初三奥数竞赛预赛试题及答案Word文件下载.docx
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7.（5分）设方程x2-|2x-1|-4=0,则满足该方程的所有根之和为.
8.（5分）（人教版考生做）如图，在平行四边形ABCD中过ABC三点的圆交AD于E,且与CD
8.（5分）（北师大版考生做）如图B,等边三角形ABC中,DE分别为ABBC边上的点，AD=BE
AHCD交于点F，沁CD于点6则晋的值为
9.（5分）已知a2-a-仁0,且环・3普?
+2二2，则x=.
「七丄・3
10.（5分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8
元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有件.
11.（5分）如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD
与地面成45°
/A=60°
CD=4mBC二（4真-g）则电线杆AB的长为.
12.（5分）若实数x,y，使得「「丁「丄.—这四个数中的三个相同的数值，则所有具有这样性
质的数对（x,y）为.
三.解答题（共4小题，满分80分，每小题20分）
13.（20分）已知：
（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式.求证：
a=b=c
14.（20分）（2010?
钦州）如图，将OA=6AB=4的矩形OAB（放置在平面直角坐标系中，动点MN以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP!
BC,交OB于点P,连接MP
（1）点B的坐标为用含t的式子表示点P的坐标为;
（2）记AOMP勺面积为S,求S与t的函数关系式（OvtV6）;
并求t为何值时，S有最大值？
（3）试探究：
当S有最大值时，在y轴上是否存在点T,使直线MTCAONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONCS积的】？
若存在，求出点T的坐标；
若不存在，请说明理由.
15.（20分）对于给定的抛物线y=x2+ax+b,使实数p、q适合于ap=2（b+q）
（1）证明：
抛物线y=x2+px+q通过定点；
（2）证明：
下列两个二次方程，x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解.
参考答案与试题解析
一•选择题（共8小题，满分160分，每小题20分）
D.1
||1
|3
概率公式；
三角形三边关系；
等腰三角形的判定.732662
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
1符合条件的情况数目；
2全部情况的总数.
二者的比值就是其发生的概率的大小.
解：
从长度是2cm2cm4cm4cm的四条线段中任意选三条线段，有4种情况，由于
三角形中两边之和应大于第三边，所以能构成等腰三角形的情况有2种，故能构成等腰
三角形的概率=-=-.
42
故选C.
此题考查概率的求法：
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=;
用到的知识点为：
等腰三角形有2
n
条边长相等；
构成三角形的基本要求为两小边之和大于第三边.
铜仁地区）如图，皿是厶ABC的边BC的中点，AN平分/BAC且BN1AN,垂足为N,
且AB=6BC=10MN=1.5则厶ABC的周长是（）
C.18|D.25
三角形中位线定理.732662
延长线段BN交AC于E,从而构造出全等三角形，（△ABN^AAEN，进而证明MN是中位线，从而求出CE的长.
延长线段BN交AC于E.
TAN平分/BAC
•••/BANKEANAN=ANZANB"
ANE=90，
•••△ABN^AAEN
•••AE=AB=6BN=NE
又•••皿是厶ABC的边BC的中点，
•••CE=2MN=21.5=3，
•••△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25
故选D.
S康C
本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定.解决本题的关键是作出辅助线，利用
全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题.
22
3.（5分）已知xy工1,且有5x+2011x+9=0,9y+2011y+5=0,则—的值等于（）y
选B
4.（5分）已知直角三角形的一直角边长是4,以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10,那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（）
A.6B.7C.8D.9
扇形面积的计算；
三角形的面积；
勾股定理.732662
计算题.
如图，AC=4S+S2=10,设BC=a利用圆的面积公式得到S+S+S+S/nX22+nXa2=2
224
n+“a2,于是有$+S=2n+"
a2-10①，再用以AB为直径的半圆减去三角形ABC的面SS
2
积得到S3+S,即卩S3+S=nX'
-—X4a=a+2n-2a②，有①-②得到a的方程，
2428
求出a,然后代入①即可得到两个弓形（带点的阴影图形）面积之和.
