中考优等生培优竞赛专题第8讲几何模型三垂直模型Word文档格式.docx
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,AC=BC,AD⊥CM,BE⊥CM,垂足分别为D,E。
⑴如图1,①线段CD和BE的数量关系是
②请写出线段AD,BE,DE之间的数量关系并证明。
⑵如图2,结论②还成立吗?
如不成立,写出并证明AD,BE,DE之间的数量关系。
【小结】
典型例题1-2
如图,已知矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴,y轴上,OD=2OA=6,AD:
AB=3:
1,则点C的坐标是()
典型例题1-3
如图,抛物线
经过点A(-1,0),B(4,0),交y轴于点C。
⑴求抛物线的解析式;
⑵点D为y轴右侧抛物线上一点,是否存在点D使
?
若存在,请直接写出点D的坐标;
若不存在,请说明理由。
⑶将直线BC绕点B顺时针旋转45°
,与抛物线交于另一点E,求BE的长。
变式训练1-1
如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα=()
变式训练1-2
如图1,OA=2,OB=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC,
(1)求C点的坐标;
(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点,当P点向y轴负半轴向下运动时,以P为顶点,PA为腰作等腰Rt△APD,过D作DE⊥x轴于E点,求OP−DE的值;
(3)如图3,已知点F坐标为(−2,−2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时,作Rt△FGH,始终保持∠GFH=90∘,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0),当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时,以下两个结论:
①m−n为定值;
②m+n为定值,其中只有一个结论是正确的,请找出正确的结论,并求出其值。
变式训练1-3
如图,直线
交x轴于点A,交y轴于点B,另有过点B的直线与x轴交于点C,使得∠ABC=45°
,求点C坐标。
扩展模型:
共线三等角模型:
当三垂直模型中3个直角变为相等的锐角或钝角时,仍会产生全等或相似三角形。
解读:
⑴图1和图2中,大小均为
的三个锐角(或钝角)顶点在同一直线你上。
⑵当三组对应边均不相等时,图1中有△ABC∽△ECD,图2中有△ABC∽△CDE(注意对应关系)
⑶当△ABC和△CDE的任意一组对应边相等时,有两三角形全等。
三角形的外角和定理
⑸图1中,若C为AE的中点,连接BD,则有△ABC∽△ECD∽△CBD(可记为“中点三相似”)
⑹三垂直模型是共线三等角模型的特殊情况。
典型例题2-1
如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD=1,BD=2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕EF,点E、F分别在AC和BC上,若BF=1.25,则CE=( )
典型例题2-2
如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且cosα=
.下列给出的结论中,正确的有()
①△ADE∽△ACD;
②当BD=6时,△ABC与△DCE全等;
③△DCE为直角三角形时,BD为8或12.5;
④0<
CE⩽6.4.
变式训练2-1
如图,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠a.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图l,若∠BCA=90∘,∠a=90∘,则BE___CF;
EF___|BE−AF|(填“>
”,“<
”或“=”);
②如图
(2),若0∘<
∠BCA<
180∘,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件___,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立。
(2)如图,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
变式训练2-2
如图,在△ABC中,AB=AC=15,点D是BC边上的一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=∠α,DE交AB于点E,且tan∠α=
有以下的结论:
②当CD=9时,△ACD与△DBE全等;
③△BDE为直角三角形时,BD为12或
;
BE⩽
其中正确的结论是___(填入正确结论的序号)
中考真题
如图,AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S=___.
如图,直线l1∥l2∥l3,一等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分别在l1,l2,l3上,∠ACB=90∘,AC交l2于点D,已知l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,这样AD:
CD=1:
3,则
的值为()
如图,矩形ABCD中,由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置,则矩形ABCD的周长为___.
如图,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转,若∠BOA的两边分别与函数
、
的图象交于B、A两点,则∠OAB的大小的变化趋势为(
)
如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB:
BC=3:
2,点A(3,0),B(0,6),分别在x轴,y轴上,反比例函数
的图象经过点D,且与边BC交于点E,则点E的坐标为________.
如图,在平面直角坐标系中,OA=AB,∠OAB=90∘,反比例函数
(x>
0)的图象经过A,B两点。
若点A的坐标为(n,1),则k的值为___.
