完整版相似三角形性质与判定专项练习30题有答案.docx

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完整版相似三角形性质与判定专项练习30题有答案

相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案）　

1．已知：

如图,在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG,∠CDG=∠BAD．

（1）求证:

=;

（2）当GC⊥BC时，求证：

∠BAC=90°．

2．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足．

（1）求证：

AC2=AF•AD；

（2）联结EF，求证：

AE•DB=AD•EF．

3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC．

（1）求证：

△APC∽△ACB；

（2）若AP=2，PC=6，求AC的长．

4．如图，在平行四边形ABCD中,过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点,且∠BFE=∠C．

（1）求证:

△ABF∽△EAD；

（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．

5．已知：

如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．

求证:

AB•BC=AC•CD．

6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC,点E、F在AB上，∠ECF=45°,设△ABC的面积为S，说明AF•BE=2S的理由．

7．等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF，BE相交于点P．

（1）若AE=CF;

①求证：

AF=BE，并求∠APB的度数；

②若AE=2，试求AP•AF的值;

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长．

8．如图所示,AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高,求证:

=．

9．已知:

如图，在△ABC中,AB=AC，DE∥BC,点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．

求证：

（1）△DEF∽△BDE；

（2）DG•DF=DB•EF．

10．如图,△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点,E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？

11．如图，AB和CD交于点O，当∠A=∠C时,求证：

OA•OB=OC•OD．

12．如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB,交AB的延长线为F．

（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．

（2）证明:

△BEF∽△ABC，并求出相似比．

13．已知：

如图，△ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2=BD•BA．

（1）求证：

△CED∽△ACD；

（2）求证：

．

14．如图,△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上,点G是BE边上一点，且∠BAD=∠BGD=∠C，联结AG．

（1）求证：

BD•BC=BG•BE；

（2）求证：

∠BGA=∠BAC．

15．已知：

如图,在△ABC中,点D是BC中点，点E是AC中点,且AD⊥BC,BE⊥AC，BE，AD相交于点G,过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，DF=6．

（1）求AE的长；

（2）求的值．

16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD中点，且∠AMD=∠BMD，AP∥CD交BC延长线于P点，延长BM交PA于N点,且PN=AN．

（1）求证:

MN=MA；

（2）求证：

∠CDA=2∠ACD．

17．已知：

如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得∠CAD=∠B,DC=3且S△ACD：

S△ADB﹦1﹕2．

（1）求AC的值；

（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处,AE交边BC于点F，且AB∥DE,求的值．

18．在△ABC中，D是BC的中点,且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．

（1）求证：

△ABC∽△FCD;

（2）若DE=3，BC=8,求△FCD的面积．

19．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E．

（1）求证：

∠BAD=∠FDE；

（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB=6,AE=5时，求线段AG的长．

20．如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P,Q分别从A，B同时出发,经几秒,使△PBQ的面积等于8cm2？

（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒,使△PCQ的面积等于12.6cm2?

21．已知：

如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点,将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE,延长ED交AC于点F，连接DC、AE．

（1）求证：

△ADE≌△DFC；

（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；

（3）若BG=,CH=2,求BC的长．

22．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,BE∥BC交AC于点E．

（1）求证：

AE•BC=AC•CE；

（2）若S△ADE：

S△CDE=4：

3。

5，BC=15，求CE的长．

23．如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

（1）求证:

AC2=AB•AD；

（2）求证：

CE∥AD；

（3）若AD=4,AB=6，求的值．

24．在△ABC中,∠CAB=90°，AD⊥BC于点D,点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

（1）如图1，AC：

AB=1:

2,EF⊥CB,求证：

EF=CD．

（2）如图2,AC:

AB=1：

，EF⊥CE,求EF：

EG的值．

25．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．

（1）求证：

BF=2FP;