如图，
AC=4S+S2=10,设BC=a
S+S+Sb+S=nX2+nX二a=2n+a,
2248
S3+S=2n+a-10①,
又•••AB=42+a2=16+a,
2—
S+S=]nX-—X4a=a?
+2n-2a②,
二J-LJ
①一②得,2n^a2-10="
^2+2冗一2a,解得a=5,
.S3+S=2n+a-10=2n+X25-10心6.1,
88
即最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是6.
故选A.
本题考查了圆的面积公式：
S=nR2•也考查了不规则图形的面积的求法，即转化为规则的几何图形的面积的和或差来解决.
5.（5分）设a,b,c是厶ABC的二边长，二次函数.」-'
在x=1时取最小值-1.,,
二次函数的最值；
勾股定理的逆定理.732662计算题.
根据二次函数在对称轴时取得最小值，然后根据题意列出方程组即可求出答案;
一X二1
由题意可得*
山-》
b—8k
I225
b+c=2a
—-!
■，因此a2+c2=b2,
I5
所以--「，
所以△ABC是直角三角形，
故选D.
本题考查了二次函数的最值，难度不大，关键是掌握二次函数在二次项系数大于0时，在对称轴处取得最小值.
6.（5分）计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则.如图，堆栈
（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b;
（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e，d，c,取出数据的顺序则是c，d，e,现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），贝U不同顺序的取法的种数有（）
加法原理与乘法原理.732662
此题实际可以理解为a、b、c、d、e这五个字母组成的排列中，不论怎样排列，a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变，这样排列开头的字母只能是a或c,由此解答问题即可.
先取出堆栈
（1）的数据首次取出的只能是a,可以有下列情况，
abcde,acbde，acdbe，acdeb四种情况；
先取出堆栈
（2）的数据首次取出的只能是c,可以有下列情况，
cdeab，cdabe，cdaeb，cabde，cadbe，cadeb六种情况；
综上所知，共10种取法.
解决此题的关键是要搞清a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变，从而运用一一列举的方法解答即可.
二•填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
7.（5分）设方程x2-|2x-1|-4=0，则满足该方程的所有根之和为.
解一元二次方程-因式分解法；
绝对值；
解一元二次方程-公式法.732662因式分解.
因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去.
当2x-1>
0时，即x>
，原方程化为：
X2—2x-3=0,（x-3）（x+1）=0，
X1=3，X2=-1，T-1v丄•••X2=-1（舍去）
•x=3
当2x-1v0，即xv〔时，原方程化为:
x2+2x-5=0，（x+1）2=6，
x+1=±
.卜，X1=-1+.卜，X2=-1-.卜
T-1+；
..辻〉二，•X1=-1+；
.汕（舍去）
•X=-1-■..
则3+（-1-7）=2-7.
故答案是：
2-■■■.：
■「
本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去.
8.（5分）（人教版考生做）如图，在平行四边形ABCD中，过ABC三点的圆交AD于E,且与CD
切割线定理；
平行四边形的性质；
圆周角定理；
弦切角定理.732662
连接CE根据圆周角定理易知：
/BAEKBECyEBC而/DCBMDCE#BCE这两个等式中，由弦切角定理知：
/DCEKEBC再由平行四边形的性质知：
/DCBKEAB因此yBECKBCE即可得BC=BE=5即AD=5进而可由切割线定理求DE的长.
连接CE
•ZBAEKEBCKBEC
•yDCBZDCEZBCE
由弦切角定理知：
ZDCEZEBC
由平行四边形的性质知：
ZDCBZBAE
•••/BEC=/BCE即BC=BE=5AD=5
由切割线定理知：
DE=DCDA=1'
5故选D.
此题主要考查了平行四边形的性质、切割线定理、弦切角定理以及圆周角定理的综合应用，能够判断出△BEC是等腰三角形，是解决此题的关键.
