938三角形综合证明解答题30题有答案okWord文档下载推荐.docx
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（不必说理由）．
13．已知，如图：
四边形ABCD中，E在BC边上，AB=EC，∠B=∠C=∠AED．
△AED是等腰三角形；
（2）当∠B=∠C=∠AED=90°
时，求证：
AB2+BE2=AE2．
14．如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．
求证：
BE+CF＞EF．
15．已知：
如图，∠C=90°
，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点，连接CM，求证：
（1）△CEM≌△BDM；
（2）△MDE是等腰直角三角形．
16．如图△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．
AB∥CQ．
（2）是否存在点P使得AQ⊥CQ？
若存在，指出P的位置；
若不存在，说明理由．
17．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD
（1）试说明CE=CF．
（2）△BCE与△DCF全等吗？
试说明理由．
（3）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求CE的长．
18．如图，∠ACB=90°
，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D．
（1）△ACD≌△CBE．
（2）若AD=2.5cm，DE=1.1cm．求BE的长．
19．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？
说明理由．
20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°
，且AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°
，点D是AC的中点，AE⊥BD于点F，交BC于点E，连接DE．
（1）∠BAF=∠ADB；
（2）∠ADB=∠EDC．
21．已知如图，△ABC是等边三角形，边长为6，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，求AD的长．
22．如图：
△ABD和△ACE都是Rt△，其中∠ABD=∠ACE=90°
，C在AB上，连接DE，M是DE中点，求证：
MC=MB．
23．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．
（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
24．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB
．求证：
（1）AP=AQ；
（2）AP⊥AQ．
25．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．
BG=CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
26．
（1）如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．
①求证：
△ABP≌△ACQ；
②若AB=6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．
（2）已知，△EFG中，EF=EG=13，FG=10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF′G′的位置，点M是边EF′与边FG的交点，点N在边EG′上且EN=EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．
27．已知：
△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°
，过点D作∠EDF=60°
，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．
（1）若BE=CF，求证：
①△DEF是等边三角形；
②BE+CF=EF．
（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？
28．如图甲，已知在△ABC中，∠ACB=90°
，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）说明△ADC≌△CEB．
（2）说明AD+BE=DE．
（3）已知条件不变，将直线MN绕点C旋转到图乙的位置时，若DE=3、AD=5.5，则BE= _________ ．
29．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°
，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：
EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：
FE长．
30．如图1，△ABC和△CDE为等边三角形．
BD=AE；
（2）若等边△CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时，
（1）中结论还成立吗？
请给予证明；
（3）旋转到如图2位置时，若F为BD中点，G为AE中点，连接FG，求证：
①△CFG为等边三角形；
②FG∥BC．
三角形综合解答证明题30题参考答案：
1．证明：
在Rt△ABD和Rt△NBD中，
，
∴△ABD≌△NBD（ASA），
∴AD=ND=
AN，
∵∠ACB=90°
∴∠3+∠AED=∠AED+∠2，
∴∠3=∠2，
在△ACN和△BCE中，
∴△ACN≌△BCE（ASA），
∴BE=AN，
∴AD=
BE
2．证明：
如图，分别取AB、AC的中点M、N，连接DM、PM、PN、NE．
∵点P为△ABC的边BC的中点，
∴PM为△ABC的中位线，
∴PM=
AC．
又∵NE为直角△AEC斜边上的中线，
∴NE=AN=
AC，
∴MP=NE．
同理DM=PN．
∵DM=AM，
∴∠1=∠3，
∴∠5=2∠1（三角形外角定理）．
同理，∠6=2∠2．
又∠1=∠2，
∴∠5=∠6．
又PM∥AC，PN∥AB，
∴∠7=∠9，∠8=∠9，
∴∠7=∠8，
∴∠5+∠7=∠6+∠8，即∠DMP=∠PNE，
∴在△MDP与△NPE中，
∴△MDP≌△NPE（SAS），
∴PD=PE．
3.
