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1.整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到；

2.部分变量要求是整数的规划问题称为纯整数规划；

3.求最大值问题的目标函数值是各分枝函数值的上界；

4.求最小值问题的目标函数值是各分枝函数值的下界；

5.变量取0或1的规划是整数规划；

6.整数规划的可行解集合是离散型集合；

7.将指派问题的效率矩阵每行分别加上一个数后最优解不变；

8.匈牙利法求解指派问题的条件是效率矩阵的元素非负；

9.匈牙利法可直接求解极大化的指派问题；

参考答案：

一、选择题1.A，2.D，3.B，4.D

二、填空题1.

2.（分枝定界法和割平面法）

3.（x1≤3），（x1≥4）

三、判断题1.×

取整后不一定是原问题的最优解2.×

称为混和整数规划

3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.×

是求解极小化的指派问题

篇二：

整数规划习题

第五章整数规划习题

5.1考虑下列数学模型min且满足约束条件

z?

f1（x1）?

f2（x2）

（1）或x1?

10，或x2?

10；

（2）下列各不等式至少有一个成立：

?

2x1?

15?

x1?

x?

2x?

15

2

1

（3）

或5或10

（4）x1其中

，x2

20?

5x1,如x1?

0?

如x1?

0f1（x1）?

=

将此问题归结为混合整数规划的模型。

解：

min

10y1?

5x1?

12y2?

6x2

12?

6x2,如x2?

如x2?

0f2（x2）?

5.2试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题

maxz?

x2x3?

x3

3

（?

0）x1?

y1?

M；

y2?

M?

（1）x1?

10?

y3?

（1?

y3）?

2）x1?

y4M?

y5M?

y6M?

y4?

y5?

y6?

2?

3）x1?

0y7?

5y8?

5y9?

10y10?

11y11?

y7?

y8?

y9?

y10?

y11?

1?

1i＝1，.?

，11）?

（4）x1?

0，x2?

0;

yi?

0或（

x3?

0或1，（j?

1,2,3）

j

解：

令故有

1，当x2?

y?

0,否则

y

，又

x1

，

分别与x1，

等价，因此题中模型可转换为

5.3某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。

有关数据资料见表5-1

要求：

（1）装入卫星的仪器装置总体积不超过V，总质量不超过W；

（2）A1与A3中最多安装一件；

（3）A2与A4中至少安装一件；

（4）A5同A6或者都安上，或者都不安。

总的目的是装上取的仪器装置使该科学卫星发挥最大的实验价值。

试建立这个问题的数学模型。

6

3?

x1,x2,x3,y均为0?

1变量

c

j?

x

vjxj?

V?

wjxj?

W?

124?

x5?

x6?

1,安装Aj仪器

5.4某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用最小。

若10个井位的代号为s1，s2,…s10,相应的钻探费用为c1，c2,…,c10,并且井位选择上要满足下列限制条件：

（1）或选择s1和s7，或选择钻探s8；

（2）选择了s3或s4就不能选择s5，或反过来也一样；

（3）在s5,s6,s7,s8,中最多只能选两个；

试建立这个问题的整数规划模型。

10

minz?

xj?

x8?

x7?

5?

1x4?

2,选择钻探第，否则

sj井位

5.5用割平面法求解下列整数规划问题（a）max

7x1?

9x2

6?

35?

x,x,?

0且为整数

12

（b）minz

4x

5x

max

（c）

7?

4x2?

x,x?

0且为整数?

6x2?

2x3

（d）max

x,x,x,?

123

11x1?

4x2

（a）不考虑整数约束，用单纯形法求解相应线性给华问题得最终单纯形表，见表5A-1。

14?

16?

4

从表中第1行得

由此

722

122722

x4?

72122

01

7

222即22

将此约束加上，并用对偶单纯形法求解得表5A-2。

s1?

）

又得到一个新的约束

（0?

176

）x4?

674

）s1?

（4?

47

777

再将此约束加上，并用对偶单纯形法求解得表5A-3。

s2?

因此本题最优解为x1=4，x2=3，z=55（b）本题最优解为x1=2，x2=1，z=13

（c）本题最优解为x1=2，x2=1，x3=6，z=26（d）本题最优解为x1=2，x2=3，z=34

5.6分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项任务。

每人完成各项任务时间如表5-2所。

由于任务数多于人数，故规定其中有一个人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项。

试确定总花费时间为最少的指派方案。

加工假设的第五个人是戊，他完成各项工作时间去甲、乙、丙、丁中最小者，构造表为5A-4总计需要131小时。

5.7某航空公司经营A，B，C三个城市之间的航线，这些航线每天班机起飞与到达时间如表5-3所示。

篇三：

运筹学_第4章__整数规划习题

第四章整数规划

4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？

（只建模不求解）

设生产甲、乙这两种设备的数量分别为x1、x2，由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建立模型如下：

2x2

4.5

x,x为整数?