8.（5分）（北师大版考生做）如图B,等边三角形ABC中，DE分别为ABBC边上的点，AD=BE
AE与CD交于点F，沁CD于点6则晋的值为
特殊角的三角函数值；
全等三角形的判定与性质；
等边三角形的性质.732662
首先证明厶CAD^AABE得出/ACDMBAE证明/AFG=60.
在△CADWAABE中，
AC二AB/CADMABE=60，AD二BE
•△CAD^AABE
•/ACD=MBAE
v/BAE+ZCAE=60，
•/ACDZCAE=60.
•/AFG=/ACDZCAE=60.
在直角△AFG中,
vsin/FAG匹，AF
.FG_1
…AF=2.
本题主要考查了全等三角形的判定、性质，等边三角形、三角形的外角的性质，特殊角的三角函数值及三角函数的定义.综合性强，有一定难度.
9.（5分）已知a2-a-仁0,且———2，则x=—.
J+2拧-83—
解分式方程.732662
本题可先根据a2-a-仁0,得出a2，a3，a4的值，然后将等式化简求解.解：
由题意可得a2-a-仁0
a2=a+1
a4=（a2）2=（a+1）2=a2+2a+1=a+1+2a+仁3a+2a3=a?
a2=a（a+1）=a2+a=a+1+a=2a+1
=_2
3
6a+4-3a^x+2=2
n■.-3
x=4.
本要先根据给出的a2-a-仁0得出对等式化简有用的一些信息，然后再将方程化简求
解.本题计算过程较长，比较复杂.
10.（5分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8
元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有12件.
二元一次方程组的应用.732662
设共购商品2x件，9兀的商品a件，根据两人购买商品的件数相等，且两人购买商品
一共花费了172元，可列出方程，求解即可.
设共购商品2x件，9元的商品a件，则8元商品为（2x-a）件，根据题意得：
8（2x-a）+9a=172,
解得a=172-16x，
•••依题意2x>
a,且a=172-16x>
0,x为大于0的自然数，
•••可得9.6<
x<
10.75，
•••x=10，则a=12.
所以9元的商品12件，故答案填12.
本题主要考查了二元一次方程的应用及不等式组的解法.解题关键是弄清题意，找到合
适的等量关系，列出方程.本题解题的关键在于按生活实际讨论未知数的取值范围.
11.（5分）如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD
，/A=60°
CD=4m此二（砸■厶伍）■则电线杆AB的长为.
解直角三角形的应用-坡度坡角问题.732662应用题.
延长AD交地面于E,作DF丄BE于F，求出BE=BC+CF+FE=「，根据正切求出AB的值即可.
延长AD交地面于E,作DF丄BE于F.
v/DCF=45.CD=4
CF=DF=匚.
由题意知AB丄BC
./EDF/A=60°
.
./DEF=30
.EF=匚_
.BE=BC+CF+FE=「.
在Rt△ABE中,/E=30°
.AB=BEtan30=^^x誓二6^2（m）.
答：
电线杆AB的长为6匚米.
此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题•作辅助线、求出BE=BC+CF+F是解题的关键.
12.（5分）若实数x,y，使得•「：
，...这四个数中的三个相同的数值，贝U所有具有这样性
实数的运算.732662
分类讨论.
此题可以先根据分母不为0确定x+y与x-y不相等，再分类讨论即可.
因为「有意义，所以y不为0,故x+y和x-y不等
（1）x+y=xy二二解得y=-1，x=_，
y2
（2）x-y=xy二二解得y=-1，x=-_，
答案为（-1，'
）（-1，-'
）
解答本题的关键是确定x+y与x-y不相等，再进行分类讨论.
完全平方式.732662
先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=[_x+-
（a+b+c）]2，化简有ab+bc+ac=a?
+b2+c2，那么就有（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0,三个非负数的和等于0,则每一个非负数等于0,故可求a=b=c.
