安陆一中高二数学圆锥曲线同步练习轨迹问题五.docx

安陆一中高二数学圆锥曲线同步练习轨迹问题五.docx

《安陆一中高二数学圆锥曲线同步练习轨迹问题五.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安陆一中高二数学圆锥曲线同步练习轨迹问题五.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

安陆一中高二数学圆锥曲线同步练习轨迹问题五

安陆一中高二数学圆锥曲线同步练习轨迹问题（五）

一．选择题：

1.已知M（－2，0）、N（2，0），｜PM｜－｜PN｜＝4，则动点P的轨迹是（）

A.双曲线B.双曲线左边一支

C.一条射线D.双曲线右边一支

2.（2003年河南）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是（）

A.－=1B.－=1

C.－=1D.－=1

3.动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是

A.中心在原点的椭圆B.中心在（5，0）的椭圆

C.中心在原点的双曲线D.中心在（5，0）的双曲线

4.（2005年春季北京，6）已知双曲线的两个焦点为F1（－，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=2，则该双曲线的方程是（）

A.－=1B.－=1

C.－y2=1D.x2－=1

5.已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是（）

A.y2－＝1（y≤－1）B.y2－＝1

C.y2－＝－1D.x2－＝1

二．填空题：

6.曲线x2＋4y2＝4关于点M（3，5）对称的曲线方程为____________.

解析：

代入法（或相关点法）.

7.与圆x2+y2－4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________.

8.F1、F2为椭圆+=1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________________.

9.已知△ABC中，B（1，0）、C（5，0），点A在x轴上方移动，且tanB+tanC=3，则△ABC的重心G的轨迹方程为________________.

三．解答题：

10.自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连结顶点O与P的直线和连结焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程.

11.求经过定点A（1，2），以x轴为准线，离心率为的椭圆下方的顶点的轨迹方程.

12.AB是圆O的直径，且｜AB｜＝2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使｜OP｜＝｜MN｜，求点P的轨迹.

13.过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点.求△AOB的重心G的轨迹C的方程.

14.（2004年春季安徽）已知k＞0，直线l1：

y=kx，l2：

y=－kx.

（1）证明：

到l1、l2的距离的平方和为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆或椭圆；

（2）求到l1、l2的距离之和为定值c（c＞0）的点的轨迹.

15.在△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=－2，且△PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程.

16.（2004年福建，22）如下图，P是抛物线C：

y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程.

17.（2000年春季全国）已知抛物线y2＝4px（p＞0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程.

轨迹问题（五）参考答案

一．选择题：

1.解析：

利用几何性质.

答案：

C

2.解析：

设双曲线方程为－=1.

将y=x－1代入－=1，

整理得（b2－a2）x2+2a2x－a2－a2b2=0.

由韦达定理得x1+x2=，

==－.

由c2=a2+b2求得a2=2，b2=5.

答案：

D

3.解析：

直接法.

答案：

B

4.解析：

设双曲线的方程为－=1.

由题意||PF1|－|PF2||=2a，

|PF1|2+|PF2|2=

（2）2.

又∵|PF1|·|PF2|=2，

∴a=2，b=1.

故双曲线方程为－y2=1.

答案：

C

5.解析：

由题意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15，

｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，

∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2.

故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b2＝48，

所以轨迹方程为y2－＝1（y≤－1）.

答案：

A

二．填空题：

6.答案：

（x－6）2+4（y－10）2=4

7.解析：

若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴.

答案：

y2=8x（x>0）或y=0（x<0）

8.解析：

延长F1D与F2A交于B，连结DO，可知DO=F2B=2，∴动点D的轨迹方程为x2+y2=4.

答案：

x2+y2=4

9.解析：

设A（x0，y0），

∵tanB+tanC=3，

∴－=3，点A的轨迹方程为y0=－（x02－6x0+5）（x0≠1且x0≠5）.若G（x，y）为△ABC的重心，则由重心坐标公式：

x=，y=，∴x0=3x－6，且y0=3y.代入A点轨迹方程得G的轨迹方程为y－1=－（x－3）2（x≠且x≠）.

答案：

y－1=－（x－3）2（x≠且x≠）

三．解答题：

10.解：

设P（x1，y1）、R（x，y），则Q（－，y1）、F（，0），

∴OP的方程为y=x，①

FQ的方程为y=－y1（x－）.②

由①②得x1＝，y1＝，

代入y2＝2x，可得y2＝－2x2+x.

11.解：

设椭圆下方的焦点F（x0，y0），由定义=，

∴|AF|=1，即点F的轨迹方程为（x0－1）2+（y0－2）2=1.

又设椭圆下方顶点为P（x，y），则x0=x，y0=y，

∴点P的轨迹方程是（x－1）2+（y－2）2=1.

12.解：

以圆心O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图），则⊙O的方程为x2＋y2＝a2，设点P坐标为（x，y），并设圆与y轴交于C、D两点，作PQ⊥AB于Q，则有＝.

