八年级数学第十六章二次根式Word文档下载推荐.docx

八年级数学第十六章二次根式Word文档下载推荐.docx

《八年级数学第十六章二次根式Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学第十六章二次根式Word文档下载推荐.docx（87页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

16.1　二次根式

　1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.

　2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.

　3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.

　经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.

　经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.

　【重点】　会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.

　【难点】　运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.

第

课时

　使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.

　【重点】　了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.

　【难点】　会求二次根式中字母的取值范围.

　【教师准备】　教学所需的习题资料.

　【学生准备】　复习平方根和立方根的有关知识.

导入一:

　唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?

　要解决这个问题,我们得从二次根式说起.

　[设计意图]　将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.

导入二:

　1.教师出示复习题:

（1）4的平方根是　　　　;

0的平方根是　　　　;

-16的平方根是　　　　. 

（2）5的平方根是　　　　;

5的算术平方根是　　　　. 

　学生口答:

（1）4的平方根是±

2;

0的平方根是0;

-16没有平方根.

（2）5的平方根是±

;

5的算术平方根是.

　2.教师出示教材第2页“思考”题:

　用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:

（1）面积为3的正方形的边长为　　　　,面积为S的正方形的边长为　　　　. 

（2）一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130m2,则它的宽为　　　　m. 

　（3）一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t（单位:

s）与开始落下时离地面的高度h（单位:

m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为　　　　. 

　学生思考后回答,教师补充得出答案:

（1）,;

（2）;

（3）　.

　[设计意图]　以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.

　1.二次根式的概念

　思路一

　　[过渡语]　（针对导入二）让我们一起来看下面的问题:

上面得到的式子,,,　分别表示什么意义?

它们有什么共同特征?

　教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:

都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根.

　讨论:

你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?

　学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:

　一般地,我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.

　追问:

在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?

　教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.

　[设计意图]　让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.

　思路二

　像,,,　这样的式子有什么共同特点呢?

　学生观察,交流发现:

一是从形式上看,都含有二次根号;

二是被开方数的取值范围有限制:

被开方数必须是非负数.

　教师进一步明确:

形如（a≥0）的式子叫做二次根式.

　引导学生说一说对二次根式的认识:

（1）表示a的算术平方根;

（2）a可以是数,也可以是代数式;

（3）从形式上看,含有二次根号;

（4）a≥0,≥0.

　[设计意图]　加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.

　2.例题讲解

　　[过渡语]　二次根式的定义怎样理解?

让我们一起来学习几个例题.

　下列各式中,哪些是二次根式?

并指出二次根式中的被开方数.

,,（x≥3）,（y>

-1）,,,　（xy>

　引导学生观察根指数和被开方数分析发现:

显然不是二次根式（因为它的根指数是4,含有四次根号）,其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.

　解:

（x≥3）,,　（xy>

0）是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,（x+1）2,.

　[解题策略]　①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为（-3）2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.

　【变式训练】　下列各式中,一定是二次根式的是　　（　　）

　A.　　　　B.

　C.　　D.（其中a<

0）

　〔解析〕　的被开方数-9<

0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.

　（教材例1）当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?

　引导学生从概念出发进行思考:

二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.

由x-2≥0,得x≥2.

　当x≥2时,在实数范围内有意义.

　【变式训练】　若式子1+有意义,则x的取值范围是　　　　. 

　〔解析〕　根据二次根式的性质可知:

x+1≥0,即x≥-1;

又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.

　[易错分析]　容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.

　[设计意图]　通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识.

　[知识拓展]　

（1）二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.

（2）在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.（3）形如b（a≥0）的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3×

-表示-×

但是不能写成3的形式.（4）当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.（5）当a是非负数时,（其中a≥0）本身也是一个非负数.

　师生共同回顾本节课所学主要内容:

知识要点

关键点

注意事项

二次根式的概念

形如≥0（a≥0）的式子叫做二次根式,其中被开方数是a

被开方数也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等

二次根式有意义的条件

被开方数必须是非负数

求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零

　1.已知下列各式:

（a≥2）,,　,其中二次根式的个数是　　（　　）

　A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个

　解析:

的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.

