七年级周末培优2利用绝对值的几何意义解题上课讲义Word格式.docx
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8.若|a+1|+|a﹣2|=5,|b﹣2|+|b+3|=7,则a+b= .
9.【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”(图1所示),是世界上最早的矩阵,又称“幻方”,用今天的数学符号翻译出来,“洛书”就是一个三阶“幻方”(图2所示).
【规律总结】观察图1、图2,根据“九宫图”中各数字之间的关系,我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ;
若图3,是一个“幻方”,则a= .
10.电影《哈利•波特》中,小哈利波特穿越墙进入“
站台”的镜头(如示意图的Q站台),构思奇妙,能给观众留下深刻的印象.若A、B站台分别位于﹣
,
处,AP=2PB,则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”.
11.在数轴上,点P表示的数是a,点P′表示的数是
,我们称点P′是点P的“相关点”,已知数轴上A1的相关点为A2,点A2的相关点为A3,点A3的相关点为A4…,这样依次得到点A1、A2、A3、A4,…,An.若点A1在数轴表示的数是
,则点A2018在数轴上表示的数是 .
三.解答题(共13小题)
12.若|a|+|b|=4,且a=﹣1,求a﹣b的值.13.已知|a﹣1|=5,|b|=2,|a+b|≠a+b,求ab的值.
14.同学们都知道,|5﹣(﹣2)|表示5与﹣2之差的绝对值,实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离.如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离.试探索:
(1)求|5﹣(﹣2)|= .
(2)若|x﹣3|=|x+1|,则x= .
(3)同样道理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x﹣2|=7,这样的整数是 .
15.如图,已知数轴上的点A表示的数为6,点B表示的数为﹣4,点C是AB的中点,动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为x秒(x>0).
(1)当x= 秒时,点P到达点A.
(2)运动过程中点P表示的数是 (用含x的代数式表示);
(3)当P,C之间的距离为2个单位长度时,求x的值.
16.在一个3×
3的方格中填写了9个数字,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等,得到的3×
3的方格称为一个三阶幻方.
(1)在图1中空格处填上合适的数字,使它构成一个三阶幻方;
(2)如图2的方格中填写了一些数和字母,当x+y的值为多少时,它能构成一个三阶幻方.
17.已知:
数轴上点A表示的数是8,点B表示的数是﹣4.动点P从点A出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动,动点Q从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动.P,Q两点同时出发.
(1)经过多长时间,点P位于点Q左侧2个单位长度?
(2)在点P运动的过程中,若点M是AP的中点,点N是BP的中点,求线段MN的长度.
18.已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度,点A在原点的左边,距离原点5个单位长度,点B在原点的右边.
(1)点A所对应的数是 ,点B对应的数是 ;
(2)若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动,速度为每秒2个单位长度,同时点F从点B出发向左运动,速度为每秒4个单位长度,在点C处点F追上了点E,求点C对应的数.
19.如图,点A、B都在数轴上,且AB=6
(1)点B表示的数是 ;
(2)若点B以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动,则2秒后点B表示的数是 ;
(3)若点A、B都以每秒2个单位沿数轴向右运动,而点O不动,t秒后有一个点是一条线段的中点,求t.
20.观察下面的等式:
﹣1=﹣|﹣
+2|+3;
3﹣1=﹣|﹣1+2|+3;
1﹣1=﹣|1+2|+3;
(﹣
)﹣1=﹣|
(﹣2)﹣1=﹣|4+2|+3
回答下列问题:
(1)填空:
﹣1=﹣|5+2|+3;
(2)已知2﹣1=﹣|x+2|+3,则x的值是 ;
(3)设满足上面特征的等式最左边的数为y,求y的最大值,并写出此时的等式.
22.如图,点A、B都在数轴上,O为原点.
(2)若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动,则2秒后点B表示的数是 ;
(3)若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动,而点O不动,t秒后,A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点,求t的值.
23.已知数轴上,点O为原点,点A对应的数为11,点B对应的数为b,点C在点B右侧,长度为3个单位的线段BC在数轴上移动,
(1)如图1,当线段BC在O,A两点之间移动到某一位置时,恰好满足线段AC=OB,求此时b的值;
(2)线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中,是否存在AC﹣OB=
AB?
若存在,求此时满足条件的b的值;
若不存在,说明理由.
24.已知,一个点从数轴上的原点开始,先向左移动7cm到达A点,再从A点向右移动12cm到达B点,把点A到点B的距离记为AB,点C是线段AB的中点.
