江苏省宿迁市学年高一数学下学期期末考试试题.docx
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江苏省宿迁市学年高一数学下学期期末考试试题
宿迁市2016~2017学年度第二学期期末考试
高一数学试卷
(考试时间120分钟,试卷满分160分)
注意事项:
1.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方.
2.答题时,请使用0.5毫米的黑色中性笔或碳素笔书写,字迹工整,笔迹清楚.
3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效.请保持卡面清洁,不折叠,不破损.考试结束后,请将答题卡交回.
参考公式:
V柱=Sh,S为底面积,h为高.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.直线的倾斜角为▲.
2.在中,角所对的边分别为.已知,则的度数为▲.
3.在等比数列中,公比为,为其前项和.已知,则的值为▲.
4.已知正实数满足,则的最大值为▲.
5.已知点在不等式组所表示的平面区域内运动,则的取值范围为▲.
6.已知一个正三棱柱的侧面积为18,且侧棱长为底面边长的2倍,则该正三棱柱的体积为▲.
7.在等差数列中,公差,且成等比数列,则的值为▲.
8.已知,表示两条不同的直线,,表示两个不同的平面,则下列四个命题中,所有正确命题的序号为▲.
①若,,则;②若,,则;
③若,,则;④若,,则.
9.在中,角所对的边分别为.已知,则的面积为▲.
10.若直线与平行,则与之间的距离为▲.
11.已知,,则的值为▲.
12.已知数列满足,,则数列的前项和▲.
13.关于的不等式的解集中恰含有3个整数,则实数的取值集合是▲.
14.在中,若,则的最小值为▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在中,角所对的边分别为.已知,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,为的中点.
(1)若,,求证:
平面;
(2)若,平面平面,求证:
.
17.(本小题满分14分)
某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”,其主体是一个半径为5米的球体,需设计一个透明的支撑物将其托起,该支撑物为等边圆柱形的侧面,厚度忽略不计.轴截面如图所示,设.(注:
底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱.)
(1)用表示圆柱的高;
(2)实践表明,当球心和圆柱底面圆周上的点的距离达到最大时,景观的观赏效
果最佳,求此时的值.
18.(本小题满分16分)
在中,边,所在直线的方程分别为,,已知是边上一点.
(1)若为边上的高,求直线的方程;
(2)若为边的中线,求的面积.
19.(本小题满分16分)
已知函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若恒成立,求的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知是各项均为正数的等差数列,其前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前项和为,且,.
①求证:
数列是等比数列;
②求满足的所有正整数的值.
宿迁市2016~2017学年度第二学期高一年级期末调研测试
数学(参考答案及评分标准)
一、填空题:
1.;2.;3.2;4.;5.;6.;7.3;8.②③;
9.;10.;11.;12.;13.;14..
二、解答题:
15.
(1)法一:
因为,,
所以,
所以,……………………………………………3分
又因为,
所以.…………………………7分
法二:
在中,,………………………………3分
又,即,
所以,所以.………………………………………7分
(2)由
(1)得,,
所以,…………………………………9分
所以,……………………………………………11分
所以.……………………………………14分
16.证明:
(1)因为,,为中点,
所以,且,
所以四边形为平行四边形,……2分
故,……………………4分
又平面,平面,
所以平面.…………………7分
(2)因为,为中点,
所以,…………………9分
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,……………………12分
又平面,
所以.……………………14分
17.
(1)作于点,则在直角三角形中,
因为,
所以,………………3分
因为四边形是等边圆柱的轴截面,
所以四边形为正方形,
所以.………………6分
(2)由余弦定理得:
,……8分
…………………………………10分
因为,所以,
所以当,即时,取得最大值,…12分
所以当时,的最大值为.
答:
当时,观赏效果最佳.……………………………………14分
18.
(1)由解得,即,………………………………2分
又,所以,
因为为边上的高,所以,………………………………4分
为边上一点,所以,
所以直线的方程为.……………………………6分
(2)法一:
设点的坐标为,由为的中点,得点的坐标为,
又点与点分别在直线和上,
所以,解得,
所以点的坐标为,…………………………8分
由
(1)得,又,
所以直线的方程为,…………………………10分
所以点到直线的距离,………………12分
又,…………………………14分
所以,
又为的中点
所以.…………………………16分
法二:
(上同法一)
点的坐标为,…………………………8分
又为上一点,
所以直线的方程为.…………………………10分
由
(1)知,所以点到直线的距离
,…………………………12分
又的坐标为,
所以,…………………………14分
所以.…………………………16分
法三:
若直线的斜率不存在,即的方程为,
由解得,
即的坐标为,同理可得的坐标为,
而,不是的中点,所以直线的斜率存在.
设直线的方程为
由解得,即的坐标为
同理可得的坐标为,为的中点
所以解得,
所以直线的方程为,即为.
(下同法二)
法四:
求正弦值即,长用面积公式(略).
19.
(1)当时,得,
①当时,得,即,
因为,所以,
所以;……………………………………………2分
②当时,得,即,
所以,
所以.………………………………4分
综上:
.………………………………………6分
(2)法一:
若恒成立,则恒成立,
所以恒成立,………………………8分
令,则(),
所以恒成立,
①当时,;…………………………………………10分
②当时,恒成立,
因为(当且仅当时取等号),
所以,
所以;……………………………………………12分
③当时,恒成立,
因为(当且仅当时取等号),
所以,
所以,……………………………………………14分
综上:
.……………………………………………16分
法二:
因为恒成立,所以,所以,………………8分
①当时,恒成立,
对称轴,所以在上单调增,
所以只要,得,………………………10分
所以;………………………12分
②当时,恒成立,
对称轴,
所以的判别式,
解得或,………………………14分
又,所以.
综合①②得:
.………………………16分
20.
(1)法一:
因为数列是正项等差数列,设首项为,公差为,
所以…………………………………………2分
解得,所以.…………………………………………4分
法二:
因为数列是公差为正数的等差数列,设公差为,
又因为,所以,……………2分
所以,解得或,
又因为,所以,
所以,所以.…………………………………4分
(2)①证明:
由
(1)知,因为,
所以,即,…………………………6分
因为,所以,所以,
所以数列是等比数列.…………………………………………8分
②由
(1)知,所以,
由
(2)中①知,所以,…………………………10分
要使,即,即,
设,求满足的所有正整数,即求的所有正整数,
令,即,
解得,,因为,所以或,
即,当时,数列是单调递减数列,………………14分
又因为,
所以当取时,,当时,,
所以满足的所有取值为.…………………………………16分