　2.（2014·

南通中考）若在实数范围内有意义,则x的取值范围是　　（　　）

　A.x≥　　B.x≥-

　C.x>

　　D.x≠

是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>

.故选C.

　3.当x=　　　　时,二次根式有最小值,其最小值是　　　　. 

∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.

　答案:

-3　0

　4.求下列各式中字母a的取值范围:

（1）;

（2）　;

（3）;

（4）.　

（1）由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.　

（2）由>

0,得1-2a>

0,即a<

.∴字母a的取值范围是小于的实数.　（3）因为无论a取何值,都有（a-3）2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数.　（4）因为无论a取何值,都有|a|+1>

0,所以字母a的取值范围是全体实数.

　第1课时

　例1　例2

一、教材作业

【必做题】

　教材第3页练习第1,2题;

教材第5页习题16.1第1题.

【选做题】

　教材第5页习题16.1第7题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.若　是二次根式,则下列结论正确的是　　（　　）

A.x≥0,y≥0　　　B.x>

0,y>

C.x,y同号　　D.≥0

2.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是　　（　　）

A.m>

6　　B.m<

6

C.m>

-6　　D.m<

-6

3.如果式子+有意义,那么在直角坐标系中点A（a,b）的位置在　　（　　）

A.第一象限　　B.第二象限

C.第三象限　　D.第四象限

4.（2015·

遵义中考）使二次根式有意义的x的取值范围是　　　　. 

【能力提升】

5.当x　　　　时,+在实数范围内有意义. 

6.（2015·

攀枝花中考）若y=++2,则xy=　　　　. 

7.已知x,y为实数,且满足-（y-1）=0,求x2016-y2016的值.

8.已知实数a满足+=a,求a-20142的值.

【拓展探究】

9.若x,y,n满足关系式+=·

试确定m的值.

【答案与解析】

1.D（解析:

依题意得≥0,即≥0.故选D.）

2.A（解析:

根据题意,结合非负数的性质,得=0,=0,所以解得因为y是负数,所以6-m<

0.解得m>

6.故选A.）

3.A（解析:

根据二次根式有意义的条件,易得a>

0,b>

0.故选A.）

4.x≥（解析:

要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.）

5.≥-且x≠-1（解析:

要使+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数2x+3≥0和的分母x+1≠0,即　由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.）

6.9（解析:

由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴xy=9.）

7.解:

∵-（y-1）=0,∴+（1-y）=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=（-1）2016-12016=1-1=0.

8.解:

由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得a-20142=2015.

9.解:

由等式的右边,根据二次根式有意义的条件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.

　我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:

学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.

　在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.

　根据教学时间多少调整例题教学,适当增加对二次根式非负性的例题的讲解,注重变式练习,以加深对二次根式具有双重非负性的理解.

练习（教材第3页）

1.解:

设长方形的长和宽分别为3acm,2acm.由题意,得3a·

2a=18,∴a2=3,a=（舍去a=-）,∴3a=3,2a=2.故长方形的长取3cm,宽取2cm.

2.解:

（1）当a-1≥0,即a≥1时,有意义.　

（2）当2a+3≥0,即a≥-时,有意义.　（3）当-a≥0,即a≤0时,有意义.　（4）当5-a≥0时,即a≤5时,有意义.

　若x,y为实数,且满足y=+-3,求x+2y的值.

　〔解析〕　根据二次根式的被开方数不小于0,求得x,y的值,然后将其代入所求的代数式并计算.

由二次根式有意义的条件得即x2-4=0,所以x=±

2.

　当x=±

2时,y=-3.

　①当x=2,y=-3时,x+2y=2+2×

（-3）=-4;

　②当x=-2,y=-3时,x+2y=-2+2×

（-3）=-8.

　所以x+2y的值是-4或-8.

　[解题策略]　根据已知得出并得到x=±

2是解决本题的关键.

　已知（3a-6）2+=0,求ba的值.

　〔解析〕　根据非负数的性质:

若两个非负数的和为0,则这两个非负数的值都为0,解出a,b的值,再代入原式中计算.

因为（3a-6）2与都是非负数,且它们的和为0,

　所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.

