专题3分式和二次根式.docx

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专题3分式和二次根式

专题三、分式和二次根式

1.分式的概念

分式：

如果两个整式相除，且除式中含有字母的代数式叫做分式.

有意义的条件：

分母不为零.

易错点：

分式的值为0的条件是分子为0，分母不为0，易忽视分母不为0这一条件.

基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

式子表示：

，（M≠0），其中A、B、M是整式.

2.通分与约分

通分：

利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母分式化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.

约分：

利用分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.

3.分式的运算

分式的乘法：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.

分式的除法：

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

分式的加减法：

（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后按照同分母的分式加减法进行计算.

分式的乘方：

把分子分母分别乘方.

.

混合运算：

先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，遇有括号先算括号里面的.

注意：

如果分子、分母是多项式，在运算中要进行多项式的因式分解.

易错点：

分式运算的结果要化成最简分式.

4.二次根式的概念

定义：

表示算术平方根,且根号内含有字母.为了方便起见,把一个数的算术平方根也叫二次根式.

注意:

二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.

5.最简二次根式的概念

同时满足：

（1）被开方数不含分母;

（2）被开方数中不含能开方的因数或因式，符合这两个条件的二次根式叫最简二次根式.

6.二次根式的性质

（1）

（2）

积的算术平方根：

.

商的算术平方根：

.

7.二次根式的运算

二次根式加减：

先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.

二次根式乘法：

（a≥0,b≥0）.

二次根式除法：

（a≥0,b>0）.

注意：

二次根式运算的最后结果应化为最简二次根式

分式

一、选择题

1.（2011浙江金华，7，3分）计算–的结果为（）

A.B.－C.－1D.1－a

2.（2011山东威海，8，3分）计算：

的结果是（）

A．B．C．D．

3.（2011四川南充市，8，3分）当分式的值为0时，x的值是（）

（A）0（B）1（C）－1（D）－2

4.（2011江苏苏州，7,3分）已知，则的值是

A.B.－C.2D.－2

5.（2011重庆江津，2，4分）下列式子是分式的是（）

A.B.C.D.

6.（2011江苏南通，10，3分）设m＞n＞0，m2＋n2＝4mn，则的值等于

A.2B.C.D.3

7.（2011山东临沂，5，3分）化简（x－）÷（1－）的结果是（）

A．B．x－1C．D．

8.（2011广东湛江11,3分）化简的结果是

ABCD1

9．（2010湖北孝感，6，3分）化简的结果是（）

A.B.C.D.y

10.（2011辽宁大连，11,3分）化简：

（）．

A．a－1B.a+1C.aD.1

二、填空题

1.（2011浙江省舟山，11，4分）当　　时，分式有意义．

2.（2011福建福州，14，4分）化简的结果是.

3.（2011山东泰安，22，3分）化简：

（-）÷的结果为。

4.（2011浙江杭州，15，4）已知分式，当x＝2时，分式无意义，则a＝，当a<6时，使分式无意义的x的值共有个．

5.（2011浙江湖州，11，4）当x＝2时，分式的值是

6.（2011福建泉州，14，4分）当=时，分式的值为零.

7.（2011山东聊城，15，3分）化简：

＝__________________．

8.（2011四川内江，15，5分）如果分式的值为0，则x的值应为．

9.（2011四川乐山15，3分）若m为正实数，且，=

10.（2011江苏盐城，13，3分）化简：

=．

三、解答题

1.（2011安徽，15，8分）先化简，再求值：

，其中x=－2．

2.（2011江苏扬州，19

（2）,4分）

3.（2011四川南充市，15，6分）先化简，再求值：

（－2）,其中x=2.

4.（2011四川重庆，21，10分）先化简，再求值：

（－）÷，其中x满足x2－x－1＝0．

5.（2011福建泉州，19，9分）先化简，再求值，其中．

6.（2011湖南常德，19，6分）先化简，再求值.

7.（2011湖南邵阳，18，8分）已知，求的值.

8.（2011广东株洲，18，4分）当时，求的值.