(1)点C表示的数是 ;
(2)若点A以每秒2cm的速度向左移动,同时C、B点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动,设移动时间为t秒,
①点C表示的数是 (用含有t的代数式表示);
②当t=2秒时,求CB﹣AC的值;
③试探索:
CB﹣AC的值是否随着时间t的变化而改变?
若变化,请说明理由;
若不变,请求其值.
参考答案与试题解析
【分析】若a,b互为相反数,则a+b=0,根据这个性质,四个选项中,两个数的和只要不是0的,一定不是互为相反数.
【解答】解:
∵a,b互为相反数,∴a+b=0.
A中,﹣2a+(﹣2b)=﹣2(a+b)=0,它们互为相反数;
B中,a+1+b+1=2≠0,即a+1和b+1不是互为相反数;
C中,a+1+b﹣1=a+b=0,它们互为相反数;
D中,2a+2b=2(a+b)=0,它们互为相反数.
故选:
B.
【点评】本题考查了互为相反数的意义和性质:
只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0;
一对相反数的和是0.
【分析】设下面中间的数为x,分别表示出相应的数,再根据每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等,列出方程求解即可.
设下面中间的数为x,则三个数字之和为8+x,
8﹣3=5,
8+x﹣3﹣6=x﹣1,
8+x﹣2﹣(x﹣1)=7,
5+6+7﹣7﹣3=8,
如图所示:
P+6+8=7+6+5,
解得P=4.
C.
【点评】此题主要考查有理数的加法,图形的变化规律,学习过程中注意培养自己的观察、分析能力.
A.若a>0,b<0,则a﹣b>0B.a<b,b>0,则a﹣b<0
C.若a<0,b<0,则a﹣(﹣b)<0D.若a<0,b<0,且|a|>|b|,则a﹣b>0
【分析】根据有理数的减法运算法则对各选项分析判断利用排除法求解.
A、若a>0,b<0,则a﹣b>0正确,故本选项错误;
B、若a<b,b>0,则a﹣b<0正确,故本选项错误;
C、若a<0,b<0,则a﹣(﹣b)<0正确,故本选项错误;
D、若a<0,b<0,且|a|>|b|,则a﹣b>0错误,故本选项正确.
D.
【点评】本题考查了有理数的减法,要注意字母表示数的抽象性,熟记运算法则是解题的关键.
二.填空题(共8小题)
的最大值是 1 .
【分析】此题要分三种情况进行讨论:
①当x,y中有二正;
②当x,y中有一负一正;
③当x,y中有二负;
分别进行计算.
①当x,y中有二正,
=1+1﹣1=1;
②当x,y中有一负一正,
=1﹣1+1=1;
③当x,y中有二负,
=﹣1﹣1﹣1=﹣3.
故代数式
的最大值是1.
故答案为:
1.
【点评】此题主要考查了绝对值,以及有理数的除法,关键是要分清分几种情况,然后分别进行讨论计算.
5.若|m|=3,|n|=2且m>n,则2m﹣n= 4或8 .
【分析】根据|m|=3,|n|=2且m>n,可得:
m=3,n=±
2,据此求出2m﹣n的值是多少即可.
∵|m|=3,|n|=2且m>n,
∴m=3,n=±
2,
(1)m=3,n=2时,
2m﹣n=2×
3﹣2=4
(2)m=3,n=﹣2时,
3﹣(﹣2)=8
4或8.
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
①当a是正有理数时,a的绝对值是它本身a;
②当a是负有理数时,a的绝对值是它的相反数﹣a;
③当a是零时,a的绝对值是零.
6.|x+2|+|x﹣2|+|x﹣1|的最小值是 4 .
【分析】根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离,因而原式表示:
数轴上一点到﹣2,2和1距离的和,当x在﹣2和2之间的1时距离的和最小.
|x+2|+|x﹣2|+|x﹣1|表示:
数轴上一点到﹣2,2和1距离的和,
当x在﹣2和2之间的1时距离的和最小,是4.
4.
【点评】本题主要考查了绝对值的意义,正确理解|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离,是解决本题的关键.
7.已知m、n、p都是整数,且|m﹣n|+|p﹣m|=1,则p﹣n= ±
1 .
