则4（at－1）2＋（a2t－1）2＝4，

即a2（a2＋4）t2－2a（a＋4）t＋1＝0，

Δ＝4a2（a＋4）2－4a2（a2＋4）＝16a2（2a＋3）．

直线l与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0，

即a≥－.

答案：

C

11．已知圆锥曲线（θ是参数）和定点A（0，），F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF2的极坐标方程为（　　）

A．ρcosθ＋ρsinθ＝

B．ρcosθ－ρsinθ＝

C.ρcosθ＋ρsinθ＝

D.ρcosθ－ρsinθ＝

解析：

圆锥曲线为椭圆，c＝1，故F2的坐标为（1，0），直线AF2的直角坐标方程是x＋＝1，即x＋y＝，化为极坐标方程就是ρcosθ＋ρsinθ＝.

答案：

C

12．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝6sinθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，直线l的参数方程为（t为参数），则直线l与曲线C相交所得弦长为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0，

即x2＋（y－3）2＝9，

直线的直角坐标方程为x－2y＋1＝0，

因为圆心C到直线l的距离d＝＝，

所以直线l与圆C相交所得弦长为2＝

2＝4.

答案：

D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．在极坐标系中，点关于直线ρcosθ＝1的对称点的极坐标为________．

解析：

结合图形不难知道点关于直线ρcosθ＝1的对称点的极坐标为.

答案：

14．已知圆的渐开线的参数方程（φ为参数），当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为________．

解析：

当φ＝时，代入渐开线的参数方程，

得

x＝＋，y＝－，所以当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为.

答案：

15．若直线l的极坐标方程为ρcos＝3，曲线C：

ρ＝1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．

解析：

直线的直角坐标方程为x＋y－6＝0，曲线C的方程为x2＋y2＝1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax＝＋1＝3＋1.

答案：

3＋1

16．在直角坐标系Oxy中，椭圆C的参数方程为（θ为参数，a>b>0）．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝，若直线l与x轴、y轴的交点分别是椭圆C的右焦点、短轴端点，则a＝________.

解析：

椭圆C的普通方程为＋＝1（a>b>0），直线l的直角坐标方程为x－y－＝0，令x＝0，则y＝－1，令y＝0，则x＝，所以c＝，b＝1，所以a2＝3＋1＝4，

所以a＝2.

答案：

2

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．

解：

因为直线l的参数方程为（t为参数），由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.

同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.

联立方程组

解得公共点的坐标为（2，2），.

18．（本小题满分12分）在极坐标系下，已知圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：

ρsin＝.

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

解：

（1）由ρ＝cosθ＋sinθ，可得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

代入得⊙O：

x2＋y2－x－y＝0，

由l：

ρsin＝，得：

ρsinθ－ρcosθ＝，

ρsinθ－ρcosθ＝1，

又代入得：

x－y＋1＝0.

（2）由解得

又得ρ＝1，tanθ不存在，

又因为θ∈（0，π），则θ＝，

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.

19．（本小题满分12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．

解：

（1）由ρ＝2cosθ，

得：

ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即（x－1）2＋y2＝1，

所以曲线C的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1.

由得x＝y＋m，

即x－y－m＝0，

所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.

（2）设圆心到直线l的距离为d，

由

（1）可知直线l：

x－y－2＝0，

曲线C：

（x－1）2＋y2＝1，

圆C的圆心坐标为（1，0），半径1，

则圆心到直线l的距离为d＝＝.

所以|AB|＝2＝.

因此|AB|的值为.

20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．

（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；

（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．

解：

（1）由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝，

所以直线l的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，

从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

（2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1，

所以圆C的圆心为（1，0），半径r＝1.

因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，

所以直线l与圆C相交．

21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．

（1）求圆心的极坐标；

（2）求△PAB面积的最大值．

解：

（1）圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，

即（x－1）2＋（y＋1）2＝2.

所以圆心坐标为（1，－1），圆心极坐标为.

（2）直线l的普通方程为2x－y－1＝0，

圆心到直线l的距离d＝＝，

所以|AB|＝2＝，

点P到直线AB距离的最大值为＋＝，故最大面积Smax＝××＝.

22．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a>0）．在以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝4cosθ.

（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（2）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解：

（1）消去参数t得到C1的普通方程为x2＋（y－1）2＝a2，则C1是以（0，1）为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.

（2）曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，

由已知tanθ＝2，得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，

从而1－a2＝0，解得a＝－1（舍去）或a＝1.

当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．

所以a＝1.