∵｜OP｜＝｜MN｜，

∴｜OP｜2＝｜OM｜·｜PQ｜.

∴x2+y2＝a｜y｜，即x2＋（y±）2＝（）2.

轨迹是分别以CO、OD为直径的两个圆.

13.解：

抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x－1），代入y2=4x，

得k2x2－x（2k2+4）+k2=0.

设l方程与抛物线相交于两点，

∴k≠0.设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），

根据韦达定理，有x1+x2=，

从而y1+y2=k（x1+x2－2）=.

设△AOB的重心为G（x，y），

消去k，得x=+（y）2，

则

x==+，

y==，

∴y2=x－.当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB的重心G（，0），也适合y2=x－，

因此所求轨迹C的方程为y2=x－.

14.

（1）证明：

设点P（x，y）为动点，则

+=a，

整理得+=1.

因此，当k=1时，动点的轨迹为圆；

当k≠1时，动点的轨迹为椭圆.

（2）解：

设点P（x，y）为动点，则

|y－kx|+|y+kx|=c.

当y≥k|x|时，y－kx+y+kx=c，

即y=c；

当y≤－k|x|时，kx－y－y－kx=c，即y=－c；

当－k|x|＜y＜k|x|，x＞0时，kx－y+y+kx=c，即x=c；

当－k|x|＜y＜k|x|，x＜0时，y－kx－y－kx=c，即x=－c.

综上，动点的轨迹为矩形.

15.解法一：

如上图，过P作PQ⊥MN，垂足为Q，

令|PQ|=m，于是可得|MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m，|QN|=|PQ|cot∠PNQ=m.

∴|MN|=|MQ|－|NQ|=2m－m=m.

于是S△PMN=|MN|·|PQ|=·m·m=1.

因而m=，|MQ|=2，|NQ|=，|MN|=.

|MP|===，

|NP|===.

以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）.

则2a=|MP|+|NP|=，

2c=|MN|=，

故所求椭圆方程为+=1.

解法二：

设M（－c，0）、N（c，0），P（x，y），y＞0，

=，

则

=2，

y·c=1，

解之，得x=，y=，c=.

设椭圆方程为b2x2+a2y2=a2b2，则

b2·（）2+a2（）2=a2b2，

a2－b2=，

解之，得a2=，b2=3.

（以下略）

16.解：

设P（x1，y1）、Q（x2，y2）、M（x0，y0），依题意知x1≠0，y1>0，y2>0.

由y=x2，①

得y′=x.

∴过点P的切线的斜率k切=x1，

∴直线l的斜率kl=－=－，

直线l的方程为y－x12=－（x－x1）.②

方法一：

联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.

∵M为PQ的中点，

∴

x0==－，

y0=x12－（x0－x1）.

消去x1，得y0=x02++1（x0≠0），

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1（x≠0）.

方法二：

由y1=x12，y2=x22，x0=，

得y1－y2=x12－x22=（x1+x2）（x1－x2）=x0（x1－x2），

则x0==kl=－，

∴x1=－.

将上式代入②并整理，得y0=x02++1（x0≠0），

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1（x≠0）.

17.解法一：

设M（x0，y0），

则kOM=，kAB=－，

直线AB方程是y=－（x－x0）+y0.

由y2=4px可得x=，将其代入上式，整理，得

x0y2－（4py0）y－4py02－4px02=0.①

此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，

∴A（，y1）、B（，y2）.

∵OA⊥OB，∴kOA·kOB=－1.

∴·=－1.∴y1y2=－16p2.

根据根与系数的关系，由①可得

y1·y2=，

∴=16p2.

化简，得x02+y02－4px0=0，

即x2+y2－4px=0（除去原点）为所求.

∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.

解法二：

设A、B两点坐标为A（pt12，2pt1）、B（pt22，2pt2）.

∴kOA=，kOB=，kAB=.

∵OA⊥OB，∴t1·t2=－4.

∴AB方程是y－2pt1=（x－pt12），①

直线OM的方程是y=－x.②

①×②，得（px）t12+2pyt1－（x2+y2）=0.③

∴直线AB的方程还可写为

y－2pt2=（x－pt22）.④

由②×④，得（px）t22+（2py）t2－（x2+y2）=0.⑤

由③⑤可知t1、t2是方程（px）t2+（2py）t2－（x2+y2）=0的两根.

由根与系数的关系可得

t1t2=.又t1·t2=－4，

∴x2+y2－4px=0（原点除外）为所求点M的轨迹方程.

故M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.

解法三：

设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b，

由OM⊥AB得k=－.

由y2=4px及y=kx+b消去y，得

k2x2+x（2kb－4p）+b2=0.

所以x1x2=.消去x，得ky2－4py+4pb=0.

所以y1y2=.由OA⊥OB，

得y1y2=－x1x2，

所以=－，b=－4kp.

故y=kx+b=k（x－4p）.

用k=－代