高考第一轮复习数学52向量的数量积.docx

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高考第一轮复习数学52向量的数量积

5.2向量的数量积

●知识梳理

1.数量积的概念：

（1）向量的夹角：

如下图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.

（2）数量积的定义：

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.

（3）数量积的几何意义：

数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.

2.数量积的性质：

设e是单位向量，〈a，e〉=θ.

（1）e·a=a·e=|a|cosθ.

（2）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|，特别地，a·a=|a|2，或|a|=.

（3）a⊥ba·b=0.

（4）cosθ=.

（5）|a·b|≤|a||b|.

3.运算律：

（1）a·b=b·a；

（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；（3）（a+b）·c=a·c+b·c.

4.向量数量积的坐标运算：

设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则

（1）a·b=x1x2+y1y2；

（2）|a|=；

（3）cos〈a，b〉=；

（4）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.

思考讨论

（a·b）c与a（b·c）是否相等?

●点击双基

1.（2004年全国Ⅰ，3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于

A.B.C.D.4

解析：

|a+3b|====.

答案：

C

2.若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，（a+2b）·（a－3b）=－72，则向量a的模是

A.2B.4C.6D.12

解析：

（a+2b）·（a－3b）=|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2=|a|2－2|a|－96=－72，∴|a|2－2|a|－24=0.∴（|a|－6）·（|a|+4）=0.∴|a|=6.

答案：

C

3.已知a=（λ，2），b=（－3，5），且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是

A.λ＞B.λ≥

C.λ＜D.λ≤

解析：

∵a与b的夹角为钝角，∴cos〈a，b〉＜0.

∴a·b＜0.∴－3λ+10＜0.∴λ＞.

答案：

A

4.（2004年上海，6）（理）已知点A（1，－2），若向量与a=（2，3）同向，||=2，则点B的坐标为____________.

解析：

设A点坐标为（xA，yA），B点坐标为（xB，yB）.

∵与a同向，∴可设=λa=（2λ，3λ）（λ＞0）.

∴||==2，∴λ=2.

则=（xB－xA，yB－yA）=（4，6），

∴∵∴

∴B点坐标为（5，4）.

答案：

（5，4）

（文）已知点A（－1，－5）和向量a=（2，3），若=3a，则点B的坐标为____________.

解析：

设B点坐标为（xB，yB），

则=（xB+1，yB+5）=3a=（6，9），

∴∴

∴B（5，4）.

答案：

（5，4）

●典例剖析

【例1】判断下列各命题正确与否：

（1）若a≠0，a·b=a·c，则b=c；

（2）若a·b=a·c，则b≠c当且仅当a=0时成立；

（3）（a·b）c=a（b·c）对任意向量a、b、c都成立；

（4）对任一向量a，有a2=|a|2.

剖析：

（1）

（2）可由数量积的定义判断.（3）通过计算判断.（4）把a2转化成a·a=|a|2可判断.

解：

（1）a·b=a·c，∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ（其中α、β分别为a与b，a与c的夹角）.∵|a|≠0，∴|b|cosα=|c|cosβ.

∵cosα与cosβ不一定相等，∴|b|与|c|不一定相等.∴b与c也不一定相等.∴

（1）不正确.

（2）若a·b=a·c，则|a||b|cosα=|a||c|cosβ（α、β为a与b，a与c的夹角）.

∴|a|（|b|cosα－|c|cosβ）=0.

∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ.

当b≠c时，|b|cosα与|c|cosβ可能相等.

∴

（2）不正确.

（3）（a·b）c=（|a||b|cosα）c，

a（b·c）=a|b||c|cosθ（其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角）.

（a·b）c是与c共线的向量，

a（b·c）是与a共线的向量.

∴（3）不正确.（4）正确.

评述：

判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律.

【例2】平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点.

（1）当·取最小值时，求的坐标；

（2）当点X满足

（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值.

剖析：

因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式，再根据·的最小值，求得的坐标，而cos∠AXB是与夹角的余弦，利用数量积的知识易解决.

解：

（1）设=（x，y），

∵点X在直线OP上，∴向量与共线.

又=（2，1），∴x－2y=0，即x=2y.

∴=（2y，y）.又=－，=（1，7），

∴=（1－2y，7－y）.

同样=－=（5－2y，1－y）.

于是·=（1－2y）（5－2y）+（7－y）（1－y）=5y2－20y+12=5（y－2）2－8.

∴当y=2时，·有最小值－8，此时=（4，2）.

（2）当=（4，2），即y=2时，有=（－3，5），=（1，－1）.

∴||=，||=.

∴cos∠AXB==－.

评述：

（1）中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数.而

（2）中即为数量积定义的应用.

【例3】已知向量、、满足++=0，||=||=||=1.

求证：

△P1P2P3是正三角形.

剖析：

由||=||=||=1知O是△P1P2P3的外接圆的圆心，要证△P1P2P3是正三角形，只需证∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1即可，即需求与，与，与的夹角.由++=0变形可出现数量积，进而求夹角.