【分析】由于|m﹣n|+|p﹣m|=1,且m、n、p都是整数,那么只有两种情况:
①|m﹣n|=1,p﹣m=0;
②m﹣n=0,|p﹣m|=1;
这两种情况都可以得出p﹣n=±
1;
从而求解.
因为m,n,p都是整数,|m﹣n|+|p﹣m|=1,则有:
解得p﹣n=±
②|p﹣m|=1,m﹣n=0;
综合上述两种情况可得:
p﹣n=±
±
【点评】本题主要考查了非负数的性质,根据已知条件求出p、n的关系式是解答本题的关键.
8.若|a+1|+|a﹣2|=5,|b﹣2|+|b+3|=7,则a+b= ±
1或±
6 .
【分析】先根据绝对值的性质分类讨论求得a、b的值,再分别代入a+b计算可得.
当a≤﹣1时,﹣a﹣1+2﹣a=5,解得a=﹣2;
当﹣1<a<2时,a+1+2﹣a=3≠5,舍去;
当a≥2时,a+1+a﹣2=5,解得a=3;
当b≤﹣3时,2﹣b﹣b﹣3=7,解得b=﹣4;
当﹣3<b<2时,﹣b﹣3+b﹣2=﹣5≠7,舍去;
当b≥2时,b﹣2+b+3=7,解得b=3;
综上a=﹣2或a=3,b=﹣4或b=3;
当a=﹣2、b=﹣4时,a+b=﹣6;
当a=﹣2、b=3时,a+b=1;
当a=3、b=﹣4时,a+b=﹣1;
当a=3、b=3时,a+b=6;
即a+b=±
6;
6.
【点评】本题主要考查有理数的加法和绝对值,解题的关键是根据绝对值的性质求得a、b的值及分类讨论思想的运用.
【规律总结】观察图1、图2,根据“九宫图”中各数字之间的关系,我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等 ;
若图3,是一个“幻方”,则a= ﹣3 .
【分析】根据题意确定出“幻方”需要的条件,确定出a的值即可.
【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”(图1所示),是世界上最早的矩阵,又称“幻方”,用今天的数学符号翻译出来,“洛书”就是一个三阶“幻方”(图2所示).
【规律总结】观察图1、图2,根据“九宫图”中各数字之间的关系,我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等;
若图3,是一个“幻方”,则4+1+(﹣2)=4+2+a,即a=﹣3,
每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等;
﹣3
【点评】此题考查了有理数的加法,弄清题意是解本题的关键.
处,AP=2PB,则P站台用类似电影的方法可称为“
站台”.
【分析】先根据两点间的距离公式得到AB的长度,再根据AP=2PB求得AP的长度,再用﹣
加上该长度即为所求.
AB=
﹣(﹣
)=
AP=
×
=
P:
﹣
+
.
故P站台用类似电影的方法可称为“
站台”.
【点评】此题考查了数轴,关键是用几何方法借助数轴来求解,非常直观,且不容易遗漏,体现了数形结合的优点.
,则点A2016在数轴上表示的数是 ﹣1 .
【分析】先根据已知求出各个数,根据求出的数得出规律,即可得出答案.
∵点A1在数轴表示的数是
∴A2=
=2,
A3=
=﹣1,
A4=
A5=
A6=﹣1,
…,
2016÷
3=672,
所有点A2016在数轴上表示的数是﹣1,
﹣1.
【点评】本题考查了数轴和有理数的计算,能根据求出的结果得出规律是解此题的关键.
12.若|a|+|b|=4,且a=﹣1,求a﹣b的值.
【分析】根据已知条件求出b的值,再代入要求的式子,然后进行计算即可.
∵|a|+|b|=4,a=﹣1,
∴b=±
3,
∴a﹣b=﹣1﹣3=﹣4或a﹣b=﹣1+3=2,
∴a﹣b的值是﹣4或2.
【点评】此题考查了有理数的加减,解题的关键是求出b的值,是一道基础题.
13.已知|a﹣1|=5,|b|=2,|a+b|≠a+b,求ab的值.
【分析】先由绝对值的性质求得a、b的值,然后根据|a+b|≠a+b可得到a=﹣4,b=﹣2或a=﹣4,b=2,最后代入计算即可.
∵|a﹣1|=5,|b|=2,
∴a=6或﹣4,b=±
2.
∵|a+b|≠a+b,
∴a=﹣4,b=﹣2或a=﹣4,b=2.
当a=﹣4,b=﹣2时,ab=8;
当a=﹣4,b=2时,ab=﹣8,
综上所述,代数式的值±
8.