9.（2011山东济宁，16，5分）计算：

10.（2011重庆江津，21（3），6分）先化简,再求值:

其中·

11.（20011江苏镇江,18

（1）,4分）

（2）化简:

12.（2011山东枣庄，19，8分）先化简，再求值：

÷，其中x＝－5．

1-5CBBDB.6-9ABABA

填空题1、2、m3、x-64、6，25、16、27、8、－39、10.、x+3

解答题

1、解:

原式=.

2、解：

原式===

3、解：

方法一：

==

====

==

当=2时，==-1

方法二：

===

==

当=2时，==-1.

4、【答案】原式＝（－）÷＝÷

＝×＝

当x2－x－1＝0时，x2＝x＋1，原式＝1．

5、【答案】解：

原式4分

6分

当时，原式．9分

6、【答案】解:

7、【答案】解：

∵，∴x-1=1.

故原式=2+1=3

8、【答案】解：

原式=

当时，原式

9、【答案】原式=………………2分

=………………4分

=………………5分

10、【答案】（3）原式===1-x·

把代入得原式=1-=·

11、答案：

（2）原式=

12、解：

＝……………………2分

　　＝

　　＝,

当时，原式＝＝．

二次根式

一、选择题

1.（2011安徽，4，4分）设a=－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）

A．1和2B．2和3C．3和4D．4和5

2.（2011山东滨州，2，3分）若二次根式有意义,则x的取值范围为（）

A.x≥B.x≤C.x≥D.x≤

3.（2011山东菏泽，4，3分）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为

A．7B．－7C．2a－15D．无法确定

4.（2011山东济宁，1，3分）4的算术平方根是（）

A.2B.－2C.±2D.16

5.（2011山东济宁，5，3分）若，则的值为（）

A．1B．－1C．7D．－7

6.（2011山东日照，1，3分）（-2）2的算术平方根是（）

（A）2（B）±2（C）-2（D）

7.（2011山东泰安，7，3分）下列运算正确的是（）

A.=±5B.4-=1C.÷=9D.*=6

8.（2011山东威海，1，3分）在实数、、、中，最小的是（）

A．B．C．D．

9.（2011山东烟台，5,4分）如果，则（）

A．a＜B.a≤C.a＞D.a≥

10．（2011浙江杭州，1，3）下列各式中，正确的是（）

A．B．C．D．

填空题

1.（2011安徽芜湖，14，5分）已知、为两个连续的整数，且，则．

2.（2011江苏扬州，10,3分）计算：

=

3.（2011山东德州12,4分）当时，=_____________．

4.（2011湖北省随州市，13，4分）要使式子有意义，则a的取值范围为

5.（2011山东日照，15，4分）已知x，y为实数，且满足=0，那么x2011-y2011=．

6.（2011山东威海，13，3分）计算的结果是．

7.（2011山东枣庄，16，4分）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：

a※b=，如3※2=．那么8※12=．

8.（2011江苏泰州，9，3分）16的算术平方根是．

9．（2011台湾台北，4）计算＋_______________.

10.（2011内蒙古包头，15，3分）化简二次根式：

等于

解答题

1.（2011山东日照，18，6分）化简，求值：

），其中m=．

2.（2011四川宜宾,17⑴,5分）计算：

3.（2011湖北黄石，18，7分）先化简，后求值：

（）·（），其中

4.（2011广东珠海，20，9分）（本题满分9分）阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+），善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b=（m+n）（其中a、b、m、n均为正整数）,则有a+b=m2+2n2+2mn,

∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）,用含m、n的式子分别表示a、b，得：

a=，b=；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：

+

=（＋）；

（3）若a+4=（m+n），且a、m、n均为正整数，求a的值.

5.（2011内蒙古呼和浩特市，17

（1）,5分）计算：

1--5CCAAC6--10ADABB

1、112、3、4、a≥－2且a≠05、-2；6、37、－8、49、510、－2

1、原式=

=

==

==．

∴当m=时，原式=．

2、解：

原式==

3、解：

原式＝＝x·y=（+1）（-1）=1

4、解：

（1）a=m2+3n2b=2mn

（2）4,2,1,1（答案不唯一）

（3）根据题意得，∵2mn=4，且m、n为正整数，

∴m=2，n=1或m=1，n=2.∴a=13或7.

5、解：

原式=………………………………………（4分）

=………………………………………（5分）