①②③④

4.2maxz?

①s.t?

35

②?

12③

割平面法求解。

（下表为最优表）

线性规划的最优解为：

9/2,x2?

7/2,x3?

0,maxz?

63

由最终表中得：

④

22222

将系数和常数项分解成整数和非负真分式之和，上式化为；

711x2?

移项后得：

717

即：

222222222

只要把增加的约束条件加到B问题的最优单纯形表中。

表4－3

表

4－4

由x1行得：

1132

777

将系数和常数项分解成整数和非负真分数之和：

164x1?

4?

777164

得到新的约束条件：

?

777164?

777

在的最优单纯形表中加上此约束，用对偶单纯形法求解：

4,x2?

3，最优目标函数值为z=55。

则最优解为x1

4.3maxz＝4x1＋3x2＋2x3

5x2?

3x3?

3s.t?

13?

x,x,x?

0或1?

隐枚举法解：

（1）先用试探的方法找出一个初始可行解，如x1＝x2＝0，x3＝1。

满足约束条件，选其作为初始可行解，目标函数z0＝2。

（2）附加过滤条件

以目标函数z?

z0作为过滤约束：

2x3?

原模型变为：

maxz＝4x1＋3x2＋2x3?

4x?

3x?

23

x1,x2,x3?

0或1

①

②③④

求解过程如表所示。

***?

1,z*?

9。

所以该0－1规划最优解为x1

4.4某公司拟在市东、西、南三区中建立门市部，有7个点Ai（i＝1，2，…，7）可供选择，

要求满足以下条件：

（1）在东区，在A1，A2，A3三个点中至多选两个；

（2）在西区，A4，A5两个点中至少选一个；

（3）在南区，A6，A7两个点为互斥点。

（4）选A2点必选A5点。

若Ai点投资为bi万元，每年可获利润为ci万元，投资总额为B万元，试建立利润最大化的0－1规划模型。

设决策变量为

1,xi?

0,

建立0－1规划模型如下：

当Ai点被选用当Ai点未被选用

i?

1,2,?

7

c1x1?

c2x2?

c7x7?

cixi

bi?

xi?

B?

2123?

s.t?

1?

0，或1,i?

4.5某城市消防队布点问题。

该城市共有6个区，每个区都可以建消防站，市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15分钟内赶到现场。

据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见表4－9，请帮助该市制定一个布点最少的计划。

目标函数为

表示在地区i设消防站表示在地区i不设消防站

6

minz＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6

本问题的约束方程是要保证每个地区都有一个消防站在15分钟行程内。

如地区1，由表4－9可知，在地区1及地区2内设消防站都能达到此要求，即

x1＋x2≥1

因此本问题的数学模型为：

x1＋x2≥1x1＋x2＋x6≥1x3＋x4≥1s.tx3＋x4＋x5≥1x4＋x5＋x6≥1x2＋x5＋x6≥1xi＝1或0（i＝1，…，6）

4.7一个登山队员，他需要携带的物品有：

食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等，每种物品的重量及重要性系数见表4－10所示，能携带的最大重量为25kg，试选择该队员所应携带的物品。

表4－10

引入0－1变量xi

1携带物品xixi?

（i＝1，…，7）

0不携带物品xi

则0－1规划模型为：

maxz＝20x1＋15x2＋16x3＋14x4＋8x5＋14x6＋9x7s.t.5x1＋5x2＋2x3＋5x4＋10x5＋2x6＋3x7≤25

xi＝0或1，i＝1，0，…，7

篇四：

第五章整数规划练习题答案

一.判断下列说法是否正确

1.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是

该问题目标函数值的下界。

2.用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。

）3.用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。

）4.指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。

）二.设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问

应如何分配这五项工作，并求得最大产值。

答案：

设原矩阵为A，因求极大问题，令B=[M-aij]，其中M=Max{aij}=10，则：

16425?

05314?

04213?

25104?

24003?

3752?

02641?

01540?

62415?

04?

113?

50203?

5

74

04

42

03102?

24?

34003?

540?

m?

1154?

l?

n?

60203?

31

00010?

34?

00100?

54?

m=5=n，得最优解。

解矩阵X*

00001?

。

01000?

即，甲?

D，乙?

C，丙?

E，丁?

B，戊?

A，最大产值=10+8+9+8+8=43。

三.对整数规划

MaxZ?

8x1?

5x2

0,整数?

解得其松弛问题最优表如下：

（1）产生高莫雷约束：

根据Max{fi}，应选取x1所在行为源行：

x1产生高莫雷约束为：

18x3?

38x4?

34

，即，x1?

x38?

8?

（2）将高莫雷约束加入松弛变量x5，写入原表最后一行形成下表并用对偶单纯形法求解：

bj