（1）证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°
∴∠A+∠ABE=90°
，∠ABE+∠DFB=90°
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°
，∠BDC=90°
∴∠DCB=90°
﹣45°
=45°
=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中
∵
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC；
（2）证明：
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
在△AEB和△CEB中
∴△AEB≌△CEB（ASA），
∴AE=CE，
即CE=
∵由
（1）知AC=BF，
∴CE=
BF
4．
（1）解：
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°
，∠AED=∠BEC，
∴∠CAD=∠DBH，
∵∠BCG=∠DCA，
∵在△ACD和△BGC中
∴△ACD≌△BGC（ASA），
∴CD=CG；
延长EC到F使CF=CE，如图，
∵△AGC≌△BCD
∴AG=BD，
∵CG=BD，
∴AG=CG，
∴∠GAC=∠GCA，
∵△CDG为等腰直角三角形，
∴∠CGD=45°
∴∠GAC=22.5°
∵AC⊥BC，CF=CE，
∴△AEF为等腰三角形，
∴∠FAC=∠EAC=22.5°
∵△ABC为等腰直角三角形，
∵∠CAB=45°
，∠ABC=45°
∴∠FAB=22.5°
+45°
=67.5°
∴∠F=180°
﹣67.5°
∴∠F=∠FAB，
∴AB=BF，
而BF=BC+CF=AC+CE，
∴AB=AC+CE．
5．解：
BD和CE的关系是BD=CE，BD⊥CE，
证明：
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠CBM+∠ACB=90°
∴∠ACE+∠CBM+∠ACB=90°
∴∠BMC=90°
∴BD⊥CE，
即BD=CE，BD⊥CE．
6．
过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，
则DN=DF（角平分线性质），DB=DC（线段垂直平分线性质），
又∵DF⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DFB=∠DNC=90°
在Rt△DBF和Rt△DCN中
∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）
∴BF=CN，
在Rt△DFA和Rt△DNA中
∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）
∴AN=AF，
∴BF=AC+AN=AC+AF，
即BF=AF+AC
7．
（1）解：
AAS．
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥DE，
∴∠ACD+∠CAD=90°
∴∠CAD=∠BCE，又AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，BE=CD，
DE=CE﹣CD=AD﹣BE．
（3）解：
DE=CD﹣CE=BE﹣AD．
∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，BE=CD，
DE=CD﹣CE=BE﹣AD
8．
（1）证明：
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°
∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，
即∠BAE=∠DAC．
在△ABE和△ADC中
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC．
（2）解：
由
（1）知：
△ABE≌△ADC，
∴∠ADC=∠ABE
∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°
∴在△BOD中，∠BOD=180°
﹣∠BDO﹣∠DBA﹣∠ABE
=180°
﹣∠DBA﹣（∠ADC+∠BDO）
﹣60°
=60°
．
（3）证明：
过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．
∵由
（1）知：
∴S△ABE=S△ADC
∴
∴AM=AN
∴点A在∠DOE的平分线上，
即OA平分∠DOE．
9．证明：
（1）∵AE⊥AF，∠CAB=90°
∴∠EAF=∠CAB=90°
∴∠EAF﹣∠EAC=∠CAB﹣∠EAC即∠BAE=∠CAF，
∵CF⊥BD，
∴∠BFC=90°
=∠CAB，
∴∠BDA+∠ABD=90°
，∠DCF+∠FDC=90°
∵∠ADB=∠FDC，
∴∠ABD=∠DCF，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
（2）∵由
（1）知△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∵∠EAF=90°
∴∠AEF=∠AFE=45°
∵AH⊥BF，
∴∠AHF=∠AHE=90°
=∠CFH，
∴∠EAH=180°
﹣∠AHE﹣∠AEF=45°
=∠AEF，
∴AH=EH，
∵D为AC中点，
∴AD=CD，
在△ADH和△CDF中，
∴△ADH≌△CDF（AAS），
∴AH=CF，
∴EH=CF
10．解：
（1）DF∥BC，
理由是：
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF=∠DAF，
在△CAF和△DAF中
∴△CAF≌△DAF（SAS），
∴∠ADF=∠ACF，
∵CE⊥AB，∠ACB=90°
∴∠CEB=∠ACB=90°
∴∠ACF+∠BCF=90°
，∠B+∠BCF=90°
∴∠B=∠ACF=∠ADF，
∴DF∥BC．
（2）FG=EF，
∵DF∥BC，∠ACB=90°
，CE⊥AB，
∴∠AGF=∠ACB=90°
∴FG⊥AC，
∵CE⊥AB，AF平分∠CAB，
∴FG=EF．
11．
（1）证明：
延长EF交AD于G（如图），
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∵EF∥CA，EG∥CA，
∴四边形ACEG是平行四边形，
∴AG=CE，
又∵
，AD=BC，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠ECF，
在△CEF和△DGF中，
∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，
∴△CEF≌△DGF（AAS），
∴CF=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OF∥BC．
如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．
∵OF∥CE，EF∥CO，
∴四边形OCEF是平行四边形，
∴EF=OC，
又∵梯形OBEF是等腰梯形，
∴BO=EF，
∴OB=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
