动态几何之单动点形成的最值问题.docx

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动态几何之单动点形成的最值问题

一、选择题

1.（2013年四川德阳3分）如图，在圆O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：

圆O半径为，tan∠ABC＝，则CQ的最大值是【】

A．5　　　　B．　　C．　　D．

2.（2012湖北黄石3分）如图所示，已知A，B为反比例函数图像上的两点，动

点P在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【】

A.B.C.D.

3.（2012辽宁大连3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为【】

  A.1  B.2  C.3  D.4

【答案】B。

4.（2012贵州六盘水3分）如图为反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．则四边形OBAC周长的最小值为【】

　A．4B．3C．2D．1

【答案】A。

【考点】反比例函数综合题，矩形的判定和性质，配方法的应用，函数的最值。

【分析】∵反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．

∴四边形OBAC为矩形。

设宽BO=x，则AB=，

则。

∴四边形OBAC周长的最小值为4。

故选A。

5.（2012贵州黔西南4分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（－1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，m的值是【】

（A）（B）（C）（D）

设直线C1D：

，由C1（0，2），D得

，解得。

∴直线C1D：

。

令y=0，即，解得。

∴。

故选B。

6.（2012广西来宾3分）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是【】

A．30°B．45°C．60°D．90°

7.（2011年浙江台州4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【】

A．B．C．3D．2

8.（2011年贵州六盘水3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是【】

A．3B．4C．5D．6

9.（2011年辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【】

A、2B、4C、D、

【答案】C。

【考点】轴对称的性质，正方形的的性质，勾股定理，垂直线段的性质，三角形的性质。

【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4。

而根据垂直线段最短的性质和三角形两边之和大于第三边的性质，可知D′P′即为DQ+PQ的最小值。

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′。

∴在Rt△AP′D′中，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=，即DQ+PQ的最小值为。

故选C。

二、填空题

1.（2013年广西百色3分）如图，在边长10cm为的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为▲cm。

2.（2013年广西钦州3分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是　▲　．

【答案】10。

【考点】正方形的性质，轴对称的应用（最短路线问题），勾股定理。

【分析】如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小。

∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称。

∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE。

∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8。

∴。

∴PB+PE的最小值是10。

3.（2012浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为▲．

4.（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点

C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最

短距离为▲cm．

5.（2012广西北海3分）如图，点A的坐标为（－1，0），点B在直线y＝2x－4上运动，当线段A最

短时，点B的坐标是▲。

【答案】（）。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系，垂直线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】如图，由题意，根据垂直线段最短的性质，当线段AB最短时点B的位置B1，有AB1⊥BD。

过点B1作B1E垂直x轴于点E。

由点C、D在直线y＝2x－4可得，C（2，0），D（0，－4）

设点B1（x，2x－4），则E（x，0）。

由A（－1，0），得AE=x＋1，EB1=∣2x－4∣=4－2x，CO=2，DO=4。

易得△AB1E∽△DCO，∴，即。

解得。

∴B1（）。

∴当线段AB最短时，点B的坐标是（）。

6.（2011年甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是▲．

7.（2011年贵州黔东南4分）顺次连接一矩形场地ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，得到四边形EFGH，M为边EH的中点，点P为小明在对角线EG上走动的位置，若AB=10米，BC=米，当PM+PH的和为最小值时，EP的长为▲。

三、解答题

1.（2013年重庆市A12分）如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）。

（1）求点B的坐标；

（2）已知，C为抛物线与y轴的交点。

①若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。

【答案】解：

（1）∵A、B两点关于对称轴对称，且A点的坐标为（－3，0），

∴点B的坐标为（1，0）。

（2）①∵抛物线，对称轴为，经过点A（－3，0），

∴。

∵，∴线段QD长度的最大值为。

2.（2013年湖南长沙10分）如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．

（1）求∠OAB的度数；

（2）求证：

△AOF∽△BEO；

（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：

S1+S2是否存在最小值？

若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：

（1）∵直线y=﹣x+2，∴当x=0时，y=2，B（0，2），当y=0时，x=2，A（2，0）。

∴OA=OB=2。

∵∠AOB=90°，∴∠OAB=45°。

（2）证明：

∵四边形OAPN是矩形，∴PM∥ON，NP∥OM。

∴。

∴BE=OM，AF=ON。

∴BE•AF=OM•ON=2OM•ON。

∵矩形PMON的面积为2，∴OM•ON=2。

∴BE•AF=4。

∵OA=OB=2，∴OA•OB=4。

∴BE•AF=OA•OB，即。

∵∠OAF=∠EBO=45°，∴△AOF∽△BEO。

（3）存在。

∵四边形OAPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形。

∵E点的横坐标为a，E（a，2﹣a），∴AM=EM=2﹣a。

∴AE2=2（2﹣a）2=2a2﹣8a+8。

∵F的纵坐标为b，F（2﹣b，b），∴BN=FN=2﹣b。

∴BF2=2（2﹣b）2=2b2﹣8b+8。

设m=a+b﹣2，则S1+S2=，

∵面积不可能为负数，∴当m＞时，S1+S2随m的增大而增大，当m最小时，S1+S2最小。

∵，

∴当，即a=b=时，m最小，最小值为。

∴S1+S2的最小值=。

【考点】一次函数、二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，平行的性质，相似三角形的判定，勾股定理和逆定理，二次函数的性质，偶次幂的非负性质，转换思想和配方法的应用。

【分析】

（1）当x=0或y=0时分别可以求出y的值和x的值就可以求出OA与OB的值，从而就可以得出结论。

（2）根据平行线的性质可以得出，就可以得出，从而根据∠OAF=∠EBO=45°就可以得出结论。

（3）先根据E、F的坐标表示出相应的线段，根据勾股定理求出线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则可以表示此三角形的外接圆的面积S1，再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出S2，就可以表示出和的解析式，再由如此函数的性质就可以求出最值。

3.（2013年湖北襄阳13分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；

（3）点P是

（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．

①当t为　▲　秒时，△PAD的周长最小？

当t为　▲　秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？

（结果保留根号）

②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：

（1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）。

（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，

由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM。

∵MN∥y轴，AB∥CD，∴四边形ODMN是矩形。

∴DM=ON=2。

∴CD=2×2=4。

∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴AB=2。

∵梯形ABCD的面积=（AB+CD）•OD=9，

【考点】二次函数综合题，单动点问题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称（最短路线问题），等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。

【分析】

（1）根据抛物线的轴对称性可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标。

（2）先根据梯形ABCD的面积为9，可求c的值，再运用待定系数法可求抛物线的解析式，转化为顶点式可求顶点E的坐标。

（3）①根据轴对称﹣最短路线问题的求法可得△PAD的周长最小时t的值；根据等腰三角形的性质可分三种情况求得△PAD是以AD为腰的等腰三角形时t的值。

②先证明△APN∽△PDM，根据相似三角形的性质求得PN的值，从而得到点P的坐标。

4.（2013年浙江杭州12分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面