如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标为(−1,1),点B在x轴正半轴上,点D在第三象限的双曲线
上,过点C作CE∥x轴交双曲线于点E,连接BE,则△BCE的面积为()
如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴,y轴分别交于A(−9,0),B(0,6)两点,过点C(2,0)作直线l与BC垂直,点E在直线l位于x轴上方的部分.
(1)求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式;
(2)若△ACE的面积为11,求点E的坐标;
(3)当∠CBE=∠ABO时,点E的坐标为________.
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=4,点M是AD的中点,△MBC是等边三角形。
(1)求证:
梯形ABCD是等腰梯形;
(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且∠MPQ=60∘保持不变。
设PC=x,MQ=y,求y与x的函数关系式;
(3)在
(2)中当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由。
(1)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形。
如图
(1),已知:
在△ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D.E.证明:
DE=BD+CE.
(2)组员小刘想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?
如图
(2),将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D.A.
E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角。
请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;
若不成立,请说明理由。
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题:
如图(3),过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高,延长HA交EG于点I,求证:
I是EG的中点。
请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:
(1)探究1:
如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90∘,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BD,连接CD.求证:
△BCD的面积为
.(提示:
过点D作BC边上的高DE,可证△ABC≌△BDE)
(2)探究2:
如图2,在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90∘,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BD,连接CD.请用含a的式子表示△BCD的面积,并说明理由。
(3)探究3:
如图3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BD,连接CD.试探究用含a的式子表示△BCD的面积,要有探究过程。
如图1,在▱ABCD中,DH⊥AB于点H,CD的垂直平分线交CD于点E,交AB于点F,AB=6,DH=4,BF:
FA=1:
5.
(1)如图2,作FG⊥AD于点G,交DH于点M,将△DGM沿DC方向平移,得到△CG′M′,连接M′B.
①求四边形BHMM′的面积;
②直线EF上有一动点N,求△DNM周长的最小值.
(2)如图3,延长CB交EF于点Q,过点Q作QK∥AB,过CD边上的动点P作PK∥EF,并与QK交于点K,将△PKQ沿直线PQ翻折,使点K的对应点K′恰好落在直线AB上,求线段CP的长.
已知顶点为A抛物线
经过点
,点
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积;
(3)如图2,点Q是折线A﹣B﹣C上一点,过点Q作QN∥y轴,过点E作EN∥x轴,直线QN与直线EN相交于点N,连接QE,将△QEN沿QE翻折得到△QEN1,若点N1落在x轴上,请直接写出Q点的坐标。
二次函数一题多问
如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.
(1)求此函数的关系式;
(2)判断△ACD的形状,并说明理由;
(3)求四边形ABCD的面积.
(4)在对称轴上找一点P,使△BCP的周长最小,求出P点坐标及△BPC的周长。
(5)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴,交AC与点M,当点N坐标为多少时,线段MN的长度最大?
最大是多少?
(6)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N使△CAN面积最大?
最大面积是多少?
(7)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使四边形ABCN面积最大,且最大面积是多少?
(8)在y轴上是否存在一点E,使△ADE为直角三角形,若存在。
求出点E的坐标;
若不存在,说明理由。
(9)在y轴上是否存在一点F,使△ADF为等腰三角形,若存在,求出点F的坐标;
(10)在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC,若存在,求出点N的坐标;
(11)在抛物线上是否存在一点H,使S△BCH=S△ABC,若存在,求出点H的坐标;
(12)在抛物线上是否存在一点Q,使S△AOQ=S△COQ,若存在,求出点Q的坐标;
(13)在抛物线上是否存在一点E,使BE平分△ABC的面积,若存在,求出点E的坐标;
(14)在抛物线上找一点F,做FM⊥X轴,交AC与点H,使AC平分△AFM的面积?
(15)在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形,求出K,L点的坐标。
(16)作垂直于x轴的直线x=-1,交直线AC于点M,交抛物线于点N,以A,M,N,E为顶点作平行四边形,求第四个顶点E的坐标。
(17)在抛物线上能不能找到一点P,使∠POC=∠PCO?
若能,请求出点P的坐标;
若不能,请说明理由.
(18)在线段AC上是否存在点M,使△AOM与△ABC相似?
若存在,求出点M的坐标;
若不存在,说明理由.
(19)点P是抛物线上一个动点,作PH⊥x轴于H,是否存在点P,使得△PAH与△OBC相似?
(20)若点P从点A出发向B运动,同时点Q从点O出发向C运动,当一点到达终点时,另一点也停止运动,设运动的时间为t秒,△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值.