证明：

∵++=0，∴+=－.∴|+|=|－|.

∴||2+||2+2·=||2.

又∵||=||=||=1，

∴·=－.

∴｜｜||cos∠P1OP2=－，

即∠P1OP2=120°.

同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°.

∴△P1P2P3为等边三角形.

评述：

解本题的关键是由++=0转化出现向量的数量积，进而求夹角.

深化拓展

本题也可用如下方法证明：

以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），

则=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3）.

由++=0，

得∴

由||=||=||=1，得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1.

∴2+2（x1x2+y1y2）=1.

∴||=

=

==.

同理||=，||=.

∴△P1P2P3为正三角形.

●闯关训练

夯实基础

1.若a=（2，3），b=（－4，7），则a在b方向上的投影为

A.B.C.D.

解析：

a在b方向上的投影为===.

答案：

C

2.已知|a|=10，|b|=12，且（3a）·（b）=－36，则a与b的夹角是

A.60°B.120°C.135°D.150°

解析：

由（3a）·（b）=－36得a·b=－60.

∴cos〈a，b〉==－.

又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=120°.

答案：

B

3.若向量c垂直于向量a和b，d=λa+μb（λ、μ∈R，且λμ≠0），则

A.c∥d

B.c⊥d

C.c不平行于d，也不垂直于d

D.以上三种情况均有可能

解析：

∵c⊥a，c⊥b，∴c·a=0，c·b=0.

∴c·d=c·（λa+μb）=c·（λa）+c·（μb）=λc·a+μc·b=0.

答案：

B

4.给出下列命题：

①若a2+b2=0，则a=b=0；

②已知a、b、c是三个非零向量，若a+b=0，

则|a·c|=|b·c|；

③在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则·=20；

④a与b是共线向量a·b=|a||b|.

其中真命题的序号是_______.（请把你认为是真命题的序号都填上）

解析：

①a2+b2=0，∴|a|=－|b|.

又|a|≥0，|b|≥0，

∴|a|=|b|=0.∴a=b=0.∴①正确.

②a+b=0，∴a=－b，|a·c|=|a||c||cos〈a，c〉|，|b·c|=|b||c||cos〈b，c〉|=|a||c||cos〈－a，c〉|=

|a||c||cos（π－〈a，c〉）|=|a||c||cos〈a，c〉|.∴②正确.

③cosC===.

·=||||cos（π－C）=5×8×（－）=－20.∴③不正确.

④a与b是共线向量a=λb（b≠0）a·b=λb2，而|a||b|=|λb||b|=|λ||b|2.

∴④不正确.

答案：

①②

5.已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45°，求当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围.

解：

a+λb与λa+b的夹角为锐角，

即（a+λb）·（λa+b）＞0，

也就是λa2+（λ2+1）a·b+λb2＞0，

即2λ+（λ2+1）··3·+9λ＞0，

解得λ＜或λ＞.

6.如下图，以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角△OAB，使∠B=90°.

求点B和向量的坐标.

分析：

这里关键是求出B点的坐标，设B（x，y），由⊥和||=||，则可列出x、y的方程组.

解：

设B点坐标为（x，y），

则=（x，y），=（x－5，y－2）.

∵⊥，∴x（x－5）+y（y－2）=0，

即x2+y2－5x－2y=0.①

又||=||，

∴x2+y2=（x－5）2+（y－2）2，

即10x+4y=29.②

解①②得

或

∴B点坐标为（，－）或（，）.

故=（－，－）或=（－，）

培养能力

7.（2004年浙江，14）（理）已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于_______.

解析：

∵||2+||2=||2，

∴△ABC为直角三角形，其中∠B=90°.

∴·+·+·=0+||||cos（π－∠C）+||||cos（π－∠A）=－25.

答案：

－25

（文）已知平面上三点A、B、C满足||=2，||=1，||=，则·+·+·的值等于_________.

解析：

∵||2+||2=||2，

∴△ABC为直角三角形且∠C=90°.

∴·+·+·=||||cos（π－∠B）+0+||||cos（π－∠A）=－4.

答案：

－4

8.已知F1（－1，0），F2（1，0），A（，0），动点P满足3·+·=0.

（1）求动点P的轨迹方程.

（2）是否存在点P，使PA成为∠F1PF2的平分线?

若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

解：

（1）设P（x，y），则=（－1－x，－y），=（1－x，－y），=（－x，－y）.

∴·=（－1－x）（－x）+（－y）2=（x+1）（x－）2+y2，

·=（1－x）·（－x）+（－y）2=（x－1）（x－）+y2.

∴3［（x+1）（x－）+y2］+（x－1）（x－）+y2=0.

∴x2+y2=即为P点的轨迹方程.

（2）设存在，则cos∠F1PA=cos∠APF2.

∴.

将条件3·=－·代入上式不成立.∴不存在.

探究创新

9.已知平面向量a=（，－1），b=（，），

（1）证明：

a⊥b；

（2）若存在不同时为零的实数