第十五章 整式全章教案.docx

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第十五章整式全章教案

第15章整式

15.1整式的加减

（1）

教学目标

①了解单项式、多项式、整式的概念，弄清它们之间的联系与区别．

②掌握整式、单项式及其系数与次数、多项式的次数、项的概念，明确它们之间的区别与联系，并会把一个多项式按某个字母的升幂或降幂排列．

教学重点与难点

重点：

单项式概念及其系数与次数、多项式概念及其次数、项之间的区别与联系．

难点：

识别单项式系数与次数、多项式次数、项．

教学设计

创设情境引入课题

为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长mm，宽bm的长方形绿地，向两边分别加宽am和cm，（课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分）．提出问题：

你能用几种方法表示扩大后绿地的面积?

不同的表示方法之间有什么关系?

学生小组讨论，全班交流．

回答上面的问题要用到本章将要学习的新知识．

注：

原长方形及其变化后的长方形，让学生从图形直观感受变化，并尝试用不同的方法表示扩大后的绿地面积．但这里重点在于激发学生的学习兴趣，鼓励他们找到不同的答案（包括书本外的答案）．对于不同表示方法之间的关系留待以后讨论．

探求新知

1．试一试

填空：

（1）若正方形的边长为x，那么正方形的周长为________．

（2）若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为________．

（3）小民从每月的零花钱中贮存一些钱准备捐给希望工程，若他每年能捐x元，三年半下来小民共捐款________元．

（4）一辆汽车的速度是vkm／h，行驶th所走过的路程是________km．

（5）若n表示一个数，则它的相反数是________．

（6）若正方体的棱长为a，它的表面积为________，体积为________．

（7）直径为m的圆面积是________．

注：

在这里补充（7）的目的是为了接下去学习单项式的系数时让学生注意π是常数．

2．想一想

问题1：

观察你所列出的这些式子有什么共同特点?

（可以将式子中省略的乘号补上，启发学生观察）

指导学生一起分析这些式子，指出这些式子的共同点．

注：

学生独立思考，互相交流思考的结果．

在学生交流的基础上，教师概括：

所列的式子是4x，

它们都是数或字母的积，

这样的式子叫做单项式．特别地，单独的一个数或字母也是单项式．

你能再举一些单项式的例子吗?

试试看．

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

你能说出上述单项式的系数和次数吗?

注意：

（1）圆周率π是常数；

（2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．

（3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．如3x写成x

“注意”应该结合具体例子先讲解，再小结．

巩固新知

例1判断下列各式是否是单项式．如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它们的系数和次数．

自主学习

1．做一做

填空：

（教科书第163页思考题）

在学习单项式时，我们研究了单项式的概念、单项式的系数和次数，类似地，对于上面写出的这些式子你能提出什么问题?

问题2：

观察你所列出的这些式子有什么共同特点?

它们与单项式有什么关系?

注：

对于单项式、多项式同样都要研究它的次数等，所以在这里让学生自主提出要研究的问题，在生生交流、师生交流过程中，尝试得到结论．

2．讲一讲

师生共同概括：

列出的式子3.14r2，x2+2x+18，都是由单项式的和组成的．

几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．

注：

让学生读一读这些多项式，注意每一项是什么，还要使学生注意单项式前的符号，有正号，也有负号．

先读一读，再说说看：

上述多项式的项分别是什么?

注意：

多项式的每一项都包括它前面的符号．

问题：

单项式的次数是怎么确定的?

观察多项式x2+2x+18中各项的次数分别是多少?

其中次数最高项的次数是多少?

规定，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

试回答：

多项式是几次多项式?

注意：

多项式的次数不是所有项的次数之和．

注：

这里注意让学生讲一讲单项式与多项式次数之间的联系与区别．

巩固新知

例2指出下列多项式的项和次数：

（1）a3-3a2b+3ab2-b2；

（2）4n4-3n2+2

练习：

教科书第164页．

单项式和多项式统称整式．

说一说：

你能说出单项式、多项式、整式三者间的关系吗?

试一试

运用加法交换律，任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到__种不同的排列方式．在众多的排列方式中，你认为哪几种比较整齐?

学生独立思考后交流．

注：

学生体验单项式、多项式的联系与区别，单项式、多项式、多项式的项都有次数，要弄清它们之问的联系与区别．

概括：

任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到6种不同的排列方式．在众多的排列方式中，像x2+x+1与1+x+x2这样的排列方式比较整齐．

你认为是什么特点致使这两种排列比较整齐呢?

学生独立思考，小组交流．师生共同分析得出结论：

这两种排列有一个共同的特点，那就是x的指数是逐渐变小（或变大）的．其实，这样的写法除了整齐外对今后的计算也会带来便利．把多项式x+x2+1按x的指数从大到小的顺序排列，即x2+x+1，叫做这个多项式按字母x的降幂排列；把多项式x+x2+1按x的指数从小到大的顺序排列，即1+x+x2，叫做这个多项式按字母x的升幂排列．

做一做：

把多项式分别5-4x2+5x按x的升幂和降幂排列．

小结

挑战自我

1．请写出一个单项式，使它的系数为-4,次数为5；

2．请写出一个多项式，使它的项数是3，次数为3．

注：

通过开放性问题的练习，进一步强化对单项式的系数、次数以及多项式的项数、次数的认识，提高学生的综合思维能力．

课外巩固

1．必做题：

（1）教科书第164页练习1、2；

（2）教科书第167页习题15.1第1题．

2．备选题：

（1）判断下列各式是不是整式?

如果是整式，那么它是单项式还是多项式?