12．解：
（1）理由：
因为∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°
，∠ACB=90°
所以∠ACD+∠BCE=90°
又AD⊥MN，BE⊥MN，则∠ADC=∠CEB=90°
，∠DAC+∠ACD=90°
故∠DAC=∠ECB
而AC=CB．所以△ADC≌△CEB（AAS）．
（2）等量关系：
DE=AD+EB．
理由：
由
（1）知△ADC≌△CEB．则AD=CE，DC=EB．
因为DE=CE+DC，所以DE=AD+EB．
（3）等量关系：
DE=AD﹣EB
13．
（1）证明：
∵∠B=∠C=∠AED，
设∠B=∠C=∠AED=α
∴∠1+∠2=180°
﹣α，∠2+∠3=180°
﹣α，
在△ABE和△ECD中，
∴△ABE≌△ECD（AAS）
∴AE=DE，
即△AED是等腰三角形．
∵∠B=90°
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AB2+BE2=AE2
14．证明：
延长ED到H，使DE=DH，连接CH，FH，
∵AD是△ABC的中线，
∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，
∴∠1=∠4=
∠ADB，∠3=∠5=
∠ADC，
∴∠1+∠3=∠4+∠5=
∠ADB+
∠ADC=
×
180°
=90°
∵∠1=∠2，
∴∠3+∠2=90°
即∠EDF=∠FDH，
在△EFD和△HFD中，
∴△EFD≌△HFD（SAS），
∴EF=FH，
在△BDE和△CDH中，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE=CH，
在△CFH中，由三角形三边关系定理得：
CF+CH＞FH，
∵CH=BE，FH=EF，
∴BE+CF＞EF
15．证明：
（1）∵∠ACB=90°
，BC=AC，
∴∠A=∠B=45°
∵M是AB的中点，
∴CM⊥AB，∠ACM=∠BCM=45°
，CM=BM=AM，
∴∠DBM=∠ECM，
∵在△CEM和△BDM中，
∴△CEM≌△BDM（SAS）；
（2）∵△CEM≌△BDM，
∴EM=DM，∠EMC=∠DMB，
∵∠DMC+∠DMB=90°
∴∠DMC+∠EMC=90°
，即∠DME=90°
∴△MDE是等腰直角三角形
16．
（1）证明：
∵△ABC和△APQ都是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°
∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAQ﹣∠PAC，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B=∠BAC=60°
∴AB∥CQ；
（2）存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合，理由是：
∵由
（1）知，△ABP≌△ACQ，
∴∠ACB=∠AQP=∠ACQ=∠B=∠BAC=60°
，BP=CQ，
∵P为BC中点，
∴PC=BP=CQ，
∴∠CQP=∠QPC=
（180°
﹣∠PCQ）=
）=30°
∵△APQ是等边三角形，
∴∠AQP=60°
∴∠AQC=60°
+30°
∴AQ⊥QC，
即存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合．
17．解
（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF．
（2）△BCE≌△DCF．
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴△BCE与△DCF都是直角三角形，
在Rt△BEC和Rt△DFC中
∴Rt△BEC≌Rt△DFC（HL）；
（3）∵Rt△BEC≌Rt△DFC，
∴BE=DF，
∵CF⊥AF，CE⊥AB，
∴∠F=∠CEA=90°
∵AC平分∠BAF，
∠FAC=∠EAC，
在△FAC和△EAC中
∴△FAC≌△EAC（AAS），
设BE=x，则AE=21﹣x，DF=x，AF=9+x，
∴21﹣x=9+x，
∴x=6，即BE=6，
在Rt△BCE中，∵BC=10，BE=6，
∴由勾股定理得：
CE=8
18．解：
∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCE=90°
﹣∠BCE，∠CBE=90°
﹣∠BCE，（三角形角和定理）
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD与△CBE中
∴△ACD≌△CBE（AAS）．
（2）由
（1）知，△ACD≌△CBE，
∴CE=AD=2.5
BE=CD=CE﹣DE=AD﹣DE=2.5﹣1.1=1.4．
答：
BE的长是1.4cm．
19．解：
BD平分EF，理由是：
证法一、连接BE、DF．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
，DE∥BF，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD平分EF；
证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∵在△BFG和△DEG中
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，
即BD平分EF．
20．
（1）证明：
∵∠BAC=90°
∴∠BAF+∠DAF=90°
∵AE⊥BD，
∴∠AFD=90°
∴∠DAF+∠ADB=90°
∴∠BAF=∠ADB．
过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M，
则∠ACM=90°
=∠BAC，
∴CM∥AB，
∴∠MCE=∠ABC=∠ACB，
∵∠BAF=∠ADB，∠ADB+∠FAD=90°
，∠ABD+∠BAF=90°
∴∠ABD=∠CAM，
在△ABD和△CAM中
∴△ABD≌△CAM（ASA），
∴∠ADB=∠M，AD=CM，
∴AD=DC=CM，
在△CDE和△CME中，
∴△CDE≌△CME（SAS），
∴∠M=∠EDC，
∵∠M=∠ADB，
∴∠ADB=∠EDC．
21．解：
由△ABC是等边三角形得，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°
又∵DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，
∴△DEF为等边三角形，
∴△ADF≌△DEB≌△EFC，
∴AD=BE=CF，
∵FD⊥AB，∠AFD=30°
=
解得：
AD=2．
AD的长为2．
22．证明：
延长CM、DB交于G，
∵△ABD和△ACE都是Rt△，
∴CE∥BD，即CE∥DG，
∴∠CEM=∠GDM，∠MCE=∠MGD
又∵M是DE中点，即DM=EM，
∴△ECM≌△DMG，
∴CM=MG，
∵G在DB的延长线上，
∴△CBG是Rt△CBG，
∴在Rt△CBG中，
23．证明：
（1）∵AD∥BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中
∴△ACD≌△
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