　此时ba=32=9.

　[解题策略]　本题考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:

（1）绝对值;

（2）偶次方;

（3）二次根式（算术平方根）.当它们的和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类问题.

　1.理解（）2=a（a≥0）和=a（a≥0）,并利用它们进行计算和化简.

　2.用具体数据结合算术平方根的意义推出（）2=a（a≥0）和探究=a（a≥0）,会用这个结论解决具体问题.

　3.了解代数式的概念.

　在明确（）2=a（a≥0）和=a（a≥0）的算理的过程中,感受数学的实用性.

　通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.

　【重点】　掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.

　【难点】　能运用二次根式的性质化简.

　【学生准备】　自学教材第3~4页的内容.

　教师出示问题:

　先化简再求值:

当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:

　甲的解答为:

原式=a+=a+（1-a）=a+1-a=1;

乙的解答为:

原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?

　本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.

　[设计意图]　以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.

　1.什么叫二次根式?

　2.当a≥0时,叫什么?

当a<

0时,有意义吗?

　学生口答,老师点评.

　通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.

　[设计意图]　复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.

　1.二次根式的性质1:

（）2=a（a≥0）

　　[过渡语]　我们先来探究性质1:

（）2=a（a≥0）.

　提问:

你能解释下列式子的含义吗?

　（）2,（）2,,（）2.

　学生口述,教师根据情况评价.

　（）2表示4的算术平方根的平方;

（）2表示2的算术平方根的平方;

表示的算术平方根的平方;

（）2表示0的算术平方根的平方.

根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.

　（）2=　　　　;

（）2=　　　　;

=　　　　;

（）2=　　　　. 

　学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.

　教师引导学生说出每一个式子的含义.

是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有（）2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有（）2=2.　是的算术平方根,根据算术平方根的意义,　是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有（）2=0.

从以上的结论中你能发现什么规律?

你能用一个式子表示这个规律吗?

　引导学生归纳得出二次根式的性质:

一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即（）2=a（a≥0）.

　（教材例2）计算:

（1）（）2;

（2）

（2）2.

　学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.

　〔解析〕　

（1）直接运用（）2=a（a≥0）化简即可.

（2）运用幂的性质（ab）2=a2b2.

（1）（）2=1.5.

（2）

（2）2=22×

（）2=4×

5=20.

　[解题策略]　把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.

　【变式训练】　计算:

（-2）2.

　〔解析〕　把原式的底数看成是-2与的积,先利用（mn）2=m2n2,再根据（）2=a（a≥0）化简.

（-2）2=（-2）2（）2=4×

3=12.

　[知识拓展]　形如（x）2的关于二次根式的运算可结合（ab）2=a2b2得到（x）2=x2a.

　[设计意图]　让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.

　2.二次根式的性质2:

=a（a≥0）

　　[过渡语]　我们再来探究一下性质2:

=a（a≥0）.

,　,.

表示2的平方的算术平方根;

表示0.1的平方的算术平方根;

　表示的平方的算术平方根;

表示0的平方的算术平方根.

　=　　　　;

=　　　　. 

　∵4=22,∴=2,因此=2;

∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;

∵=,∴　=,因此　=;

∵0=02,∴=0,因此=0.

　引导学生归纳得出:

一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a（a≥0）.

　（教材例3）化简:

（2）.

　引导学生根据=a（a≥0）进行分析:

（1）因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.

（2）因为（-5）2=52,所以=.

　学生独立完成,集体订正.

（1）==4.

（2）==5.

　[知识拓展]　

（1）中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.

（2）化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a（a≥0）;

若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a（a<

　小组讨论:

（）2和有什么关系?

　学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:

　（）2表示a的算术平方根的平方,（）2=a（a≥0）;

表示a的平方的算术平方根,=|a|=

　[设计意图]　让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.

　请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:

　1.

（1）填空:

（2）猜想当a≥0时,（）2=　　　　. 

　2.

（1）观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.

==　　　　;

…. 

　通过观察,你得到的结论是什么?

试着说一说.

（2）发现:

当a≥0时,=　　　　,当a<

0时,=