（2）设△ABC的面积为S,求△NEF的面积．

26．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC,

（1）求证：

；

（2）求∠EDF的度数．

27．如图，△ABC是等边三角形,且AB∥CE．

（1）求证：

△ABD∽△CED；

（2）若AB=6，AD=2CD，

①求E到BC的距离EH的长．

②求BE的长．

28．如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E,CC′的延长线交BB′于点F．

（1）若AC=3，AB=4，求；

（2）证明：

△ACE∽△FBE；

（3）设∠ABC=α,∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由．

29．如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：

（1）△ABD∽△ECA；

（2）BC2=DB•CE．

30．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC=CD=,又E，D为CB的三等分点．

（1）证明：

△ADE∽△BDA；

（2）证明：

∠ADC=∠AEC+∠B;

（3）若点P为线段AB上一动点,连接PE,则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？

请说明理由．

相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案:

1．解：

（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，

且∠CDG=∠BAD，

∴∠ADG=∠B；

∵∠BAC=∠DAG,

∴△ABC∽△ADG，

∴=．

（2）∵∠BAC=∠DAG，

∴∠BAD=∠CAG；

又∵∠CDG=∠BAD，

∴∠CDG=∠CAG，

∴A、D、C、G四点共圆,

∴∠DAG+∠DCG=180°；

∵GC⊥BC,

∴∠DCG=90°,

∴∠DAG=90°，∠BAC=∠DAG=90°．

2．解：

（1）如图，∵∠ACB=90°，CF⊥AD，

∴∠ACD=∠AFC,而∠CAD=∠FAC,

∴△ACD∽△AFC，

∴，

∴AC2=AF•AD．

（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴∠AEC=∠AFC=90°，

∴A、E、F、C四点共圆,

∴∠AFE=∠ACE;而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，

∴∠ACE=∠B,∠AFE=∠B；

∵∠FAE=∠BAD，

∴△AEF∽△ADB，

∴AE:

AD=BD:

EF,

∴AE•DB=AD•EF．

3．解：

（1）∵PB=PC，

∴∠B=∠PCB；

∵PC平分∠ACB,

∴∠ACP=∠PCB，∠B=∠ACP，

∵∠A=∠A，

∴△APC∽△ACB．

（2）∵△APC∽△ACB,

∴，

∵AP=2，PC=6，AB=8，

∴AC=4．

∵AP+AC=PC=6,

这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，

∴该题无解．

4．

（1）证明：

∵AD∥BC,

∴∠C+∠ADE=180°，

∵∠BFE=∠C，

∴∠AFB=∠EDA,

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠AED，

∴△ABF∽△EAD；

（2）解：

∵AB∥CD，BE⊥CD，

∴∠ABE=90°，

∵AB=4，∠BAE=30°，

∴AE=2BE，

由勾股定理可求得AE=　

5．证明：

∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=∠C，

∴BD=CD，

在△ABD和△ACB中，，

∴△ABD∽△ACB,

∴=，

即AB•BC=AC•BD，

∴AB•BC=AC•CD．　

6．证明：

∵AC=BC，

∴∠A=∠B，

∵∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，

∵∠ECF=45°，

∴∠ECF=∠B=45°,

∴∠ECF+∠1=∠B+∠1,

∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；

∴∠BCE=∠2，

∵∠A=∠B,

∴△ACF∽△BEC．

∴，

∴AC•BC=BE•AF，

∴S△ABC=AC•BC=BE•AF，

∴AF•BE=2S．

7．

（1）①证明：

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°,

又∵AE=CF,

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（SAS），

∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．

又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，

∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．

∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．

②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，

∴，即,所以AP•AF=12

（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．

①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°,

∴∠AOB=120°，

又∵AB=6,

∴OA=,

点P的路径是．

②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度;因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：

．

所以，点P经过的路径长为或3．

8．证明：

∵AD,BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，

∴∠D=∠E=90°,

∵∠ACD=∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴=．　

9．证明：

（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB,

∵DE∥BC，

∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．

∴∠BDE=∠CED，

∵∠EDF=∠ABE，

∴△DEF∽△BDE；

（2）由△DEF∽△BDE，得．