原式=3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），
•.•（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，
二3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=[「；
x+'
（a+b+c）]2，
•••ab+bc+ac=^（a+b+c）（a+b+c+2ab+2ac+2bc），
二ab+bc+ac二才+b2+c2，
•2（ab+bc+ac）=2（a2+b2+c2），
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0,
•a-b=0,b-c=0,c-a=0,
•a=b=c.
本题考查了完全平方式、非负数的性质.两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，
就构成了一个完全平方式.
钦州）如图，将OA=6AB=4的矩形OAB（放置在平面直角坐标系中，动点MN以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NPLBC,交OB于点P,连接MP
（1）点B的坐标为（6,4）;
用含t的式子表示点P的坐标为（t,21）;
3_
（2）记△OMP勺面积为S,求S与t的函数关系式（0vtV6）;
（3）试探究：
当S有最大值时，在y轴上是否存在点T,使直线MTffiAONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONCS积的一？
压轴题.
一次函数的应用；
矩形的性质.732662
（1）由0A=6AB=4易得点B的坐标为（6,4）;
由图可得，点P的横坐标=CN=t,纵坐标=4-NPNP的值可根据相似比求得；
（2）由
（1）的结论易得△0M啲高为吕t，而0M=-AM=-t，再根据三角形的面积公式即可求得S与t的函数关系式，再由二次函数的最值求法，求得
t为何值时，S有最大值；
（3）由
（2）求得点MN的坐标，从而求得直线ON的函数关系式；
设点T的坐标为（0，b），可得直线MT的函数关系式，解由两个关系式组成的方程组，可得点直线ON与MT的交点R的坐标；
由已知易得Saocn4X4X3=6，aS
△or/S"
c=2;
然后分两种情况考虑：
①当点T在点OC之间时，②当点T
在点0C的延长线上，从而求得符合条件的点T的坐标.
（1）延长NP交0A于H,
•••矩形OABC
aBC//0A/OCB=90，
•••PN!
BC,
aNH//oc
a四边形CNHOI平行四边形，
aOH=CN
■/0A=6AB=4
a点B的坐标为（6,4）;
由图可得，点P的横坐标=OH=CN=t纵坐标=4-NP
•••NPLBC,
aNP//OC
aNPOC=BNCB
即NP4=（6-t）:
t,
aNP=4-t,
•••点P的纵坐标=4-NP='
t,
则点P的坐标为（I.-）;
（其中写对B点得1分）（3分）
（2）vS^MiXOMK「-，（4分）
XOIX
23
233
•S=X（6-t）X_一=_；
+2t.
-i-,~（Ovtv6）.（6分）
•••当t=3时，S有最大值.（7分）
（3）存在.
由
（2）得：
当S有最大值时，点MN的坐标分别为：
M（3,0）,N（3,4）,则直线ON的函数关系式为：
曲.
■丿
设点T的坐标为（0,b）,贝U直线MT的函数关系式为：
尸需母，
•直线ON与MT的交点R的坐标为_.J,
v&
OC=X4X3=6,
••△oc=2.（8分）①当点T在点OC之间时，分割出的三角形是△ORTi,如图，作RD丄y轴,D为垂足，
则Szr1t=丄RD?
OT=?
垒？
b=2.
224+b
②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△RNE如图，设MT交CN于点E,由①得点E的横坐标为芝更，作RD2丄CN交CN于点D2,贝U
b
•b2+4b-48=0,b=「「—-厂［
•bm一\b2=_Ju7（不合题意，舍去）
•••此时点T2的坐标为（0,2届-2）.
综上所述'
在y轴上存在点T1（0,二）"
（。
，「：
）符合条件.（10
分）
此题综合性较强，考查了点的坐标、平行线分线段成比例、二次函数的最值、一次函数的应用等知识点.
（2）证明：
二次函数图象上点的坐标特征；
根的判别式.732662
证明题.
（1）由已知求得q=Jb,代入抛物线y=x2+px+q,得y=x2+px+』-b,将抛物线y=x2+ax+b
的顶点横坐标x=-:
代入可求y的值，确定结果为顶点纵坐标即可；
（2）方程x2+ax+b=0
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