【点评】本题主要考查的是求代数式的值、绝对值的定义和性质,求得a=﹣4,b=﹣2或a=﹣4,b=2是解题的关键.
(1)求|5﹣(﹣2)|= 7 .
(2)若|x﹣3|=|x+1|,则x= 1 .
(3)同样道理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x﹣2|=7,这样的整数是 ﹣5,﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2 .
【分析】
(1)根据5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案;
(2)根据题意可得方程x﹣3+x+1=0,再解即可;
(3)由于|x+5|表示x与﹣5两数在数轴上所对的两点之间的距离,|x﹣2|表示x与2两数在数轴上所对的两点之间的距离,而|x+5|+|x﹣2|=7,则x表示的点在﹣5与2表示的点之间.
(1)|5﹣(﹣2)|=|5+2|=7,
7;
(2)由题意得:
x﹣3+x+1=0,
解得:
x=1,
(3)∵|x+5|表示x与﹣5两数在数轴上所对的两点之间的距离,|x﹣2|表示x与2两数在数轴上所对的两点之间的距离,而﹣5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离为2﹣(﹣5)=7,|x+5|+|x﹣2|=7,
∴﹣5≤x≤2.
∴x=﹣5,﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,
﹣5,﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2.
【点评】本题考查了绝对值和数轴,关键是掌握绝对值的性质:
若a>0,则|a|=a;
若a=0,则|a|=0;
若a<0,则|a|=﹣a.
(1)当x= 5 秒时,点P到达点A.
(2)运动过程中点P表示的数是 2x﹣4 (用含x的代数式表示);
(1)直接得出AB的长,进而利用P点运动速度得出答案;
(2)根据题意得出P点运动的距离减去4即可得出答案;
(3)利用当点C运动到点P左侧2个单位长度时,当点C运动到点P右侧2个单位长度时,分别得出答案.
(1)∵数轴上的点A表示的数为6,点B表示的数为﹣4,
∴AB=10,
∵动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,
∴运动时间为10÷
2=5(秒),
5;
(2)∵动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,
∴运动过程中点P表示的数是:
2x﹣4;
(3)点C表示的数为:
[6+(﹣4)]÷
2=1,
当点C运动到点P左侧2个单位长度时,
2x﹣4=1﹣2
x=1.5,
当点C运动到点P右侧2个单位长度时,
2x﹣4=1+2
x=3.5
综上所述,x=1.5或3.5.
【点评】此题主要考查了数轴,正确分类讨论得出PC的长是解题关键.
(1)根据三个数的和为2+3+4=9,依次列式计算即可求解;
(2)先求出下面中间的数,进一步得到右上面的数,从而得到x、y的值,相加可求x+y的值.
(1)2+3+4=9,
9﹣6﹣4=﹣1,
9﹣6﹣2=1,
9﹣2﹣7=0,
9﹣4﹣0=5,
(2)﹣3+1﹣4=﹣6,
﹣6+1﹣(﹣3)=﹣2,
﹣2+1+4=3,
x=3﹣4﹣(﹣6)=5,
y=3﹣1﹣(﹣6)=8,
x+y=5+8=13.
【点评】本题考查了有理数的加法,根据表格,先求出三个数的和是解题的关键,也是本题的突破口.
(1)根据题意可以列出相应的等式,从而可以解答本题;
(2)根据题意可以用代数式表示出点M和点N表示的数,从而可以求得MN的长度.
(1)设经过t秒,点P位于点Q左侧2个单位长度,
6t﹣[4t+8﹣(﹣4)]=2,
解得,t=7
答:
经过7秒,点P位于点Q左侧2个单位长度;
(2)由题意可得,
经过时间t,点P表示的数为:
8﹣6t,
∵点M是AP的中点,点N是BP的中点,
∴点M表示的数是:
点N表示的数是:
∴MN=|(8﹣3t)﹣(2﹣3t)|=|8﹣3t﹣2+3t|=6,
即线段MN的长度是6.
【点评】本题考查数轴,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数轴的知识解答.
(1)点A所对应的数是 ﹣5 ,点B对应的数是 27 ;
(1)根据题意找出A与B点对应的数即可;
(2)设经过x秒F追上点E,根据题意列出方程,求出方程的解得到x的值,即可确定出C点对应的数.
(1)根据题意得:
A点所对应的数是﹣5;
B对应的数是27;