（2）判断下列说法是否正确．正确的在括号内打“√”，不正确的打“×”：

①单项式a既没有系数，也没有次数．（）

②单项式5×lO5x的系数是5．（）

③-2005是单项式．（）

④单项式的系数是，次数是3．（）

（3）指出下列多项式的次数与项，并把它按字母a的升幂排列：

①3a2+5-3a+a3；

②2a3b-4b3+5a2．

设计思想

在小学和七年级，已经学习了用字母代替数，列代数式表示现实世界中简单的数量关系，根据数量关系列方程和解方程，有了这些基本知识，学生已经对整式具有了一定的感性认识．

本节课学习单项式与多项式及其相关的概念，是数学概念的学习．在教学设计中采用从实际问题中引入新课，让学生自己动手做一做，比较同一个问题的不同的表示方法，激起学生探索的兴趣．因为初一的学生观察、分析、归纳的能力还比较弱，在教学中从实例出发，展现数学知识的形成过程，组织学生小组讨论，在学生交流的基础上归纳出单项式与多项式的概念，在这个过程中逐步提高学生的抽象概括能力．单项式我们研究它的系数与次数，多项式也要研究它的次数，学生较容易把多项式的次数算成所有字母的指数和，在教学中组织学生讨论两者的联系与区别．在小结后让学生解决两个开放性问题，进一步强化了学生对单项式及多项式相关概念的区别与联系，达到了让学生在理解的基础上掌握单项式及多项式相关概念的目的．

背景资料

算术和代数是数学中最基础而又最古老的分支学科，两者有着密切的联系．算术是代数的基础，代数由算术演进而来．从算术演进到代数，是数学在思想方法上发生的一次重大突破．

一、代数学产生的历史必然性

代数学作为数学的一个研究领域，其最初而又最基础的分支是初等代数．初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解．从历史上看，初等代数是算术发展的继续和推广，算术自身运动的矛盾以及社会实践发展的需要，为初等代数的产生提供了前提和基础．

我们知道，算术的主要内容是自然数、分数和小数的性质与四则运算．算术的产生，表明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步．算术是人类社会实践活动中不可缺少的数学工具，在人类社会各部门都有广泛而重要的应用，离开算术这一数学工具，科学技术的进步几乎难以想像．

在算术的发展过程中，由于算术理论和实践发展的要求，提出了许多新问题，其中一个重要问题就是算术解题法的局限性在很大程度上限制了数学的应用范围。

算术解题法的局限性，主要表现在它只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许有抽象的、未知的数参加运算．也就是说，利用算术解应用题时，首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过加、减、乘、除四则运算求出算式的结果．许多古老的数学应用问题，如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等，都是借助这种方法求解的．算术解题法的关键是正确地列出算术，即通过加、减、乘、除符号把有关的已知数据连结起来，建立能够反映实际问题本质特征的数学模型．对于那些只具有简单数量关系的实际问题，列出相应的算式并不难，但对于那些具有复杂数量关系的实际问题，再列出相应的算式，往往就不是一件容易的事了，有时需要很高的技巧才行．特别是对于那些含有几个未知数的实际问题，要想通过建立已知数的算式来求解，有时甚至是不可能的．

算术自身运算的局限性，不仅限制了数学的应用，而且也影响和束缚了数学自身的继续发展．随着数学自身和社会实践的深入发展，算术解题法的局限性日益暴露出来，于是一种新的解题法——代数解题法的产生也就成为历史的必然．

代数解题法的基本思想是，首先依据问题的条件组成包含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值．初等代数的中心内容是解方程，因而通常把初等代数理解为解方程的科学．

初等代数与算术的根本区别，在于前者允许把未知数作为运算的对象，后者则把未知数排斥在运算之外．如果说在算术中也论及某个未知数的话，那么，这个未知数也只能起运算结果符号等价物的作用，只能单独地处在等式的左边，静等等式右边的算式完成对具体数字的演算．也就是说，在算术中，未知数没有参加运算的权利．而在代数中，方程作为由已知数和未知数构成的条件等式，本身就意味着其中所包含的已知数和未知数有着同等的运算地位，即未知数也变成了运算的对象，和已知数一样，它们可以参与各种运算，并可以依照某种法则从乘式的一边移到另一边．解方程的过程，实质上就是通过对已知数和未知数的重新组合，把未知数转化为已知数的过程，即把未知数置于等式的一边，已知数置于等式的另一边．从这种意义上看，算术运算不过是代数运算的特殊情况，代数运算是算术运算的发展和推广．

由于代数运算具有较大的普遍性和灵活性，因而代数的产生极大地扩展了数学的应用范围，许多算术无能为力的问题，在代数中却能轻而易举地得到解决．不仅如此，代数学的产生对整个数学的进程产生巨大而深远的影响，许多重大发现都与代数的思想方法有关．例如，对二次方程的求解，导致虚数的发现；对五次以上方程的求解，导致群论的诞生；把代数应用于几何问题，导致解析几何的创立等等．正因为如此，我们把代数的产生作为数学思想方法发生第一次重大转折的标志．

二、代数学体系结构的形成

“代数”一词，原意是指“解方程的科学”．因此，最初的代数学也就是初等代数．初等代数，作为一门独立的数学分支学科，其形成经历了一个漫长的历史过程，我们很难以某一个具体的年代作为它问世的标志．从历史上看，它大体上经过了三个不同的阶段：

文词代数，即用文字语言来表述运算对象和过程；简字代数，即用简化了的文词来表示运算内容和步骤；符号代数，即普遍使用抽象的字母符号．从文词代数演进到符号代数的过程，也就是初等代数由不成熟到较为成熟的发育过程．在这个过